зад 1 Дорога до олимпиады
Расстояние от выхода из метро до корпуса МГТУ им. Баумана, где проходит олимпиада «Профессор Жуковский», составляет \(0{,}87\) км. Олимпиада начинается в \(10{:}00\). В кабинете надо быть за пять минут до начала, а на гардероб и подъём к аудитории участнику потребуются дополнительные 10 минут. Средняя длина шага участника олимпиады составляет \(75\) см. Определите диапазон времени, во сколько участнику олимпиады необходимо выйти из дверей метро, чтобы успеть вовремя и нигде не задерживаться. Известно, что самым быстрым темпом человек делает \(116\) шагов в минуту, а самый медленный темп походки составляет \(58\) шагов в минуту.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите, к какому времени нужно быть у входа в здание. Затем сосчитайте число шагов до корпуса и разделите его на темп ходьбы: так получатся два крайних момента выхода.
▶ОтветСкрыть
От \(9{:}25\) до \(9{:}35\).
▶РешениеСкрыть
К входу в здание нужно прийти в \(10{:}00-15\) мин \(=9{:}45\). Число шагов до корпуса \(n = \dfrac{L}{l} = \dfrac{870}{0{,}75} = 1160\). При быстром темпе время пути \(t_1 = \dfrac{1160}{116}\) мин \(=10\) мин, при медленном \(t_2 = \dfrac{1160}{58}\) мин \(=20\) мин. Значит, выходить из метро нужно в промежутке между \(9{:}45-20\) мин \(=9{:}25\) и \(9{:}45-10\) мин \(=9{:}35\).
зад 2 Нагревательные элементы и лёд
Из пяти нагревательных элементов собрали схему, указанную на рисунке. Элементы 1 и 3 опущены в заполненный водой калориметр объёмом \(450\) мл, а остальные элементы нагревают \(3940\) г льда. Определите, какая часть льда растает к моменту закипания воды, если к цепи приложено постоянное напряжение \(U = 220\) В. До включения вся система долгое время находилась при температуре \(0\,^{\circ}\)C. Известно, что сопротивление каждого нагревательного элемента, кроме четвёртого, равняется \(12\) Ом. Сопротивление четвёртого нагревательного элемента равняется \(14{,}8\) Ом. Удельная теплоёмкость воды \(4160\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}\), удельная теплота плавления льда \(300\,\dfrac{\text{кДж}}{\text{кг}}\), плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\). Теплоёмкостью нагревательных элементов и нагревом окружающей среды пренебречь. Считать сопротивление нагревательных элементов при изменении температуры постоянным.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите общее сопротивление цепи, затем токи и напряжения на каждом элементе. Выпишите мощности тех элементов, которые греют воду, и тех, которые греют лёд, и запишите баланс энергии для каждого из двух процессов.
▶ОтветСкрыть
\(0{,}4\).
▶РешениеСкрыть
Сопротивления \(R_2\) и \(R_5\) соединены параллельно и последовательно с \(R_1\); \(R_3\) подключён параллельно этому участку, и всё вместе последовательно с \(R_4\). Общее сопротивление \(R_0 = 22\) Ом. Ток в цепи \(I_0 = U/R_0 = 10\) А. Далее: \(U_4 = I_4 R_4 = 148\) В, \(U_3 = U_{125} = 72\) В, \(I_3 = 6\) А, \(I_1 = 4\) А, \(I_2 = I_5 = 2\) А, \(U_1 = 48\) В, \(U_2 = U_5 = 24\) В. Мощности: \(P_1 = 192\) Вт, \(P_2 = 48\) Вт, \(P_3 = 432\) Вт, \(P_4 = 1480\) Вт, \(P_5 = 48\) Вт.
Баланс энергии для воды (элементы 1 и 3): \(c\,m_{\text{в}}\,\Delta t = (P_1 + P_3)\,\tau\), откуда \(\tau = 300\) с. Для льда (элементы 2, 4 и 5): \(\lambda m_{\text{л}} = (P_2 + P_4 + P_5)\,\tau\), откуда \(m_{\text{л}} = 1{,}576\) кг. Доля растаявшего льда \(k = \dfrac{m_{\text{л}}}{M} = 0{,}4\).
