зад 1 Объезд по кольцевой трассе
Водитель находится в точке \(A\) шоссейного кольца вокруг города (КАД). Ему надо попасть в противоположную точку диаметра КАД. Но так как диаметр закрыт на ремонт, навигатор предложил ехать по кольцу (в любую сторону). Также в точке \(C\) можно свернуть на хорду, длина которой составляет \(2/3\) диаметра, однако время в пути при этом окажется тем же. Во сколько раз средняя скорость движения по кольцу выше средней скорости движения по хорде? Движение по кольцу можно считать равномерным.
▶ПодсказкаСкрыть
Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Выразите время пути по кольцу и время пути с заездом на хорду через угол \(\varphi\), для которого \(\cos\varphi = 2/3\).
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{3\pi}{4}\left(1 - \dfrac{2\arccos(2/3)}{180^\circ}\right) \approx 1{,}09\).
▶РешениеСкрыть
Так как \(AB\) — диаметр, \(\angle BCA = 90^\circ\). Пусть \(\cos\varphi = 2/3\), где \(\varphi = \angle OBC\). Тогда дуга \(AC\) равна \(2\varphi R\), а дуга \(CB\) равна \((\pi - 2\varphi)R\). Время пути по половине кольца и время пути с заездом на хорду \(CB = \tfrac{4}{3}R\) равны: \[\frac{\pi R}{v_1} = \frac{2\varphi R}{v_1} + \frac{4R}{3v_2}.\] Отсюда \[\frac{v_1}{v_2} = \frac{3}{4}\,(\pi - 2\varphi) = \frac{3\pi}{4}\left(1 - \frac{2\arccos(2/3)}{180^\circ}\right) \approx 1{,}09.\]
зад 2 Рулон и трубка
Длинный тонкий рулон раскатан в лист и лежит на ровном горизонтальном полу. Длина рулона \(x\), ширина \(l\), толщина \(h\), плотность \(\rho\). К концу рулона приклеили трубку массы \(M\). К трубке приложили резкое усилие, в результате чего она покатилась. В итоге весь рулон плотно намотался на трубку, и в этот момент движение прекратилось. Чему равна начальная кинетическая энергия трубки? Внешний диаметр трубки ничтожен по сравнению с диаметром намотавшегося на неё рулона, а сам рулон нерастяжим, но изгибается без усилия.
▶ПодсказкаСкрыть
Объём рулона при намотке не меняется, так что площадь поперечного сечения намотанного рулона равна \(xh\). Какую высоту поднимется центр масс системы при намотке?
▶ОтветСкрыть
\(K = g\,(M + \rho x h l)\sqrt{\dfrac{x h}{\pi}}\).
▶РешениеСкрыть
По закону сохранения механической энергии начальная кинетическая энергия трубки идёт на подъём системы на высоту \(R\): \(K = (M + m)\,g\,R\), где \(m = \rho x h l\) — масса рулона. Объём рулона не меняется при намотке, поэтому \(\pi R^2 l = x h l\), откуда \[R = \sqrt{\frac{x h}{\pi}}.\] Подставляя, получаем \[K = g\,(M + \rho x h l)\sqrt{\frac{x h}{\pi}}.\]
зад 3 Мячик и пылинка
Диаметр колеса обозрения \(16\) м. Из какой точки \(C\) на прямой \(AB\) нужно бросить мячик, чтобы он сдул пылинку с крыши кабинки в верхней точке колеса, обладая наименьшей необходимой для этого начальной скоростью? В качестве ответа найдите длину отрезка \(CM\).
▶ПодсказкаСкрыть
Наименьшая начальная скорость соответствует тому, что в верхней точке траектория мячика имеет радиус кривизны, равный радиусу колеса. Какой угол к горизонту должен иметь бросок, чтобы дальность полёта была нужной?
▶ОтветСкрыть
\(CM = D = 16\) м.
