«Шаг в будущее», 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Вариант 5: \(t = 12\) с. Вариант 8: \(\vartheta_1 = 1{,}4\) м/с.

Импульс силы за время её действия равен площади под графиком \(F_x(t)\) и равен \(P = m\vartheta\), откуда находится скорость тела на шероховатом участке. На шероховатом участке сила трения \(\mu mg\) замедляет тело с ускорением \(\mu g\), поэтому время скольжения до остановки \(t = \dfrac{\vartheta}{\mu g} = 12\) с.

Вариант 8: скорость шайбы после действия силы \(\vartheta = P/m \approx 10\) м/с; при соскальзывании с незакреплённой горки по закону сохранения импульса и энергии модуль скорости шайбы \(\vartheta_1 = \dfrac{M - m}{M + m}\vartheta = \dfrac{0{,}28}{2}\cdot10 = 1{,}4\) м/с.

Вариант 5: \(A = \dfrac{3}{4}RT\) (по официальному решению, см. ПРОВЕРИТЬ в решении). Вариант 8: \(\nu = 200\) Гц.

Пусть \(V_1 = V_2 = V\), \(V_3 = V_4 = 2V\), \(P_4 = P\), \(P_1 = P_3 = 2P\), \(P_2 = 4P\) (из \(T_3/T_1 = 2\)). Работа на линейных участках равна площади под графиком: \(A_{23} = \dfrac{P_2 + P_3}{2}(V_3 - V_2) = 3PV\) при расширении и \(A_{41} = \dfrac{P_4 + P_1}{2}(V_1 - V_4)\) — при сжатии, т.е. \(-\dfrac{3}{2}PV\). Полная работа \(A = \dfrac{3}{2}PV\).

Из уравнения состояния в состоянии 1: \(P_1V_1 = 2PV = \nu RT\). Официальное решение принимает \(2PV = RT\), откуда \(A = \dfrac{3}{4}RT\). При \(\nu = 3\) моля, как сказано в условии, то же соотношение даёт \(2PV = 3RT\) и \(A = \dfrac{9}{4}RT\). Расхождение проверить по официальному решению.

Вариант 8: частота сигнала \(\nu = \dfrac{2u\cos\alpha}{\lambda} = 200\) Гц (при периодическом изменении разности хода на \(\lambda\)).

За одно полное колебание сила трения (постоянная по модулю \(\mu mg\)) совершает работу, которая уменьшает амплитуду на фиксированную величину. Следите, в каком положении брусок остановится.

Вариант 5: \(N = \dfrac{kx_0 - \mu mg}{4\mu mg}\). Вариант 8: \(\mu \approx 0{,}35\).

Пусть \(x_1\) — амплитуда после первого полного колебания. За полуколебание амплитуда уменьшается на \(\dfrac{2\mu mg}{k}\), за полное колебание — на \(\dfrac{4\mu mg}{k}\). Поэтому после \(N\) колебаний смещение \(x_N = x_0 - N\dfrac{4\mu mg}{k}\). Колебания прекращаются, когда сила упругости не может превысить силу трения покоя: \(kx_N = \mu mg\). Отсюда \(N\dfrac{4\mu mg}{k} = x_0 - \dfrac{\mu mg}{k}\), т.е. \[N = \frac{kx_0 - \mu mg}{4\mu mg}.\]

Вариант 8 (гантель): из закона сохранения энергии и второго закона Ньютона для верхнего шарика, а также условия равновесия нижнего шарика получаем \(\mu \approx 0{,}35\).

Вариант 5: \(Q = Eq = \dfrac{3}{4}CE^2\). Вариант 8: \(m \approx 11{,}7\) г.

При переключении ключа через батарею протекает заряд \(q\). Заряд и энергия батареи конденсаторов при переключении не меняются — меняются лишь знаки зарядов обкладок. Поэтому работа источника \(Eq\) целиком выделяется в виде теплоты: \(Q = Eq\). По официальному решению заряд \(q = \dfrac{3}{4}CE\), откуда \(Q = \dfrac{3}{4}CE^2\).

Вариант 8: при \(0^\circ\)C давление насыщенного пара ничтожно, поршень лежит на поверхности воды. При \(100^\circ\)C давление насыщенного пара равно атмосферному \(p_0\); пружина сжимается под действием силы \(p_0S - Mg\): \(x = \dfrac{p_0S - Mg}{k} \approx 10\) м. Пар занимает объём \(Sx\), по уравнению Клапейрона—Менделеева \(m = \dfrac{p_0 S x\mu}{RT} \approx 11{,}7\) г (как в официальном решении).

\(F_2 = \dfrac{2nF_1}{2n - 1} = 3\) см.

Оптическая система состоит из приставленной линзы и плоско-вогнутой «водяной» линзы, образованной пузырьком (радиус \(R\)). Оптическая сила водяной линзы \((n - 1)\left(-\dfrac{1}{R}\right)\). Для фокусировки в центре \(O\) (первый случай): \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{F_1} + (n-1)\left(-\dfrac{1}{R}\right)\), откуда \(R = nF_1 = 3\) см. Для фокусировки в точке \(A\) (второй случай): \(\dfrac{1}{F_2} = \dfrac{1}{2R} + (n-1)\dfrac{1}{R}\), откуда \(F_2 = \dfrac{2R}{2n-1} = \dfrac{2nF_1}{2n-1} = 3\) см.

\(U_\text{max} = BL\sqrt{\dfrac{m\,(2ag - a^2)}{k}}\).

Пока стержень лежит на платформе, он движется вниз с ускорением \(a\). В момент отрыва сила реакции платформы \(N = 0\), и \(mg - kx_0 = ma\), откуда растяжение пружины \(x_0 = \dfrac{m(g - a)}{k}\). Платформа движется равноускоренно, поэтому время до отрыва \(\tau = \sqrt{\dfrac{2x_0}{a}}\), скорость стержня в этот момент \(\vartheta_1 = a\tau = \sqrt{2ax_0}\).

Положение равновесия стержня на пружине \(x_p = \dfrac{mg}{k}\), смещение в момент отрыва от положения равновесия \(x_1 = x_p - x_0 = \dfrac{ma}{k}\). Дальше стержень совершает гармонические колебания с \(\omega = \sqrt{k/m}\), амплитуда \[A^2 = x_1^2 + \frac{\vartheta_1^2}{\omega^2} = \left(\frac{m}{k}\right)^2\left(2ag - a^2\right), \qquad A = \frac{m}{k}\sqrt{2ag - a^2}.\] Максимальная скорость стержня \(\vartheta_\text{max} = A\omega = \sqrt{\dfrac{m(2ag - a^2)}{k}}\), а ЭДС движения на концах стержня \(U_\text{max} = \vartheta_\text{max}BL\).

Вариант 5: \(\dot m = \dfrac{Mg}{\vartheta} \approx 14{,}7\) кг/с; \(d \approx 10\) мм.

Струя воды передаёт аппарату импульс; сила тяги равна силе тяжести взлётной массы: \(\dot m\,\vartheta = Mg\), откуда \(\dot m = \dfrac{150\cdot9{,}81}{100} \approx 14{,}7\) кг/с. Через два сопла площадью \(S\) каждое проходит расход \(\dot m = 2S\vartheta\rho\), откуда \(S = \dfrac{\dot m}{2\vartheta\rho} \approx 7{,}4\cdot10^{-5}\) м\(^2\) и диаметр сопла \(d = \sqrt{\dfrac{4S}{\pi}} \approx 10\) мм.