«Шаг в будущее», 2023/24, заключительный этап, 10 класс

Вертикальная скорость в точке касания равна нулю: это вершина траектории по высоте. Запишите горизонтальное движение с ускорением \(a\) и условие равенства скоростей в точке касания.

1) \(v_0 = 12{,}5\) м/с;  2) \(a = 5\) м/с\(^2\).

В точке касания забора вертикальная составляющая скорости равна нулю, поэтому время полёта до забора \(t = \sqrt{2h/g} = 1\) с, а начальная вертикальная скорость \(v_{0y} = \sqrt{2gh} = 10\) м/с. Пусть горизонтальная составляющая начальной скорости равна \(v_{0x}\). Горизонтальная скорость в точке касания \(v_{0x} + a t = v_0\), а координата \(v_{0x}t + \dfrac{at^2}{2} = L\), то есть \(v_{0x} + \dfrac{a}{2} = 10\) м/с. Вместе с условием \(v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2\) получаем \(a = 5\) м/с\(^2\) и \(v_0 = 12{,}5\) м/с.

Второй спутник за сутки обгоняет планету ровно на один оборот, значит, его период вдвое меньше суточного. Затем используйте третий закон Кеплера и выберите момент, когда все три тела на одной прямой.

\(r_{\min} = R\left(1 - \sqrt[3]{1/4}\right) \approx 0{,}37\,R\).

Период геостационарного спутника равен суточному \(T_0\), радиус \(R\). По третьему закону Кеплера \(\dfrac{T^2}{r^3}\) — одинаково для всех спутников планеты, поэтому \(\dfrac{T_0^2}{R^3} = \dfrac{T^2}{r^3}\). Второй спутник пролетает над станцией раз в сутки, обгоняя планету на \(2\pi\) за время \(T_0\): \(\dfrac{2\pi}{T} - \dfrac{2\pi}{T_0} = \dfrac{2\pi}{T_0}\), то есть \(T = T_0/2\). Тогда \(r = R\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2/3} = R\sqrt[3]{1/4}\), а минимальное расстояние между спутниками достигается, когда станция и оба спутника лежат на одной прямой: \(r_{\min} = R - r = R\left(1 - \sqrt[3]{1/4}\right) \approx 0{,}37\,R\).

Пока конструкция движется как единое целое, все кубики имеют одно ускорение \(a = F/(6m)\). Найдите силы трения и натяжение нити через \(F\) и проверьте, что раньше всего достигается предел трения между кубиками.

\(t = 14\) с.

Пока система движется как единое целое, её ускорение \(a = F/(6m)\). Из уравнений движения кубиков силы трения покоя между кубиками и натяжение нити выражаются через \(F\): \(F_1 = F/6\), \(F_2 = F/3\), \(T = F/2\). Конструкция начинает разрушаться, когда сила трения покоя достигает предела \(\mu\,mg\) (для пары с нагрузкой \(3m\) — \(3\mu mg\)). Это происходит при \(F = 3\mu mg = 15\) Н, при этом \(T = 7{,}5\) Н \(< T_0\), то есть разрушение происходит из-за начала скольжения, а не из-за разрыва нити. По графику \(F = 15\) Н достигается в момент \(t = 14\) с.

При сжатии пружины давление газа пропорционально его объёму: процесс на \(p\)–\(V\) диаграмме прямой. Найдите работу и изменение внутренней энергии по начальному и конечному состояниям.

\(Q = 6\) кДж.

Силы, действующие на поршень, уравновешены: \(pS = kx\), где \(x\) — смещение поршня, \(k\) — жёсткость пружины. Так как объём \(V \propto x\), давление \(p \propto V\) и процесс нагревания на диаграмме \(p(V)\) — прямая. За время нагрева объём увеличивается в два раза, и давление тоже (от \(p_0\) до \(2p_0\)). Работа газа \(A = \dfrac{3}{2}\,p_0V_0 = 1{,}5\) кДж, откуда \(p_0V_0 = 1\) кДж. Изменение внутренней энергии \(\Delta U = \dfrac{3}{2}(2p_0\cdot 2V_0 - p_0V_0) = \dfrac{9}{2}\,p_0V_0 = 4{,}5\) кДж. Количество теплоты \(Q = \Delta U + A = 6\) кДж.

Воздух при смещении жидкости расширяется, его давление меняется по закону Бойля–Мариотта. Давление слева от горизонтального столбика жидкости задаёт воздух, справа — столб жидкости в вертикальном колене. Разность давлений создаёт центростремительную силу для вращающейся жидкости.

