зад 1 Сборная призма на поверхности
Сплошной кубик массой \(0{,}5\) кг разрезали пополам вдоль плоскости, проходящей через диагонали граней, так что половинка кубика представляет собой трехгранную призму. Получившиеся призмы склеили гранями (бывшего кубика) и положили на горизонтальную поверхность (см. рис., изображено сечение). Какое наименьшее усилие необходимо приложить для приподнимания получившейся фигуры, так чтобы она касалась поверхности лишь ребром \(A\)? Ответ выразить в единицах СИ. Ускорение свободного падения принять равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выберите ось вращения вдоль ребра \(A\) и запишите правило моментов для силы подъёма и силы тяжести.
▶ОтветСкрыть
\(1{,}25\) Н.
▶РешениеСкрыть
Силы, действующие на получившийся наклонный параллелепипед, изображены на рисунке. Правило моментов относительно точки \(A\): \[F \cdot 2l = \frac{mg}{2}\, l.\] Отсюда \[F = \frac{mg}{4} = 1{,}25~\text{Н}.\]
зад 2 Стакан, который тонет
Пустой цилиндрический стакан с толстыми стенками и тонким дном закрыт тонкой легкой крышкой и плавает в воде, будучи погруженным на \(2/3\) внешнего объема. Вода начинает медленно просачиваться сквозь крышку. Какая часть внутреннего объема стакана должна заполниться водой, чтобы он начал тонуть, если внутренний радиус стакана составляет \(70\%\) его внешнего радиуса? Ответ выразить в % и округлить до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие плавания пустого стакана, затем условие начала погружения с водой внутри; в обоих учитывайте толщину стенок.
▶ОтветСкрыть
\(68\)%.
▶РешениеСкрыть
Условие равновесия стакана до попадания в него воды: \[\rho_{\text{с}} \pi R^2 (1 - \eta^2) h g = \rho_{\text{в}} n \pi R^2 h g.\] Условие погружения: \[\rho_{\text{с}} \pi R^2 (1 - \eta^2) h g + k \rho_{\text{в}} \pi (\eta R)^2 h g = \rho_{\text{в}} \pi R^2 h g.\] Подставляя правую часть первого уравнения в левую часть второго и сокращая, имеем \[n + k\eta^2 = 1.\] Отсюда \(k = \dfrac{1 - n}{\eta^2}\), и при \(n = \dfrac{2}{3}\), \(\eta = 0{,}7\) получаем \(k \approx 0{,}68\), то есть \(68\)%.
зад 3 Увеличение линзы
При размещении предмета на расстоянии \(25\) см от собирающей линзы (что больше ее фокусного расстояния) получили троекратно увеличенное изображение. Возможно ли получить такое же увеличение при другом расстоянии от предмета до линзы? Если да, определите это расстояние, выразив его в сантиметрах. Если нет, занесите в поле ответа цифру «0».
▶ПодсказкаСкрыть
Во втором случае изображение мнимое: запишите формулу линзы и увеличение для обоих случаев.
▶ОтветСкрыть
\(12{,}5\) см.
▶РешениеСкрыть
В первом случае изображение действительное, во втором — мнимое. По формуле линзы для первого и второго случая соответственно имеем: \[\frac{1}{d} + \frac{1}{nd} = \frac{1}{F}, \qquad \frac{1}{x} - \frac{1}{nx} = \frac{1}{F}.\] Приведём левые части к общему знаменателю и приравняем их: \[\frac{n + 1}{d} = \frac{n - 1}{x}.\] Отсюда \[x = \frac{d(n-1)}{n+1} = \frac{25 \cdot 2}{4} = 12{,}5~\text{см}.\]
зад 4 Заряд при нагреве воды
Два калориметра плотно закрыты крышками и соединены тонкой трубкой. В одном калориметре находится \(1\) л воды при температуре \(0\) °С, заполняющей его доверху. В другом калориметре содержится \(0{,}5\) кг льда при \(0\) °С, лед также заполняет почти весь объем калориметра. Вода в калориметре нагревается электрокипятильником до \(100\) °С, закипает, и пар начинает поступать во второй калориметр. Какой заряд протечет через спираль кипятильника после начала его работы к моменту, когда весь лед растает, если по спирали идет ток \(0{,}5\) А, а ее сопротивление \(1\) кОм? Ответ выразить в кулонах. Удельная теплоемкость воды \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot\)°С). Удельная теплота плавления льда \(330\) кДж/кг. Теплоемкостями калориметров и кипятильника, а также убылью воды в первом калориметре пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Заряд равен произведению силы тока на время. Запишите закон сохранения энергии для работы тока, нагрева воды и плавления льда.