▶РешениеСкрыть
По закону сохранения энергии \(\dfrac{m v_0^2}{2} = \dfrac{m v^2}{2} + mgD\). Скорость мячика в верхней точке минимальна при условии, что радиус кривизны его траектории в этой точке равен радиусу колеса \(D/2\): \(g = \dfrac{2v^2}{D}\), откуда \(v^2 = \dfrac{gD}{2}\). Тогда \[v_0 = \sqrt{\frac{5}{2}\,gD}.\] Горизонтальная дальность полёта при броске под углом \(\alpha\): \(2L = \dfrac{2 v_0^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha\). Косинус угла броска \(\cos\alpha = \dfrac{v}{v_0}\) или, из \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{gD/2}}{\sqrt{5gD/2}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\), \(\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\). Подставляя, получаем \(L = D = 16\) м.
зад 4 Шарозавры
В далёком (или не очень) будущем земляне вступили в эпоху межзвёздных путешествий, и в системе одного из жёлтых карликов Галактики (звезда того же класса, что и Солнце) открыли планету Архе с биосферой, во многом напоминающей Землю эпохи мезозоя (примерно \(70\)–\(250\) млн лет назад от нашего времени). Среди обитателей Архе внимание учёных привлёк вид шарозавров — травоядных гигантов, напоминающих древних земных рептилий, но обладающих уникальным и очень полезным эволюционным приспособлением: в ночное время суток, когда температура окружающей среды снижается до \(20\,^{\circ}\text{C}\), животное сворачивается «шариком» (отсюда и название). Принимая шарообразную форму, «рептилия» минимизирует площадь поверхности тела и, следовательно, отток тепла из организма. В результате ночью, длящейся \(10\) земных часов, температура тела шарозавра снижается лишь на \(1\,^{\circ}\text{C}\) по сравнению с его дневной температурой, составляющей \(36\,^{\circ}\text{C}\). При этом шарозавр практически не сжигает калории, полученные днём с пищей. Теплообмен с окружающей средой происходит через кожу животного, его интенсивность пропорциональна перепаду температур между телом шарозавра и окружающей средой и составляет \(50\) Вт на \(1\,\text{м}^2\) кожи при перепаде в \(1\,^{\circ}\text{C}\). Каков примерно радиус «шарика»? Удельная теплоёмкость тела шарозавра \(4\,\text{кДж}/(\text{кг}\cdot\text{К})\). Плотность тела шарозавра близка к плотности воды. Объём шара: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\). Площадь сферы: \(S = 4\pi R^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Теплопотери пропорциональны площади поверхности \(\sim R^2\), а запас тепла, который нужно потерять, пропорционален объёму \(\sim R^3\). Приравняйте теплоту, отданную за ночь, к потерям через поверхность.
▶ОтветСкрыть
\(R = \dfrac{3k\tau\,(t - t_0)}{c\,\rho\,\Delta t} \approx 22\) м.
▶РешениеСкрыть
Мощность теплопотерь через поверхность радиуса \(R\) при перепаде температур \(t - t_0\): \(P = k\cdot 4\pi R^2\,(t - t_0)\), где \(k = 50\) Вт/(м\(^2\cdot\)К). Тепло, отданное телом за ночь при понижении температуры на \(\Delta t = 1\) К: \(Q = c\rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3\,\Delta t\). Уравнение теплового баланса: \[c\rho\,\frac{4}{3}\pi R^3\,\Delta t = k\cdot 4\pi R^2\,(t - t_0)\,\tau,\] откуда \[R = \frac{3k\tau\,(t - t_0)}{c\rho\,\Delta t}.\] Численно: \(\tau = 10\) ч \(= 3{,}6\cdot 10^4\) с, \(t - t_0 = 16\) К, \(c = 4\cdot 10^3\) Дж/(кг\(\cdot\)К), \(\rho = 10^3\) кг/м\(^3\): \[R = \frac{3\cdot 50\cdot 3{,}6\cdot 10^4\cdot 16}{4\cdot 10^3\cdot 10^3}\ \text{м} \approx 22\ \text{м}.\]
зад 5 Брусок с ускорением
Брусок массой \(m = 1\) кг покоится на шероховатой горизонтальной поверхности. Коэффициент трения \(\mu = 3/4\). Какое минимальное усилие необходимо прилагать, чтобы двигать брусок прямолинейно вдоль поверхности с ускорением \(a = \mu g\), где \(g = 10\,\text{м/с}^2\) — ускорение свободного падения?
