«Шаг в будущее», 2021/22, заключительный этап, 8 класс

Вода давит вверх на дно кастрюли, но только на кольцо вокруг отверстия, потому что через отверстие давление уходит в трубку. Что должно уравновесить вес кастрюли?

\(H = 34\,\text{см}\).

Вода начнёт вытекать, когда сила давления, действующая вверх на дно кастрюли, уравновесит силу тяжести: \(mg = P\,(S_1 - S_2)\), где \(P = \rho g (H - h)\) — давление на уровне дна, \(h\) — высота кастрюли, \(S_1\) и \(S_2\) — площади дна и отверстия. Отсюда \[H = h + \frac{m}{\rho\,(S_1 - S_2)} = 0{,}30 + \frac{2}{1000\cdot 0{,}05} = 0{,}34\ \text{м}.\]

Вода вытекает всё время пути, поэтому объём утечки равен расходу, умноженному на время в пути. Сравните время на грунте и на асфальте.

\(N = 25\) ведер.

Пусть \(\mu_1 = 0{,}05\) ведра/мин \(= 3\) ведра/ч — расход воды на грунтовом участке, \(\mu_2 = \mu_1/2\) — на асфальтовом. На грунте вытекло \(N_1 = \mu_1 t_1\), где \(t_1 = S_1/V_1\), \(V_1 = 9\) км/ч, \(S_1 = 3\) км. На асфальте вытекло \(N_2 = \mu_2 t_2\), где \(t_2 = S_2/(2V_1)\), \(S_2 = 3\) км. Тогда \[N_2 = \frac{\mu_1}{2}\cdot\frac{S_1}{2V_1} = \frac{\mu_1 S_1}{4V_1}, \qquad N_1 = \frac{\mu_1 S_1}{V_1}, \qquad N_{\text{выт}} = N_1 + N_2 = \frac{5\,\mu_1 S_1}{4V_1}.\] По условию \(N_{\text{выт}} = 0{,}05\,N\), откуда \[N = 20\cdot\frac{5\,\mu_1 S_1}{4V_1} = 25\cdot\frac{\mu_1 S_1}{V_1} = 25\cdot\frac{3\cdot 3}{9} = 25.\]

Средняя плотность равна массе, делённой на суммарный объём черного вещества и золота. Выразите массу золота через известные плотности.

В \(4\) раза в пользу черного рынка: реальная стоимость золота \(\approx 24\,599\,\text{\$}\), а предложено \(6000\,\text{\$}\).

Средняя плотность \(\rho_{\text{ср}} = \dfrac{m}{V_{\text{ч}} + V_{\text{з}}}\), где \(V_{\text{ч}} = \dfrac{m - m_{\text{з}}}{\rho_{\text{ч}}}\) — объём черного вещества, \(V_{\text{з}} = \dfrac{m_{\text{з}}}{\rho_{\text{з}}}\) — объём золота. Отсюда \[m_{\text{з}} = \frac{\rho_{\text{з}}\, m\,(\rho_{\text{ср}} - \rho_{\text{ч}})}{\rho_{\text{ср}}\,(\rho_{\text{з}} - \rho_{\text{ч}})} = 0{,}45\ \text{кг}.\] Это \(450\,\text{г} / 31{,}1\,\text{г} \approx 14{,}47\) тройских унций, поэтому реальная стоимость золота \[C = 1700\cdot 14{,}47 \approx 24\,599\ \text{\$}, \qquad \frac{C}{6000} \approx 4.\]

Потери тепла в окружающую среду идут с одной и той же мощностью при нагревании и при остывании. Сравните полную теплоту, отданную при остывании, с теплотой, израсходованной на нагревание.

\(\eta = 68\,\%\).