▶ОтветСкрыть
\(1170\) Кл.
▶РешениеСкрыть
По определению силы тока \(q = I\tau\), где \(\tau\) — время протекания тока. По закону сохранения энергии \[I R q = c \rho V (t - t_0) + \lambda m.\] Отсюда \[q = \frac{c \rho V (t - t_0) + \lambda m}{I R} = 1170~\text{Кл}.\]
зад 5 Вода по трубе и растаявший лёд
На внешних стенках тонкой трубы диаметром \(1\) см намерз слой льда массой \(1\) кг. Температура льда \(0\) °С. Через трубу пропускают воду со скоростью \(1\) м/с при температуре \(100\) °С. Выливаясь из трубы, вода попадает в кювету, туда же капает растаявший лед. Через \(5\) мин лед полностью растаял, и прокачку воды прекратили. Определить температуру содержимого кюветы, после того как оно придет к равновесию. Теплообменом с внешними телами, а также теплоемкостью трубы и кюветы пренебречь. Удельная теплоемкость воды \(4{,}2\) кДж/(кг\(\cdot\)°С). Удельная теплота плавления льда \(330\) кДж/кг. Ответ выразить в °С и округлить до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите массу воды, протёкшей за 5 минут, и запишите тепловой баланс: тепло горячей воды идёт на плавление льда и нагрев всей смеси до равновесной температуры.
▶ОтветСкрыть
\(93\) °С.
▶РешениеСкрыть
За \(5\) мин через трубу протечет вода массой \[M = \rho \frac{\pi d^2}{4} v \tau \approx 23{,}56~\text{кг}.\] Уравнение теплового баланса: \[m(\lambda + c t) = c M (t' - t).\] Отсюда \[t = \frac{c M t' - m \lambda}{c (M + m)} \approx 93~\text{°С}.\]
зад 6 Разделение смеси в пробирке
Диаметр и высота цилиндрической вертикально расположенной пробирки составляют, соответственно, \(1\) см и \(20\) см. Пробирку доверху заполняют однородной смесью воды и масла. Смесь отстаивается, и через какое-то время фракции самопроизвольно и полностью разделяются на объемы, равные половине объема пробирки. Определить количество тепла, выделившееся в результате разделения фракций. Плотность воды \(1\) кг/л, плотность масла \(800\) кг/м\(^3\). Ответ выразить в микроджоулях и округлить до целых. Ускорение свободного падения принять равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните потенциальную энергию смеси и разделённых фракций: выделившаяся теплота равна убыли механической энергии.
▶ОтветСкрыть
\(785\) мкДж.
▶РешениеСкрыть
Потенциальная энергия смеси: \[E_1 = \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{h}{2} (\rho_{\text{м}} + \rho_{\text{в}}) \cdot \frac{gh}{2} = \pi g \left(\frac{hd}{4}\right)^2 (\rho_{\text{в}} + \rho_{\text{м}}).\] После разделения фракций: \[E_2 = \frac{\pi d^2}{4} \cdot \frac{gh}{2} \left(\frac{h}{4} \rho_{\text{в}} + \frac{3h}{4} \rho_{\text{м}}\right) = \pi g \left(\frac{hd}{4}\right)^2 \frac{\rho_{\text{в}} + 3\rho_{\text{м}}}{2}.\] Изменение механической энергии: \[\Delta E = -\pi g \left(\frac{hd}{4}\right)^2 \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}}}{2}.\] Тогда изменение внутренней энергии, эквивалентное соответствующему количеству тепла, \[Q = -\Delta E = \pi g \left(\frac{hd}{4}\right)^2 \frac{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{м}}}{2}.\] Ответ: \(785\) мкДж.
зад 7 Полкан и велосипедист
Максим едет на велосипеде со скоростью \(10\) км/ч по велотреку, имеющему форму окружности радиусом \(40\) м. Вместе с Максимом в том же направлении стартует Полкан, который бежит со скоростью \(20\) км/ч. Полкан догоняет Максима сзади (первая встреча) и тут же бежит обратно. Встретив Максима спереди (вторая встреча), Полкан снова меняет направление движения на противоположное и т. д. Какой путь пробежит Полкан к моменту, когда он в пятый раз встретит Максима? Ответ выразить в единицах СИ и округлить до целых.
▶ПодсказкаСкрыть
Полкан бежит по кругу: каждый отрезок между встречами — это полный круг относительно Максима. Посчитайте, сколько раз он бежит по направлению движения Максима и против.
