«Шаг в будущее», 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Бусины отталкиваются друг от друга с силой Кулона; эта сила и есть натяжение нити.

\(225\) мН.

Запишем закон Кулона: \[F=k\dfrac{qQ}{r^2}=k\dfrac{q^2}{r^2}=0{,}225\ \text{Н}. \tag{1}\] Ответ: 225 мН.

Средняя скорость на отрезке равна полусумме скоростей на его концах; скорости находятся из закона сохранения энергии и формул равноускоренного движения.

\(1{,}51\).

Конечная скорость тела \[v_{\text{к}}=\sqrt{2gh}=10\sqrt2\ \text{м/с}. \tag{1}\] Скорость тела после прохождения \(9\) м \[v_9=\sqrt{2g(h-h_0)}=6\sqrt5\ \text{м/с}. \tag{2}\] Тогда средняя скорость на последнем метре пути \[v_{\text{м}}=\dfrac{v_{\text{к}}+v_9}{2}=\sqrt{\dfrac g2}\Bigl(\sqrt{h-h_0}+\sqrt h\Bigr)=\bigl(5\sqrt2+3\sqrt5\bigr)\ \text{м/с}. \tag{3}\] Полное время движения \[t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt2\ \text{с}. \tag{4}\] Скорость в конце предпоследней секунды пути \[v_{t-1}=\sqrt{2gh}-gt_0=10\bigl(\sqrt2-1\bigr). \tag{5}\] Тогда средняя скорость за последнюю секунду пути \[v_t=\dfrac{v_{\text{к}}+v_{t-1}}{2}=\sqrt{2gh}-\dfrac{gt_0}{2}=5\bigl(2\sqrt2-1\bigr)\ \text{м/с}. \tag{6}\] Тогда искомое отношение \[n=\dfrac{v_{\text{м}}}{v_t}\cong1{,}51. \tag{7}\] Ответ: \(1{,}51\).

Потенциальная энергия кирпича на высоте \(h\) частично идёт на нагрев воды до кипения; учтите КПД.

\(175\) м.

Запишем закон сохранения энергии с учетом КПД: \[\eta mgh=cm_{\text{в}}\Delta t, \tag{1}\] \[h=\dfrac{cm_{\text{в}}\Delta t}{\eta mg}=175\ \text{м}. \tag{2}\] Ответ: 175 м.

Запишите уравнение теплового баланса: тепло, отданное кипятком, идёт на нагрев молока, чашки и комнатной температуры тоже не забудьте.

\(124\) Дж/кг.

Запишем уравнение теплового баланса, где \(t\) — температура кабинета, \(\tau\) — конечная температура чая, а \(T\) — температура кипятка: \[Q_{\text{п}}=Q_{\text{о}}, \tag{1}\] \[C(\tau-t)+c_{\text{в}}m_{\text{з}}(\tau-t)=c_{\text{в}}m_{\text{к}}(T-\tau). \tag{2}\] Решим уравнение и выразим теплоемкость чашки: \[C=\dfrac{c_{\text{в}}\bigl(m_{\text{к}}(T-\tau)-m_{\text{з}}(\tau-t)\bigr)}{(\tau-t)}=124\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}}. \tag{3}\] Ответ: 124 Дж/кг.

\(1\) м.

Так как свет распространяется прямолинейно, то решим задачу через подобие треугольников. Одним основанием будет являться радиус тени, а другим радиус круга. Запишем подобие: \[\dfrac{0{,}15}{0{,}3}=\dfrac{0{,}25}{r}. \tag{1}\] Отсюда \(r=0{,}5\), \(d=1\) м. Ответ: 1 м.

Составьте правило моментов относительно точки \(O\): момент силы реакции стенки уравновешивает моменты силы тяжести прута и груза.

\(x=\dfrac{L(M+2m)}{2(M+m)}=12\) см.

Правило моментов относительно точки \(O\): \[Nx-Mg\dfrac L2-mgL=0. \tag{1}\] В свою очередь \[N=(M+m)g. \tag{2}\] Отсюда \[x=\dfrac{L(M+2m)}{2(M+m)}=12\ \text{см}. \tag{3}\] Комментарий. Как видим, сила \(\vec N\) не проходит через точку \(O\), как того хотелось бы ожидать. Ей каким-то «непостижимым» образом удается мигрировать вдоль прута, но это — отдельная история.

Ответ: \(x=\dfrac{L(M+2m)}{2(M+m)}=12\) см.

Выпишите три силы, действующие на воду вместе с воронкой, и условие, при котором клей ещё держит.

\(h=\dfrac{(M+\rho V)g+F}{\rho g\pi R^2}\approx 51\) см.

На воду вместе с воронкой действуют три силы: сила тяжести, сила реакции стола, вызванная давлением воды, и склеивающая сила. Предельное условие равновесия воды вместе с колоколом: \[\rho gh\pi R^2=(M+\rho V)g+F. \tag{1}\] Отсюда \[h=\dfrac{(M+\rho V)g+F}{\rho g\pi R^2}\cong51\ \text{см}. \tag{2}\] Ответ: \(h=\dfrac{(M+\rho V)g+F}{\rho g\pi R^2}\cong51\) см.

\(50\) см.

Определим из закона сохранения энергии первоначальную длину пружины. \[Q=cm\Delta t,\qquad Q=cLS\Delta t, \tag{1}\] \[L=\dfrac{Q}{cS\Delta t}. \tag{2}\]

Запишем закон Гука до нагревания: \[k(\Delta l_1)=F. \tag{3}\] Запишем закон Гука после нагревания, с учетом изменения коэффициента упругости: \[0{,}95k(l_2-L)=F. \tag{4}\] Решив систему уравнений (2) и (3), выразим \(l_2\): \[l_2=\dfrac{\Delta l_1}{0{,}95}+L. \tag{5}\] Подставим \(L\) из (1) и получим итоговую формулу: \[l_2=\dfrac{\Delta l_1}{0{,}95}+\dfrac{Q}{cS\Delta t}=0{,}5\ \text{м}. \tag{6}\] Ответ: 50 см.

\(430\) рублей.

Определим потребляемую мощность одного квадратного метра теплого пола: \[P=\dfrac{UI}{n}=110\ \text{Вт}. \tag{1}\] Учтем, что в ноябре 30 дней и посчитаем все количество потребляемой теплым полом энергии, выразив ее во внесистемных единицах кВт\(\cdot\)ч. \[E=Ptn=110\cdot24\cdot30=79{,}2\ \text{кВт}\cdot\text{ч}. \tag{2}\] Определим стоимость работы: \[A=E\cdot a=79{,}2\cdot5{,}43\approx430\ \text{рублей}. \tag{3}\] Ответ: 430 рублей.