зад 1 Деревянная заготовка на нитях
Деревянную заготовку подвесили на лёгких нитях через систему блоков к горизонтальному потолку (см. рисунок). Нити привязаны к крючкам, которые вбиты в противоположные концы заготовки. Правая часть длинной нити вертикальна, а между двумя наклонными отрезками этой нити угол \(\alpha = 120^\circ\). Масса заготовки с крючками \(m = 2\) кг. Считая блоки невесомыми и пренебрегая трением нитей о блоки, найдите силы натяжения нитей.
Вариант 2: правая часть нити вертикальна и натянута с силой \(T = 20\) Н, левый наклонный отрезок нити составляет угол \(\alpha = 30^\circ\) с потолком. Найдите массу заготовки с крючками.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(T_1 = \dfrac{mg}{1 + 2\cos(\alpha/2)} = 10\) Н (правая часть нити), \(T_2 = 2T_1\cos\dfrac{\alpha}{2} = 10\) Н (нить у левого крючка). Вариант 2: \(m = \dfrac{T(1 + 2\sin\alpha)}{g} = 4\) кг.
▶РешениеСкрыть
Нить лёгкая и блоки невесомы, поэтому натяжение одинаково по всей нити: \(T_1\) — в правой вертикальной части и в обоих наклонных отрезках, огибающих нижний блок. Наклонные отрезки симметричны относительно вертикали, каждый составляет с ней угол \(\alpha/2\). Сила, действующая на нижний блок со стороны нити, направлена вверх и равна \(2T_1\cos(\alpha/2)\); она уравновешена натяжением \(T_2\) нити у левого крючка: \(T_2 = 2T_1\cos(\alpha/2)\). Условие равновесия заготовки по вертикали: \(T_1 + T_2 = mg\). Отсюда \[T_1 = \frac{mg}{1 + 2\cos(\alpha/2)}, \qquad T_2 = \frac{2\cos(\alpha/2)\,mg}{1 + 2\cos(\alpha/2)}.\] При \(\alpha = 120^\circ\) и \(m = 2\) кг получаем \(T_1 = T_2 = 10\) Н.
зад 2 Воздушный шар с гелием
Сферическая оболочка воздушного шара изготовлена из материала, масса которого на единицу площади составляет \(\rho = 1\) кг/м\(^2\). Шар заполняют гелием. При каком минимальном радиусе шар поднимется в воздух? Давление снаружи и внутри шара \(p = 10^5\) Па, температура гелия внутри шара и температура окружающего воздуха одинаковы и равны \(t = 27^\circ\)C. Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль. Площадь \(S\) поверхности и объём \(V\) шара радиусом \(r\) вычисляются по формулам \(S = 4\pi r^2\), \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
Вариант 2: на дне сосуда, заполненного воздухом, лежит груз массой \(m = 30\) г, к которому привязан гелиевый шарик радиусом \(r = 10\) см. При каком минимальном давлении внутри сосуда шарик сможет поднять груз? Температуры гелия и воздуха одинаковы и равны \(27^\circ\)C, молярная масса воздуха \(29\) г/моль, масса оболочки шарика много меньше массы груза, давления снаружи и внутри шарика одинаковы.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(r_\text{min} = \dfrac{3\rho RT}{p\,(\mu_\text{в} - \mu_\text{He})} \approx 3\) м. Вариант 2: \(p_\text{min} = \dfrac{3mRT}{4\pi r^3\,(\mu_\text{в} - \mu_\text{He})} \approx 7{,}14\cdot10^5\) Па.
▶РешениеСкрыть
Молярная масса гелия \(\mu_\text{He} = 4\) г/моль. Масса гелия в шаре \(m_\text{He} = \dfrac{p V \mu_\text{He}}{RT}\), плотность воздуха снаружи \(\rho_\text{в} = \dfrac{p\mu_\text{в}}{RT}\). Сила Архимеда \(F_A = \rho_\text{в} g V\). Условие подъёма шара с оболочкой массой \(M = \rho\,4\pi r^2\): \(F_A \ge (m_\text{He} + M) g\). Подставляя \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\), получаем \(r \ge \dfrac{3\rho RT}{p(\mu_\text{в} - \mu_\text{He})} \approx 3\) м (при \(T = 300\) К).