▶ОтветСкрыть
\(1843\) м.
▶РешениеСкрыть
Путь Полкана \(S = v_{\text{П}} t\), где \(t\) — полное время движения Полкана до пятой встречи. При этом Полкан \(3\) раза бежит в направлении движения Максима и \(2\) раза против. Поэтому \[t = 3 t_{\text{по}} + 2 t_{\text{пр}}, \qquad t_{\text{по}} = \frac{2\pi R}{v_{\text{П}} - v_{\text{М}}}, \qquad t_{\text{пр}} = \frac{2\pi R}{v_{\text{П}} + v_{\text{М}}}.\] Сделав соответствующие подстановки, получаем \[S = 2\pi R \left(\frac{3 v_{\text{П}}}{v_{\text{П}} - v_{\text{М}}} + \frac{2 v_{\text{П}}}{v_{\text{П}} + v_{\text{М}}}\right) \approx 1843~\text{м}.\]
зад 8 Прут в рельсах и вязкой среде
Прямой металлический прут массой \(m = 0{,}2\) кг сопротивлением \(R = 1\) Ом, движется вертикально вниз с установившейся скоростью, скользя по гладким проводящим рельсам с пренебрежимо малым сопротивлением, замкнутым наверху источником постоянного напряжения \(U = 10\) В. Движение происходит в сосуде с вязкой средой, где на прут действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости, с коэффициентом \(\alpha = 0{,}1\) кг/с. Пройдя путь \(L = 10\) м, прут соскальзывает с рельсов и сразу без отскока ударяется о дно сосуда. Определить тепло, которое выделит система с момента начала пути \(L\). Внутренним сопротивлением источника пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным \(10\) м/с\(^2\). Ответ выразить в единицах СИ.
▶ПодсказкаСкрыть
Установившаяся скорость — когда сумма действующих на прут сил равна нулю. Энергию удобно искать по балансу: работа тока, потеря механической энергии при ударе и ударе о дно.
▶ОтветСкрыть
\(110\) Дж.
▶РешениеСкрыть
Условие постоянства скорости: \[mg = \alpha v.\] Отсюда скорость установившегося движения \[v = \frac{mg}{\alpha} = \frac{0{,}2 \cdot 10}{0{,}1} = 20~\text{м/с}.\] Время движения \[t = \frac{L}{v} = 0{,}5~\text{с}.\] За время движения и при ударе прут потеряет всю свою механическую энергию, также в тепло перейдет работа тока. В итоге \[Q = mgL + \frac{mv^2}{2} + \frac{U^2}{R} t = 110~\text{Дж}.\]
зад 9 Жук на горке-гиперболе
Жук ползет по горке, имеющей форму гиперболы \(y = 1/x\) (см. рис., координаты выражены в метрах). Слева горка заканчивается отвесным обрывом. Задача жука — спрыгнуть с обрыва. Жук может прорыть в горке горизонтальный тоннель, при этом он совершит полезную работу, пропорциональную собственному весу и прорытому пути, коэффициент пропорциональности \(0{,}5\). КПД жука при прорытии тоннеля и при подъеме один и тот же. На каком расстоянии \(s\) от края обрыва жук должен начать рыть тоннель, чтобы затратить минимальную энергию для решения поставленной задачи? Ответ выразить в метрах и округлить до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите полные затраты энергии через координату \(x\) и найдите минимум получившейся функции.
▶ОтветСкрыть
\(1{,}4\) м.
▶РешениеСкрыть
Суммарная энергия, затраченная жуком на выполнение задачи, \[E = \eta (mgy + k m g x) = \eta m g \left(\frac{1}{x} + k x\right),\] где \(\eta\) и \(x\) — соответственно КПД и координата жука. Таким образом, для определения минимума энергозатрат нужно исследовать функцию \[f(x) = k x + \frac{1}{x}.\] Сделаем замену \[k x = a z, \qquad \frac{1}{x} = \frac{a}{z}.\] Перемножив уравнения друг на друга, видим, что \(a = \sqrt{k}\). Таким образом, \[f(x) = a \left(z + \frac{1}{z}\right).\] Очевидно, функция \(z + \dfrac{1}{z}\) достигает минимума в точке \(z = 1\). Стало быть, искомый путь \[s = \frac{a z_{\min}}{k} = \frac{1}{\sqrt{k}} = \sqrt{2} \approx 1{,}4~\text{м}.\]
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2021/22, отборочный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.