«Шаг в будущее», 2021/22, заключительный этап, 9 класс

В высшей точке радиус кривизны траектории равен радиусу трубы, а нормальное ускорение равно \(g\). Выразите скорость в высшей точке через \(v_0\) и угол броска.

\(h = 4{,}5\,\text{м}\).

Радиус кривизны траектории в высшей точке равен половине диаметра трубы, \(d/2\), а центростремительное ускорение равно \(g\). Пусть \(\alpha\) — угол броска. Тогда \[\frac{d}{2} = \frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}, \qquad h = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\] Складывая, получаем \(\dfrac{d}{2} + 2h = \dfrac{v_0^2}{g}\), откуда \[h = \frac{1}{2}\left(\frac{v_0^2}{g} - \frac{d}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{100}{10} - 1\right) = 4{,}5\ \text{м}.\]

Сначала найдите отношение массы воды к массе шарика из баланса для первого шарика. Затем запишите баланс для всех шариков сразу, учитывая нагрев талой воды до конечной температуры.

\(t \approx 13\,^{\circ}\text{С}\).

Уравнение теплового баланса для таяния первого шарика: \(\lambda m_{\text{л}} = c\,m_{\text{в}}\,|\Delta t|\). Для всего теплообмена при \(n = 5\) добавленных шариков: \[(n+1)\,(\lambda + c\,t)\,m_{\text{л}} = c\,m_{\text{в}}\,(t_0 - t).\] Поделив второе уравнение на первое, получаем \[t = \frac{t_0 - (n+1)\,|\Delta t|}{1 + (n+1)\,\dfrac{c\,|\Delta t|}{\lambda}} \approx \frac{20 - 6}{1 + 6/80} \approx 13\,^{\circ}\text{С}.\]

Сравните угол, при котором брусок начнёт скользить, с углом, при котором он начнёт опрокидываться. Что наступит раньше?

\(F = \dfrac{m g b}{2\sqrt{a^2+b^2}} \approx 4{,}5\ \text{Н}\).

Движение бруска по доске может начаться по двум причинам: брусок начнёт скользить или опрокидываться. Скольжение начнётся при угле \(\alpha_1 = \operatorname{arctg}\mu = \operatorname{arctg}0{,}6\). Опрокидывание начнётся, когда линия действия силы тяжести бруска пересечёт ось шарнира, т.е. при \(\operatorname{tg}\alpha_2 = a/b = 0{,}5\). Поскольку \(\alpha_2 < \alpha_1\), брусок опрокинется раньше, чем начнёт скользить.

Правило моментов для границы опрокидывания относительно оси шарнира: \(F\,l - m g\,\dfrac{l}{2}\cos\alpha_2 = 0\). С учётом \(\cos\alpha_2 = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) получаем \[F = \frac{m g b}{2\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{1\cdot 10\cdot 20}{2\sqrt{100 + 400}} \approx 4{,}5\ \text{Н}.\]

Относительно Ильи муха летает туда и обратно на одинаковое расстояние. Посчитайте скорость мухи по ветру и против ветра относительно земли и заметьте, что в первом рейсе Илья проедет половину пути.

\(S = \dfrac{L\,(v^2 - u^2 + u v_0)}{v\,v_0} = 83{,}3\ \text{км} \approx 80\ \text{км}\).

Дано: \(L = 50\,\text{км}\), \(v_0 = 10\,\text{км/ч}\) (скорость Ильи), \(u = 5\,\text{км/ч}\) (ветер), \(v = 15\,\text{км/ч}\) (муха).

Скорость мухи по ветру \(v_{\to} = v + u = 20\,\text{км/ч}\) — вдвое больше скорости Ильи. Против ветра \(v_{\leftarrow} = v - u = 10\,\text{км/ч}\) — равна скорости Ильи. Поэтому за первый рейс мухи из Алёшино в Добрынино Илья проедет лишь половину пути \(L\). Далее они движутся навстречу друг другу и встречаются через четверть расстояния \(L\) от Добрынино. Путь мухи за первый цикл \(S_1 = \dfrac{5}{4}L\), и каждый следующий цикл повторяет процесс со стартовым расстоянием в \(\tfrac{1}{4}\) предыдущего. Путь мухи — сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(\tfrac{1}{4}\): \[S = S_1\left(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \dots\right) = \frac{5}{4}L\cdot\frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{5}{3}L = 83{,}3\ \text{км} \approx 80\ \text{км}.\] Тот же результат даёт расчёт средней скорости мухи: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{v^2 - u^2 + uv_0}{v}\) при полном времени полёта \(T = L/v_0\).

Песчинки падают с высоты \(h\) и ударяют платформу: учтите вертикальную ударную силу, которая увеличивает давление на рельсы, и горизонтальную силу, которой платформа разгоняет песок.

\(v \approx 3{,}7\,\text{м/с}\).

Песчинки достигают платформы со скоростью \(u = \sqrt{2gh}\). Ударная сила от падающего песка \(N_{\text{уд}} = \dfrac{dm\,u}{dt} = \mu u\). Масса платформы с песком к моменту \(\tau\) равна \(M + \mu\tau\), сила трения о рельсы \(F_{\text{тр}} = (M + \mu\tau)\,k g + k\mu u\).

Платформа сообщает песчинкам горизонтальную скорость \(v\), поэтому песок действует на неё с силой \(F_{\text{гор}} = \dfrac{dm\,v}{dt} = \mu v\), направленной против движения. В итоге \[a = \frac{F_{\text{тр}} + F_{\text{гор}}}{M + \mu\tau} = \frac{k g (M + \mu\tau) + \mu\,(v + k\sqrt{2gh})}{M + \mu\tau}.\] Отсюда \[v = \frac{1}{\mu}\,(a - k g)\,(M + \mu\tau) - k\sqrt{2gh}.\] Численно: \(v = \dfrac{1}{100}\cdot(1 - 0{,}6)\cdot(700 + 300) - 0{,}05\cdot 5 = 4 - 0{,}25 \approx 3{,}7\ \text{м/с}\).

Пружина стоит в середине рычага: её сжатие вдвое меньше хода колеса, а сила в ней вдвое больше силы, действующей на колесо.

Для передней подвески: сжатие пружины \(3{,}14\,\text{см}\), номинальный ход \(6{,}3\,\text{см}\); для задней: \(2{,}1\,\text{см}\) и \(4{,}2\,\text{см}\).

1) Пружина расположена на половине длины рычага, поэтому её деформация вдвое меньше хода колеса, а действующая на неё сила вдвое больше силы, приходящейся на колесо. На переднее колесо приходится \(0{,}5\cdot 0{,}6\,Mg = 0{,}3\cdot 1600\cdot 9{,}81 \approx 4709\ \text{Н}\). Сила на пружину \(F = 2\cdot 4709 \approx 9418\ \text{Н}\). Из \(F = kx\) номинальное сжатие пружины \(x_{\text{перед}} = F/k = 9418/300000 \approx 0{,}0314\ \text{м} = 3{,}14\ \text{см}\).

2) Номинальный ход подвески вдвое больше сжатия пружины: \(H_{\text{перед}} = 2x_{\text{перед}} \approx 6{,}3\ \text{см}\).

Для задней подвески (на неё приходится \(40\%\) массы) по тем же формулам: сжатие \(\approx 2{,}1\ \text{см}\), ход \(\approx 4{,}2\ \text{см}\).