Для варианта 2 условие подъёма груза и шарика: \(\rho_\text{в}gV \ge (m_\text{He} + m)g\), откуда \(p \ge \dfrac{3mRT}{4\pi r^3(\mu_\text{в} - \mu_\text{He})} \approx 7{,}14\cdot10^5\) Па.
зад 3 Мелок на движущейся доске
По горизонтальной поверхности стола движется с постоянной скоростью \(v\) доска с квадратными клетками; сторона одной клетки \(a = 5\) см (см. рисунок). Из точки \(A\) доски запустили кусочек цветного мелка, который остановился в точке \(B\) доски. В начальный момент скорость мелка \(u\) относительно стола направлена перпендикулярно вектору скорости \(\vec v\). Определите модуль скорости доски \(v\), если коэффициент трения между доской и мелком \(\mu = 0{,}2\). Векторы \(\vec v\) и \(\vec u\) на рисунке изображены без соблюдения масштаба между ними.
Вариант 2: скорость доски \(v = 0{,}9\) м/с; найдите коэффициент трения \(\mu\) между мелком и доской. Отношение скоростей в этом варианте \(u/v = 3/4\).
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта доски мелок движется с относительной скоростью, которая складывается из \(-\vec v\) и \(\vec u\). Сила трения направлена против относительной скорости, поэтому траектория в этой системе прямолинейна, а модуль скорости убывает с ускорением \(\mu g\).
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(v = \dfrac{3}{5}\sqrt{10\mu g a} = 0{,}6\) м/с. Вариант 2: \(\mu = \dfrac{5v^2}{32\,g a} = 0{,}25\).
▶РешениеСкрыть
В системе отсчёта доски начальная скорость мелка \(\vec u_0 = \vec u - \vec v\). Сила трения направлена против \(\vec u_0\), поэтому направление скорости не меняется и мелок движется по прямой \(AB\) с замедлением \(\mu g\). Тогда \(u_0^2 = 2\mu g\,s\), где \(s = AB = 5a\). По рисунку \(u/v = 4/3\), значит \(u_0^2 = u^2 + v^2 = \dfrac{25}{9}v^2\). Отсюда \(v^2 = \dfrac{9}{25}\cdot 10\mu g a\) и \(v = \dfrac{3}{5}\sqrt{10\mu g a}\). При \(\mu = 0{,}2\), \(g = 10\) м/с\(^2\), \(a = 0{,}05\) м получаем \(v = 0{,}6\) м/с.
Для варианта 2 при \(u/v = 3/4\) имеем \(u_0^2 = \dfrac{25}{16}v^2 = 10\mu g a\), откуда \(\mu = \dfrac{5v^2}{32\,g a} = 0{,}25\).
зад 4 Четыре тела в вершинах квадрата
Где-то во Вселенной четыре точечных тела одинаковой массы \(m\) движутся с постоянными по модулю скоростями \(v\). В процессе движения тела остаются всё время в вершинах квадрата, лежащего в одной и той же плоскости. Чему равна длина стороны этого квадрата? Считайте, что в этой области Вселенной на данные точечные тела не действуют никакие другие силы, кроме сил собственного гравитационного притяжения.
Вариант 2: четыре точечных тела одинаковой массы \(m\) движутся с постоянными по модулю скоростями в вершинах квадрата со стороной \(a\). С какой скоростью движутся эти тела?
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(a = \dfrac{(4 + \sqrt2)\,Gm}{4v^2}\). Вариант 2: \(v = \sqrt{\dfrac{(4 + \sqrt2)\,Gm}{4a}}\).
▶РешениеСкрыть
Тела движутся по окружности радиуса \(R = \dfrac{a}{\sqrt2}\) с центром в центре квадрата. На каждое тело действуют силы притяжения со стороны двух соседних тел (расстояние \(a\)), направленные под углом \(45^\circ\) к радиусу, и со стороны противоположного тела (расстояние \(a\sqrt2\)), направленная к центру. Суммарная сила, направленная к центру, \[F = \frac{2Gm^2}{a^2}\cos45^\circ + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2}\left(\sqrt2 + \frac12\right).\] Второй закон Ньютона \(\dfrac{mv^2}{R} = F\) с \(R = a/\sqrt2\) даёт \[v^2 = \frac{Gm}{a}\cdot\frac{4 + \sqrt2}{4}.\] Отсюда \(a = \dfrac{(4 + \sqrt2)Gm}{4v^2}\) и \(v = \sqrt{\dfrac{(4 + \sqrt2)Gm}{4a}}\).