зад 3 Пружинная конструкция
После проведения в школе фестиваля занимательной физики у преподавателей осталось много абсолютно одинаковых конструкторов. В каждом из них, помимо прочего оборудования, находилось по несколько пружин с одинаковой жёсткостью и длиной. Забавы ради, они решили собрать из этих пружин следующую конструкцию. Одну пружину прикрепили к крюку на потолке, затем к этой пружине была прикреплена доска и к этой доске — уже две параллельные пружины. Таким образом, увеличивая в каждом ряду количество пружин в два раза, добились того, что последним шёл ряд из \(32\) пружин. Его прикрепили к последней доске и стали вертикально растягивать всю конструкцию с некой силой. Определите, на сколько сможет сместиться край растягиваемой конструкции, если весом всех досок и пружин можно пренебречь, а все доски в процессе растяжения оставались строго параллельны друг другу? Известно, что отношение растягивающей силы к жёсткости одной пружины равняется \(\alpha = 32\) см.
▶ПодсказкаСкрыть
Ряды пружин соединены последовательно, а пружины внутри ряда — параллельно. Запишите жёсткость каждого ряда через \(k\) и сложите обратные величины жёсткостей рядов.
▶ОтветСкрыть
\(63\) см.
▶РешениеСкрыть
При параллельном соединении жёсткости складываются, при последовательном складываются обратные величины. Ряд с номером \(i\) содержит \(2^{\,i-1}\) пружин, значит его жёсткость \(k_i = 2^{\,i-1}k\). Для всей конструкции из шести рядов \[\frac{1}{k_{\text{о}}} = \frac{1}{k}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^5}\right).\] По закону Гука \(F = k_{\text{о}}\,L\) и \(\alpha = F/k\), поэтому \[L = \frac{F}{k_{\text{о}}} = \alpha\,\frac{2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2 + 1}{2^5} = 32~\text{см}\cdot\frac{63}{32} = 63~\text{см}.\]
зад 4 Лёд в калориметре
В цилиндрическом калориметре с водой, полностью исключающем взаимодействие с окружающей средой, находится цилиндр льда, примёрзший ко дну и стенкам так, что свободное место в калориметре есть только над гладкой поверхностью льда. Высота цилиндра льда составляет \(h = 0{,}8H\) от высоты внутреннего объёма калориметра. Температура льда в калориметре равна \(0\,^{\circ}\)C. В калориметр вливают воду температурой \(54\,^{\circ}\)C. Дожидаются установления теплового равновесия, после чего всю воду удаляют. Определите, после какого наименьшего целого числа выливаний воды калориметр окажется пустым. Теплоёмкостью калориметра пренебречь. Удельная теплоёмкость воды \(4200\,\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}\), удельная теплота плавления льда \(0{,}3\,\dfrac{\text{МДж}}{\text{кг}}\), плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(900\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Воду всегда выгодно заливать до краёв. Уравнение теплового баланса при одном переливании покажет, какую долю высоты льда растапливает порция воды; после каждого выливания освобождается место под следующую порцию.
▶ОтветСкрыть
\(3\) раза.
▶РешениеСкрыть
Уравнение теплового баланса для одного переливания: \(\lambda\rho_{\text{л}}S k h_{\text{в}} = c\rho_{\text{в}}S h_{\text{в}}\Delta t\), где \(k\) — отношение высоты растаявшего слоя льда к высоте столба воды. Отсюда \[k = \frac{c\rho_{\text{в}}\Delta t}{\lambda\rho_{\text{л}}} = 0{,}84.\] Пусть \(f_0 = 0{,}2\) — начальная доля свободного места. После каждого переливания свободная доля растёт: \(f_{n} = f_{n-1}(1+k)\). Получаем \(f_1 = 0{,}368H\), \(f_2 \approx 0{,}677H\), \(f_3 \approx 1{,}25H\). Значит, уже третья порция воды растопит весь оставшийся лёд, и калориметр окажется пустым после третьего выливания.