▶ПодсказкаСкрыть
Полная сила реакции опоры (нормальная плюс трение) составляет с вертикалью угол \(\alpha\), для которого \(\operatorname{tg}\alpha = \mu\). Минимальная сила \(F\) перпендикулярна этой силе в системе, где есть эффективная сила \(m\vec g - m\vec a\).
▶ОтветСкрыть
\(F_{\min} = \dfrac{2\mu m g}{\sqrt{1 + \mu^2}} = 12\) Н.
▶РешениеСкрыть
Запишем второй закон Ньютона: \(\vec F + m\vec g + \vec N + \vec F_{\text{тр}} = m\vec a\), или \(m\vec g' + \vec Q + \vec F = 0\), где \(m\vec g' = m\vec g - m\vec a\), \(\vec Q = \vec N + \vec F_{\text{тр}}\). Сила \(\vec Q\) наклонена к вертикали под углом \(\alpha\), где \(\operatorname{tg}\alpha = \mu N/N = \mu\). Сила \(m\vec g'\) наклонена к вертикали под углом \(\beta\), где \(\operatorname{tg}\beta = \mu m g/(m g) = \mu = \operatorname{tg}\alpha\). Модуль силы \(\vec F\) будет наименьшим, если она перпендикулярна линии действия силы \(\vec Q\). Тогда \[F_{\min} = m\sqrt{g^2 + a^2}\,\sin(\alpha + \beta) = mg\sqrt{1 + \mu^2}\,\sin 2\alpha = \frac{2\mu m g}{\sqrt{1 + \mu^2}}.\] Численно: \(F_{\min} = \dfrac{2\cdot 3\cdot 10}{4\sqrt{1 + 9/16}}\) Н \(= 12\) Н.
зад 6 Электродвигатель с импеллером
В качестве двигательной установки лёгких беспилотных летательных аппаратов применяется электродвигатель с импеллером, как альтернатива традиционному воздушному винту (пропеллеру). Электродвигатель — 1 с импеллером — 2 представляет собой вентилятор в кольцевом канале (трубе) — 3. С помощью импеллеров можно проводить имитацию воздушно-реактивных двигателей. В этом случае для увеличения тяги в канал — 3 после вентилятора может добавляться горючее, при сжигании которого поток воздуха за счёт уменьшения плотности (при допущении постоянного расхода воздуха) дополнительно разгоняется.
Вентилятор имеет диаметр \(120\) мм и КПД \(60\%\). Определите необходимую мощность электродвигателя, позволяющего обеспечить номинальную тягу после вентилятора в \(10\) Н. В расчётах площадью сечения электродвигателя — 1 и втулки — 4 вентилятора пренебречь. Плотность воздуха примите равной \(1{,}2\,\text{кг/м}^3\). Площадь круга рассчитывается по формуле \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\), где \(d\) — диаметр.
▶ПодсказкаСкрыть
Тяга равна секундному импульсу отбрасываемого воздуха \(F = Mv\), а секундный массовый расход \(M = \rho S v\). Из этих двух соотношений найдите скорость потока, а затем мощность потока \(N = Fv\) и мощность двигателя с учётом КПД.
▶ОтветСкрыть
\(N_{\text{Э}} \approx 452\) Вт.
▶РешениеСкрыть
Тяга есть реактивная сила: \(F = M v\), где \(M = \rho S v\) — секундный массовый расход воздуха, \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\). Тогда \(F = \rho S v^2\), откуда \[v = \sqrt{\frac{4F}{\pi d^2\rho}} = \sqrt{\frac{4\cdot 10}{\pi\cdot 0{,}12^2\cdot 1{,}2}}\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 27{,}1\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\] Мощность потока воздуха \(N = Fv = \sqrt{\dfrac{4F^3}{\pi d^2\rho}} \approx 271\) Вт. Мощность электродвигателя с КПД \(\eta = 0{,}6\): \[N_{\text{Э}} = \frac{N}{\eta} = \frac{271}{0{,}6}\ \text{Вт} \approx 452\ \text{Вт}.\]
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2022/23, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.