зад 5 Обруч и брусок на наклонной плоскости
Однородный металлический тонкий обруч катится без проскальзывания по наклонной плоскости с ускорением \(a_1 = 3\) м/с\(^2\). С каким ускорением \(a_2\) будет скользить по этой же наклонной плоскости металлический брусок, если коэффициент трения между плоскостью и бруском равен \(\mu = 0{,}25\)?
Вариант 2: однородный тонкий обруч катится без проскальзывания по наклонной плоскости с ускорением \(a_1 = 4\) м/с\(^2\). Если обруч заклинить, чтобы он не вращался, он будет скользить по той же плоскости с ускорением \(a_2 = 5\) м/с\(^2\), оставаясь в вертикальной плоскости. Чему равен коэффициент трения \(\mu\) между обручем и плоскостью?
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(a_2 = 2a_1 - \mu\sqrt{g^2 - 4a_1^2} \approx 4\) м/с\(^2\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)). Вариант 2: \(\mu = \dfrac{2a_1 - a_2}{\sqrt{g^2 - 4a_1^2}} = 0{,}5\) (при \(g = 10\) м/с\(^2\)).
▶РешениеСкрыть
1. Ускорение обруча при качении найдём из закона сохранения энергии. Сила трения покоя работы не совершает, поэтому \(mgh = \dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{I\omega^2}{2}\) с \(I = mR^2\) и \(\omega = v/R\), т.е. \(mgh = mv^2\). Пройденный путь \(s = \dfrac{a_1t^2}{2}\), высота \(h = s\sin\alpha\), скорость \(v = a_1t\). Отсюда \(a_1 = \dfrac{g\sin\alpha}{2}\), т.е. \(g\sin\alpha = 2a_1\) и \(g\cos\alpha = \sqrt{g^2 - 4a_1^2}\).
2. Брусок скользит с ускорением \(a_2 = g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a_1 - \mu\sqrt{g^2 - 4a_1^2}\). При \(a_1 = 3\) м/с\(^2\), \(\mu = 0{,}25\), \(g = 10\) м/с\(^2\) получаем \(a_2 = 4\) м/с\(^2\).
Для варианта 2 аналогично \(\mu = \dfrac{g\sin\alpha - a_2}{g\cos\alpha} = \dfrac{2a_1 - a_2}{\sqrt{g^2 - 4a_1^2}} = 0{,}5\).
зад 6 Поршень с пружиной и аргон
Горизонтально расположенный теплоизолированный цилиндр разделён поршнем на две части: слева от поршня находится один моль аргона при давлении \(p_0\) и абсолютной температуре \(T_0\), а справа — вакуум (см. рисунок). Поршень закреплён с помощью упора и соединён с правой стенкой лёгкой пружиной, которая находится в недеформированном состоянии. После того как поршень освободили от упора, в новом положении равновесия объём, занимаемый аргоном, увеличился в \(1{,}5\) раза. Найдите температуру и давление аргона в конечном состоянии. Теплоёмкостью цилиндра, поршня и пружины пренебречь. Трение между поршнем и боковой поверхностью цилиндра отсутствует.
Вариант 2: слева от поршня находятся два моля гелия при давлении \(p_0\) и температуре \(T_0\), справа — вакуум; в новом положении равновесия объём гелия увеличился вдвое. Найдите температуру и давление гелия в конечном состоянии.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(T_1 = \dfrac{9}{10}T_0\), \(p_1 = \dfrac{3}{5}p_0\). Вариант 2: \(T_1 = \dfrac{6}{7}T_0\), \(p_1 = \dfrac{3}{7}p_0\).
▶РешениеСкрыть
Вариант 1. Конечный объём \(V_1 = \dfrac32 V_0\), по уравнению состояния \(p_1V_1 = RT_1\). Сосуд теплоизолирован, поэтому \(\Delta U = -A\), где работа газа \(A\) равна энергии пружины \(\dfrac{kx^2}{2}\). Равновесие поршня: \(kx = p_1S\), смещение \(x = \dfrac{V_0}{2S}\). Тогда \(A = \dfrac{p_1S x}{2} = \dfrac{p_1V_0}{4} = \dfrac{RT_1}{6}\). Одноатомный газ: \(\Delta U = \dfrac32 R(T_1 - T_0)\). Из \(\dfrac32 R(T_1 - T_0) = -\dfrac{RT_1}{6}\) получаем \(T_1 = \dfrac{9}{10}T_0\). Далее \(p_1 = \dfrac{RT_1}{V_1} = \dfrac{3}{5}p_0\).
