«Шаг в будущее», 2022/23, заключительный этап, 8 класс

Станок обрезает проволоку при одном и том же сопротивлении. Какая величина должна быть одинаковой у вольфрамовой и медной проволоки, если площадь сечения у них одна и та же?

\(l_{\text{м}} = 10\,\text{км}\).

Сопротивление проволоки \(R = \rho\,\dfrac{l}{S}\). Станок обрезает проволоку при одинаковом сопротивлении, поэтому \(\rho_{\text{в}}\dfrac{l_{\text{в}}}{S} = \rho_{\text{м}}\dfrac{l_{\text{м}}}{S}\). Отсюда \[l_{\text{м}} = \frac{\rho_{\text{в}}\, l_{\text{в}}}{\rho_{\text{м}}} = \frac{5{,}6\cdot 3000}{1{,}68}\ \text{м} = 10\,000\ \text{м} = 10\ \text{км}.\]

Выразите скорости птиц через длину круга и время одного круга. Для встречного полёта и для погони длины путей различаются: сложите скорости или вычтите их.

\(\tau = 78\) с.

Скорость чёрной вороны \(v_{\text{ч}} = L/t_{\text{ч}}\). При встречном полёте \(L = (v_{\text{ч}} + v_{\text{б}})\,t_1\), откуда \[v_{\text{б}} = L\left(\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_{\text{ч}}}\right) = L\,\frac{t_{\text{ч}} - t_1}{t_1 t_{\text{ч}}}.\] При движении в одну сторону \(L = (v_{\text{б}} - v_{\text{ч}})\,\tau\). Подставляя, получим \[1 = \left(\frac{t_{\text{ч}} - 2t_1}{t_{\text{ч}}t_1}\right)\tau, \qquad \tau = \frac{t_{\text{ч}}\,t_1}{t_{\text{ч}} - 2t_1} = \frac{13\cdot 6}{13 - 12}\ \text{с} = 78\ \text{с}.\]

Полезная мощность печи составляет \(70\%\) от написанной. Какое количество теплоты получил образец за время нагрева и на сколько изменилась его температура по графику?

\(c = 350\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\).

КПД печи \(\eta = \dfrac{P_{\text{мат}}}{P_{\text{печи}}} = \dfrac{c\,m\,\Delta t}{t\,P_{\text{печи}}} = 70\%\), где \(\Delta t\) — изменение температуры образца за время нагрева \(t\). По графику \(t = 70\) с, \(t_{\text{н}} = 263\) К, \(t_{\text{к}} = 333\) К, \(\Delta t = 70\) К. Отсюда \[c = \frac{\eta\, t\, P_{\text{печи}}}{100\%\cdot m\,(t_{\text{к}} - t_{\text{н}})} = \frac{0{,}7\cdot 70\cdot 500}{1\cdot 70}\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} = 350\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\]

Когда шарик опускают в полный стакан, из него вытекает вода объёмом шарика. Запишите уравнение теплового баланса для каждого опыта с учётом массы оставшейся воды и массы вытекшей.

\(c_{\text{м}} = 2250\,\text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\).

Пусть \(V\) — объём одного шарика, \(m_{\text{в}}\) — исходная масса воды, \(\rho_{\text{м}}\) — плотность материала шарика. Из-за вытеснения из сосуда выливается вода объёмом \(V\) на каждый шарик. Тепловой баланс первого опыта: \[c_{\text{в}}\,(m_{\text{в}} - \rho_{\text{в}}V)\,\Delta t_{\text{в}1} = c_{\text{м}}\,\rho_{\text{м}}V\,\Delta t_{\text{м}1}.\] Для второго опыта с двумя шариками: \[c_{\text{в}}\,(m_{\text{в}} - 2\rho_{\text{в}}V)\,\Delta t_{\text{в}2} = 2\,c_{\text{м}}\,\rho_{\text{м}}V\,\Delta t_{\text{м}2}.\] Исключая \(m_{\text{в}}\) из первого уравнения и подставляя во второе, получаем \[c_{\text{м}} = \frac{c_{\text{в}}\,\rho_{\text{в}}\,\Delta t_{\text{в}1}\,\Delta t_{\text{в}2}}{\rho_{\text{м}}\left(\Delta t_{\text{м}1}\,\Delta t_{\text{в}2} - 2\,\Delta t_{\text{м}2}\,\Delta t_{\text{в}1}\right)}.\] Здесь \(\Delta t_{\text{в}1} = 25\,^{\circ}\)C, \(\Delta t_{\text{в}2} = 45\,^{\circ}\)C, \(\Delta t_{\text{м}1} = 50\,^{\circ}\)C, \(\Delta t_{\text{м}2} = 30\,^{\circ}\)C: \[c_{\text{м}} = \frac{4200\cdot 1000\cdot 25\cdot 45}{2800\,(50\cdot 45 - 2\cdot 30\cdot 25)}\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}} = 2250\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}.\]

