«Шаг в будущее», 2022/23, отборочный этап, 10–11 класс

Сравните времена, за которые каждый спортсмен проходит всю дистанцию. Разница времён даёт, сколько метров останется отстающему.

\(150\) м.

Время первого спортсмена: \(t_{№1} = \dfrac{s}{2v_1} + \dfrac{s}{2v_2} = 625\) с. Время второго: \(t_{№2} = \dfrac{2s}{u_1+u_2} = 600\) с. Спортсмен №2 финиширует раньше на \(\Delta t = t_{№1} - t_{№2} = 25\) с. Значит, спортсмену №1 придётся пробежать ещё \(\Delta s = v_2\,\Delta t = 150\) м.

Запишите второй закон Ньютона для каждого груза в обоих случаях. Нить рвётся, когда натяжение достигает одного и того же значения, поэтому сравните натяжения в двух случаях.

\(4{,}0\).

В первом случае уравнения динамики для грузов: \(F_1 - T_1 - \mu m_1 g = m_1 a_1\), \(T_1 - \mu m_2 g = m_2 a_1\), откуда \(T_1 = \dfrac{m_2 F_1}{m_1+m_2}\). Аналогично во втором случае \(T_2 = \dfrac{m_1 F_2}{m_1+m_2}\). Нить разрывается, когда \(T_1 = T_2 = T_{\max}\), поэтому \(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{F_1}{F_2} = \dfrac{10}{2{,}5} = 4{,}0\).

На тело действует только сила тяжести: используйте закон изменения импульса.

\(0{,}4\) кг.

На тело действует только сила тяжести \(m\vec g\). По закону изменения импульса \(mgt_1 = |\Delta\vec p|\), откуда \(m = \dfrac{|\Delta p|}{g\,t_1} = 0{,}4\) кг.

Время подъёма после каждого удара пропорционально корню из доли сохранившейся энергии. Сумма времён образует геометрическую прогрессию.

\(190\) с.

Время падения до первого удара \(t_0 = \sqrt{2h/g} = 10\) с. Доля энергии после удара \(\eta = 1 - 0{,}19 = 0{,}81\), высота подъёма \(h_1 = \eta h\), время подъёма \(t_1 = \sqrt{\eta}\,t_0\); после \(n\)-го удара время подъёма \(t_n = (\sqrt{\eta})^n t_0\). Полное время \(t = t_0 + 2\sum_{n\ge 1} t_n = -t_0 + 2t_0\sum_{n\ge 0}(\sqrt{\eta})^n\). Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии даёт \(t_{\max} = t_0\,\dfrac{1+\sqrt{\eta}}{1-\sqrt{\eta}} = \dfrac{10\cdot 1{,}9}{0{,}1} = 190\) с.

Горизонтальная верёвка не годится: сила трения юноши ограничена. Попробуйте направить верёвку под углом и разложить силу по осям.

\(150\) Н.

Очевидный ответ \(F = \mu_2 Mg = 129\) Н не подходит: при этом \(F > F_{\text{тр.max}} = \mu_1 mg = 102\) Н, и юноша начнёт двигаться. Значит, верёвка направлена под углом к горизонту. Из уравнений динамики юноши и ящика с максимальными силами трения: \(F_x = \dfrac{\mu_1\mu_2(M+m)g}{\mu_1+\mu_2} = 120\) Н, \(F_y = \dfrac{(\mu_2 M+\mu_1 m)g}{\mu_1+\mu_2} = 90\) Н. Тогда \(F = \sqrt{F_x^2+F_y^2} = 150\) Н.

Движение равноускоренное, так как сила тяги постоянна при \(v = at\). Запишите закон изменения энергии.

\(15\) м/с.

Снегоход движется с постоянным ускорением \(a\): при \(F = \text{const}\) и \(v = at\) мощность \(N(t) = Fv = Fat\), работа силы тяги равна площади под графиком \(N(t)\): \(A_{\text{тяги}} = \dfrac{\alpha t^2}{2}\). Закон изменения энергии: \(\dfrac{\alpha t^2}{2} - \mu m g s = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(s = \dfrac{at^2}{2}\), \(v = at\). Получаем квадратное уравнение \(ma^2 + \mu m g a - \alpha = 0\). Физичен только положительный корень: \(a = \dfrac{-\mu m g + \sqrt{\mu^2 m^2 g^2 + 4\alpha m}}{2m} = 1\) м/с\(^2\), откуда \(v = at = 15\) м/с.

Скорость \(B\) выражается через \(OB = 2L\sin(\theta/2)\). Проекция скорости \(A\) на ось \(Ox\) равна половине скорости \(B\).

\(0{,}6\) м/с.

Скорость шарнира \(B\): \(V_B = \sqrt{2a\cdot OB} = 2\sqrt{aL\sin\dfrac{\theta}{2}}\). Скорость шарнира \(A\) перпендикулярна \(OA\). Проекция \(\vec V_A\) на ось \(Ox\) равна \(V_{Ax} = \dfrac{V_B}{2} = \sqrt{aL\sin\dfrac{\theta}{2}}\). Тогда \(V_A = \dfrac{V_{Ax}}{\cos\frac{\theta}{2}} = 0{,}6\) м/с.

Перейдите к ускорению груза относительно тележки, учтя, что нить не растягивается и её наклон не меняется.

\(1{,}7\) м/с\(^2\).

ИСО связана со столом. Пусть \(m\) — масса груза 2, \(a\) — ускорение тележки, \(a_{\text{гр}}\) — ускорение груза. Второй закон Ньютона для груза: \(\vec T + m\vec g = m\vec a_{\text{гр}}\), в проекциях: \(T\sin\alpha = m a_{\text{гр}.x}\), \(mg - T\cos\alpha = m a_{\text{гр}.y}\). Так как наклон нити не меняется, \(a_{\text{гр}.x} = a\), а из нерастяжимости нити проекция ускорения на направление нити также равна \(a\). Тогда \(a_{\text{гр}.y} = a\,\tg\alpha + \dfrac{a}{\cos\alpha} = \dfrac{a(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha}\). Отсюда \(a = \dfrac{g\sin\alpha\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\), и ускорение груза \(a_{\text{гр}} = \dfrac{g\sin\alpha}{1+\sin\alpha}\sqrt{2(1+\sin\alpha)} = \dfrac{g}{6} = 1{,}7\) м/с\(^2\).

Обозначьте долю сопротивления реостата \(x\) и запишите напряжение на нагрузке через неё. Получится квадратное уравнение.

\(1{,}6\).

Пусть \(R_2 = xR\), \(R_1 = (1-x)R\). Полное сопротивление цепи \(R_{\text{полн.}} = R_1 + \dfrac{R_2 R}{R_2+R} = \dfrac{(1+x-x^2)R}{x+1}\). Ток в верхней части реостата \(I_1 = \dfrac{2U}{R_{\text{полн.}}}\), напряжение на нагрузке \(U_{\text{нагр.}} = I_1\dfrac{R_2R}{R_2+R} = U\). Отсюда \(x^2 + x - 1 = 0\), \(x = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}\). Искомое отношение \(\dfrac{L_2}{L_1} = \dfrac{R_2}{R_1} = \dfrac{x}{1-x} = \dfrac{\sqrt5+1}{2} = 1{,}62 \approx 1{,}6\).