зад 5 Полый куб
На испытательном полигоне проверяли новый материал для производства современных транспортных средств. Полый твёрдый куб, из которого полностью откачали воздух, помещали в различные среды. Если полностью поместить этот куб в воду, то сила, которую необходимо будет приложить к кубу для его удержания под водой, была на \(\Delta T = 16\) кН больше, чем для удержания под поверхностью спирта. Известно, что в опыте со спиртом куб полностью погрузили в доверху залитый резервуар и перестали удерживать. Тогда он поднялся к крышке и стал оказывать на неё давление одной гранью, равное \(P = 824\) Па. Определите толщину стенок куба. Известно, что плотность материала \(\rho = 2800\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), плотность спирта \(\rho_2 = 800\) кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения принять равным \(10\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Разность сил удержания равна разности архимедовых сил, которая зависит только от объёма куба. Давление на крышку — это сила Архимеда за вычетом веса куба, делённая на площадь грани.
▶ОтветСкрыть
\(d = 10\) см.
▶РешениеСкрыть
Силы удержания: \(T_1 = \rho_1 g a^3 - mg\) и \(T_2 = \rho_2 g a^3 - mg\), откуда \(\Delta T = (\rho_1 - \rho_2)\,g\,a^3\) и \[a = \sqrt[3]{\dfrac{\Delta T}{(\rho_1 - \rho_2)g}} = \sqrt[3]{\dfrac{16000}{200\cdot 10}}~\text{м} = 2~\text{м}.\] Давление куба на крышку: \(P a^2 = \rho_2 g a^3 - mg\), где масса полого куба \(m = \rho\,(a^3 - b^3)\), а \(b = a - 2d\) — сторона полости. Подставляя, получаем \[(a - 2d)^3 = a^3 - \frac{\rho_2 g a^3 - Pa^2}{\rho g}.\] Численно \((a-2d)^3 = 8 - 2{,}168 = 5{,}832\) м\(^3\), отсюда \(a - 2d = 1{,}8\) м и \(d = 0{,}1\) м.
зад 6 3D-печать термопласта
Для 3D-печати применяются термопласты (специальные полимерные материалы) с температурой плавления \(90\,^{\circ}\)C. Плотность материала \(900\) кг/м\(^3\), удельная теплоёмкость \(3200\) Дж/(кг·К), удельная теплота плавления \(590000\) Дж/кг. Начальная температура термопласта \(20\,^{\circ}\)C.
Найдите тепловую мощность нагревателя, в котором осуществляется плавление термопласта, если принтер должен обеспечить печать со скоростью перемещения головки не менее \(30\) мм/с при диаметре сопла \(0{,}5\) мм.
Найдите полное время печати сплошной детали объёмом \(15\) см\(^3\), если доля времени непосредственно процесса печати составляет \(65\%\) от общего времени изготовления (включающего подготовительные операции) этого изделия.
Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \dfrac{\pi d^2}{4}\), где \(d\) — диаметр круга.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите объёмный расход материала через сопло и массовый расход, а затем мощность, нужную для нагрева и плавления этого массового потока.
▶ОтветСкрыть
1) \(N \approx 4{,}3\) Вт; 2) \(\tau \approx 1{,}09\) ч \(\approx 1\) ч 5 мин.
▶РешениеСкрыть
Объёмный расход \(\text{v} = u\,\dfrac{\pi d^2}{4} = 5{,}89\cdot 10^{-9}\) м\(^3\)/с, массовый расход \(\mu = \text{v}\,\rho = 53\cdot 10^{-7}\) кг/с. Мощность нагревателя \[N = \mu\,\bigl(c\,(T_{\text{пл}} - T_0) + \lambda\bigr) = 53\cdot 10^{-7}\,(3200\cdot 70 + 590000)~\text{Вт} \approx 4{,}3~\text{Вт}.\] Время непосредственной печати \(t = \dfrac{V}{\text{v}} = \dfrac{15\cdot 10^{-6}}{5{,}89\cdot 10^{-9}}\) с \(=2547\) с. Полное время \(\tau = \dfrac{t}{0{,}65} = 3918\) с \(\approx 1{,}09\) ч \(\approx 1\) ч 5 мин.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2023/24, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.