\(\omega = \sqrt{\dfrac{g}{3l}}\).

В начальном состоянии давление воздуха \(p_1 = 4\rho g l\) (его создаёт вертикальный столб жидкости плотности \(\rho\) высотой \(4l\)), объём \(V_1 = lS\). При вращении объём воздуха увеличивается до \(V_2 = 2lS\), и по закону Бойля–Мариотта давление падает до \(p_2 = 2\rho g l\). Справа на горизонтальный столбик жидкости, длина которого теперь \(2l\), действует давление \(p_{\text{пр}} = 2\rho g l + \rho g\cdot 4l = 6\rho g l\). Второй закон Ньютона для вращающегося столбика жидкости массой \(m = 2\rho\cdot 2l\,S\), центр масс которого находится на расстоянии \(r = 3l\) от оси: \((p_{\text{пр}} - p_2)S = m\,\omega^2 r\), то есть \(4\rho g l S = 2\rho\cdot 2lS\cdot\omega^2\cdot 3l\). Отсюда \(\omega = \sqrt{\dfrac{g}{3l}}\).

Средняя бусинка опустилась на \(h = \sqrt{(l/2)^2 - (s/2)^2} = 0{,}45\) м. Нить нерастяжима, поэтому проекции скоростей бусинок на направление нити одинаковы. Запишите закон сохранения энергии.

1) крайние бусинки: \(v \approx 1{,}54\) м/с;  2) средняя: \(u \approx 2{,}06\) м/с;  3) \(T \approx 0{,}44\) Н.

Пусть \(v\) — скорость крайних бусинок, \(u\) — скорость средней, \(\alpha\) — угол нити с вертикалью. Нерастяжимость нити даёт \(u\cos\alpha = v\sin\alpha\), т.е. \(u = v\,\mathrm{tg}\,\alpha\), где \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{s/2}{h} = \dfrac{4}{3}\). Закон сохранения энергии \(2\cdot\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mu^2}{2} = mgh\) даёт \[v = \sqrt{l^2 - s^2}\,\sqrt{\frac{g\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2-s^2}} \approx 1{,}54~\text{м/с}, \qquad u = s\,\sqrt{\frac{g\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2-s^2}} \approx 2{,}06~\text{м/с}.\] Для силы натяжения: крайняя бусинка \(ma_1 = T\sin\alpha\), средняя \(ma_2 = mg - 2T\cos\alpha\), и связь ускорений \(a_2 = a_1\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Отсюда \[T = \frac{mgl\sqrt{l^2-s^2}}{2l^2 - s^2} \approx 0{,}44~\text{Н}.\]

Уравнение Менделеева–Клапейрона даёт массу кислорода. Из уравнения реакции \(4\mathrm{Al} + 3\mathrm{O}_2 = 2\mathrm{Al}_2\mathrm{O}_3\) найдите массу сгоревшего алюминия, затем составьте тепловой баланс для установления равновесной температуры.

1) \(m_{\text{ок}} \approx 0{,}70\) г;  2) \(p \approx 1{,}5\cdot 10^5\) Па (\(\approx 1{,}5\) атм).

Масса кислорода \(m_{\text{O}_2} = \dfrac{p_0 V\mu}{RT_0} \approx 0{,}657\) г. Из уравнения реакции \(\nu_{\text{Al}} = \dfrac{4}{3}\nu_{\text{O}_2}\); по условию прореагирует половина кислорода, поэтому \(m_{\text{Al}} = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{m_{\text{O}_2}}{2\mu_{\text{O}_2}}\,\mu_{\text{Al}} \approx 0{,}37\) г. По закону сохранения массы \(m_{\text{ок}} = m_{\text{Al}} + \dfrac{m_{\text{O}_2}}{2} \approx 0{,}698\) г. Равновесная температура из теплового баланса \[T = \frac{m_{\text{ок}}c_{\text{ок}}T_{\text{г}} + \dfrac{m_{\text{O}_2}}{2}c_{\text{O}_2}T_0} {m_{\text{ок}}c_{\text{ок}} + \dfrac{m_{\text{O}_2}}{2}c_{\text{O}_2}} \approx 1734~\text{К}.\] Давление в конце горения \(p = \dfrac{(m_{\text{O}_2}/2)\,R\,T}{V\mu_{\text{O}_2}} \approx 1{,}49\cdot 10^5\) Па \(\approx 1{,}5\) атм.