КПД \(\eta = Q_{\text{полезн}}/Q_{\text{затр}}\), где \(Q_{\text{полезн}} = Q_{\text{воды}}\), \(Q_{\text{затр}} = Q_{\text{нагр}} + Q_{\text{тер}}\), \(Q_{\text{нагр}} = Q_{\text{воды}} + Q_{\text{чайника}}\). По условию \(Q_{\text{чайника}} = 0{,}25\,Q_{\text{воды}}\), значит \(Q_{\text{нагр}} = 1{,}25\,Q_{\text{воды}}\), т.е. \(Q_{\text{воды}} = 0{,}8\,Q_{\text{нагр}}\).

Потери тепла в окружающую среду идут с постоянной мощностью \(q\): \(Q_{\text{тер}} = q\,t_1\). При остывании за время \(t_2\) вода с чайником отдаёт \(Q_{\text{нагр}} = q\,t_2\), откуда \(Q_{\text{тер}} = Q_{\text{нагр}}\,t_1/t_2\) и \(Q_{\text{затр}} = Q_{\text{нагр}}\,(t_1 + t_2)/t_2\). Тогда \[\eta = \frac{0{,}8\,Q_{\text{нагр}}\,t_2}{Q_{\text{нагр}}\,(t_1 + t_2)} = \frac{4\,t_2}{5\,(t_1 + t_2)} = 0{,}68 = 68\,\%.\]

Слои включены между пластинами параллельно, и сопротивление слоя обратно пропорционально площади его сечения. Площадь кольца — это разность площадей двух кругов.

\(P_5 = 29\,\text{Вт}\).

Каждый слой — трубка длины \(l\) с одинаковым удельным сопротивлением \(\rho\); все слои подключены к одному напряжению \(U\) параллельно. Мощность \(i\)-го слоя \(P_i = U^2/R_i\), \(R_i = \rho l/S_i\), где \(S_i\) — площадь его сечения. Площадь первого слоя \(S_1 = \pi(r+h)^2 - \pi r^2 = \pi h(2r + h)\), пятого \(S_5 = \pi(r+5h)^2 - \pi(r+4h)^2 = \pi h(2r + 9h)\), где \(h = 1\) мм. Тогда \[\frac{P_5}{P_1} = \frac{S_5}{S_1} = \frac{2r + 9h}{2r + h}, \qquad P_5 = 21\ \text{Вт}\cdot\frac{20 + 9}{20 + 1} = 29\ \text{Вт}.\]

Всё тепло, которое дом теряет за сезон, должно быть отдано водой при её остывании от начальной температуры до конечной. Сколько тепла отдаёт 1 кг воды при таком остывании?

\(V \approx 93{,}6\,\text{м}^3\).

Мощность потерь дома \(N_{\text{пот}} = q\,S = 0{,}015\cdot 100 = 1{,}5\ \text{кВт}\). Отопительный сезон: \(31 + 30 + 31 + 31 + 28 + 31 = 182\) дня, т.е. \(t = 1{,}572\cdot 10^{7}\ \text{с}\). Потерянная за сезон энергия \[Q_{\text{пот}} = N_{\text{пот}}\,t = 1{,}5\cdot 10^{3}\cdot 1{,}572\cdot 10^{7} = 2{,}359\cdot 10^{10}\ \text{Дж}.\] По закону сохранения энергии вода отдаёт в дом всё потерянное тепло: \(Q_{\text{пот}} = c_{\text{в}}\,M_{\text{в}}\,(t_1 - t_2)\), где \(t_1 = 100\,^{\circ}\text{С}\), \(t_2 = 40\,^{\circ}\text{С}\). Отсюда \[M_{\text{в}} = \frac{Q_{\text{пот}}}{c_{\text{в}}\,(t_1 - t_2)} = \frac{2{,}359\cdot 10^{10}}{4200\cdot 60} = 9{,}36\cdot 10^{4}\ \text{кг}, \qquad V = \frac{M_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}} = \frac{9{,}36\cdot 10^{4}}{10^{3}} = 93{,}6\ \text{м}^3.\]