Вариант 2 (два моля гелия, \(V_1 = 2V_0\)): \(p_1V_0 = RT_1\), работа \(A = \dfrac{p_1V_0}{2} = \dfrac{RT_1}{2}\), \(\Delta U = 3R(T_1 - T_0)\). Из \(3R(T_1 - T_0) = -\dfrac{RT_1}{2}\) получаем \(T_1 = \dfrac67T_0\), а \(p_1 = \dfrac{RT_1}{V_0} = \dfrac{3}{7}p_0\).
зад 7 Подводный самолёт
Подводный самолёт — аппарат с положительной плавучестью, способный погружаться при движении за счёт небольших крыльев, создающих направленную вниз силу. Аппарат имеет сухую массу \(1000\) кг, вытесняет объём воды \(1{,}55\) м\(^3\), в том числе \(0{,}65\) м\(^3\) в виде воздушного пузыря, свободно сообщающегося с окружающей средой. Определите глубину, на которой плавучесть аппарата станет нулевой (предельную глубину, с которой возможно всплытие при отказе двигателя). Температуру газа в воздушном пузыре считать постоянной и равной \(20^\circ\)C. Молярная масса воздуха \(\mu = 29\) г/моль, площадь крыльев составляет \(0{,}1\) м\(^2\), а коэффициент подъёмной силы \(0{,}8\).
Подъёмная сила определяется соотношением \(F_\text{пд} = C_y S_\text{крыла}\dfrac{\rho U^2}{2}\), где \(C_y\) — коэффициент подъёмной силы, \(S_\text{крыла}\) — площадь крыльев, \(\rho\) — плотность воды, \(U\) — скорость движения аппарата относительно воды.
Вариант 2: сухая масса та же, \(1000\) кг. На глубине \(200\) м аппарат вытесняет объём воды \(0{,}9\) м\(^3\) и ещё дополнительно \(24\) дм\(^3\) в виде воздушного пузыря, свободно сообщающегося с окружающей средой. Определите необходимую скорость движения аппарата для погружения у поверхности. Площадь крыльев \(0{,}1\) м\(^2\), коэффициент подъёмной силы \(0{,}8\), температура газа \(20^\circ\)C.
▶ПодсказкаСкрыть
Погружающая сила крыла направлена вниз, и её величина растёт с квадратом скорости. Объём воздушного пузыря зависит от глубины по закону Бойля—Мариотта, так как сообщается с окружающей средой.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(h = 55\) м. Вариант 2: \(U \approx 10\) м/с.
▶РешениеСкрыть
На аппарат действуют сила тяжести \(mg\), сила Архимеда \(\rho g V\) и погружающая сила крыла. Объём вытесненной воды складывается из объёма аппарата \(V_\text{ап}\) и объёма газа в пузыре \(V_\text{г}\).
Вариант 1. Нулевая плавучесть: \(\rho g(V_\text{ап} + V_\text{г}) = mg\), т.е. \(V_\text{г} = \dfrac{m}{\rho} - V_\text{ап} = 1 - 0{,}9 = 0{,}1\) м\(^3\). Газ пузыря сообщается с водой, поэтому по закону Бойля—Мариотта \(V_\text{г} = \dfrac{p_\text{атм}\,V_\text{г0}}{p_\text{атм} + \rho g h}\) с \(V_\text{г0} = 0{,}65\) м\(^3\). Отсюда \(\rho g h = 5{,}5\,p_\text{атм}\), \(h = \dfrac{5{,}5\cdot10^5}{10^4} = 55\) м.
Вариант 2. У поверхности объём пузыря \(V_\text{г0} = 0{,}024\cdot\dfrac{p_\text{атм} + \rho g\cdot200}{p_\text{атм}} = 0{,}504\) м\(^3\). Баланс сил при движении: \(C_yS\dfrac{\rho U^2}{2} = \rho g(V_\text{ап} + V_\text{г0}) - mg = 4040\) Н, откуда \(U = \sqrt{\dfrac{2\cdot4040}{0{,}8\cdot0{,}1\cdot10^3}} \approx 10\) м/с.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2021/22, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.