Монета всплывает, когда вместе с намёрзшим льдом её средняя плотность становится меньше плотности воды. Сколько льда должно намёрзнуть, и сколько тепла для этого нужно отвести от воды и монеты?

\(t_0 \approx -12{,}55\,^{\circ}\text{C}\).

В момент начала всплытия условие плавания для монеты со льдом: \(m_{\text{л}} + m_{\text{м}} = \rho_{\text{в}}\left(\dfrac{m_{\text{л}}}{\rho_{\text{л}}} + \dfrac{m_{\text{м}}}{\rho_{\text{м}}}\right)\). Отсюда \[m_{\text{л}} = m_{\text{м}}\,\frac{\rho_{\text{л}}(\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{в}})}{\rho_{\text{м}}(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{л}})} = 0{,}08~\text{кг}.\] Тепловой баланс: лёд намерзает при \(0\,^{\circ}\)C за счёт остывания воды и монеты от температуры \(\Delta t\) (переохлаждения): \[\lambda\,m_{\text{л}} = \left(c_{\text{в}}\,\rho_{\text{в}}V_{\text{в}} + c_{\text{м}}\,m_{\text{м}}\right)\Delta t \quad\Rightarrow\quad \Delta t = \frac{\lambda\,m_{\text{л}}}{c_{\text{в}}\rho_{\text{в}}V_{\text{в}} + c_{\text{м}}m_{\text{м}}} = \frac{26\,400}{2100 + 4{,}3}\,^{\circ}\text{C} \approx 12{,}55\,^{\circ}\text{C}.\] Так как вода была переохлаждена, начальная температура \(t_0 = -12{,}55\,^{\circ}\)C.

Сравните мощность, нужную для плавления снега, с мощностью, нужной для того, чтобы отбросить снег с нужной скоростью. Высота, которую надо убрать, — разность высот покрова и допустимой толщины.

Механический способ эффективнее в \(3\cdot 10^{3}\) раз; минимальная мощность \(N \approx 366\) кВт (\(365{,}6\) кВт).

Считаем снег при температуре плавления \(0\,^{\circ}\)C. Тепловой способ: \(N_1 = \dfrac{\lambda M}{t}\). Механический способ: \(N_2 = \dfrac{M\,U_{\text{с}}^2}{2t}\), где \(U_{\text{с}}\) — начальная скорость снега. Отношение \[\frac{N_1}{N_2} = \frac{2\lambda}{U_{\text{с}}^2} = \frac{2\cdot 3{,}4\cdot 10^{5}}{225} \approx 3\cdot 10^{3}.\] Механический способ эффективнее примерно в \(3\cdot 10^{3}\) раз. Масса снега, убираемого за время \(t\) при скорости \(V_{\text{т}}\) транспорта: \(M = \rho\,V_{\text{т}}\,t\,H\,S\), где \(H = h_2 - h_1 = 0{,}8 - 0{,}15 = 0{,}65\) м, \(S = 2{,}5\) м. Тогда \[N_2 = \frac{\rho\,V_{\text{т}}\,H\,S\,U_{\text{с}}^2}{2} = \frac{200\cdot 10\cdot 0{,}65\cdot 2{,}5\cdot 225}{2}\ \text{Вт} = 365\,625\ \text{Вт} \approx 365{,}6\ \text{кВт}.\]