зад 1 Акробат на моноцикле
Будущий акробат тренировался на одноколесном велосипеде, проезжая по полосе препятствий. Одно из них представляет собой выпуклую арку радиусом \(5{,}4\) м. Масса акробата равняется \(70\) кг. Масса моноцикла \(15\) кг. Определите, с какой критической скоростью может двигаться акробат, чтобы не оторваться от седла велосипеда. Известно, что расстояние от поверхности дороги до центра масс акробата один метр, а до центра масс велосипеда \(0{,}5\) м. Ускорение свободного падения принять \(g = 10\) м/с\(^2\). При решении задачи принять велосипед и акробата за материальные точки.
▶ПодсказкаСкрыть
Какая сила удерживает центр масс на дуге? При каком условии давление седла на акробата обращается в ноль?
▶ОтветСкрыть
\(8\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Радиус движения центра масс акробата \(R = l + r = 6{,}4\) м. Второй закон Ньютона в момент, когда седло перестаёт давить (\(N = 0\)): \(m\dfrac{v^2}{R} = mg\), откуда \(v = \sqrt{g(l + r)} = 8\) м/с.
зад 2 Тень от светильника
В физической лаборатории на высоте одного метра от поверхности круглого стола и параллельно плоскости пола прикреплён светильник, представляющий собой прямую светодиодную ленту длиной \(50\) см. Определите максимальный и минимальный линейные размеры длины тени от стола, если центры стола и светильника лежат на одном перпендикуляре к полу, а высота стола равна его диаметру и составляет \(1\) м. Толщиной светильника пренебречь. Светодиоды на ленте располагаются вплотную друг к другу и по всей длине светильника.
▶ПодсказкаСкрыть
Минимальная тень получается, когда светильник виден со стороны стола «в линию» (рисунок вида спереди), максимальная — когда лента смотрит на стол по ширине (вид сбоку). Для каждого случая постройте подобные треугольники от краёв ленты.
▶ОтветСкрыть
Минимальная длина тени \(1{,}5\) м, максимальная \(2\) м.
▶РешениеСкрыть
Минимальная длина тени: диаметр стола является средней линией трапеции, и \(l_1 = 1{,}5\) м. Максимальная длина тени получается из подобия равнобедренных треугольников: \(\dfrac{l_2}{D} = \dfrac{H + h}{h}\), где \(H\) — высота светильника над столом, \(h\) — высота стола. Отсюда \(l_2 = \dfrac{(H + h)D}{h} = 2\) м. Вариант на рисунке решения даёт длину полутени, по условию не подходит.
зад 3 Бойлер с системой экстренного охлаждения
Компания, специализирующаяся на промышленном оборудовании, произвела бойлер, который оснащён системой экстренного снижения температуры. Устройство представляет собой большой цилиндрический бак, разделённый тонкой теплоизолирующей перегородкой на две части. В одной части находится тонна воды с нагревательным элементом, состоящим из восьми мощных участков, соединённых параллельно, каждый из которых имеет сопротивление \(3\) Ом. С другой стороны перегородки находится холодный раствор, предназначенный для быстрого снижения температуры в баке. Когда разница температур воды и раствора достигает десяти градусов, перегородка открывается и раствор перемешивается с водой. Известно, что если включить нагреватель после открытия перегородки и установления теплового равновесия, то всю смесь он будет нагревать на \(1\) °C за \(1\) минуту. Бойлер имеет КПД \(90\) % и питается от постоянного напряжения \(220\) В. Определите теплоёмкость раствора, который перемешивают с водой, если их начальная температура одинакова и равна \(5\) °C. Удельная теплоёмкость воды \(4200\) \(\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}\).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите КПД как отношение теплоты, пошедшей на нагрев смеси (воды и раствора), к энергии нагревателя за время \(\tau\). Мощность найдите по общему сопротивлению параллельных участков.
▶ОтветСкрыть
\(2{,}8\) МДж/К.
▶РешениеСкрыть
КПД: \(\eta = \dfrac{Q}{P\tau}\), мощность \(P = \dfrac{U^2}{R_0}\), при параллельном соединении \(R_0 = \dfrac{R}{n}\), значит \(P = \dfrac{nU^2}{R}\). Теплота на нагрев смеси \(Q = (C + cm)\Delta t\). Отсюда \(C = \dfrac{\eta n U^2 \tau}{R\,\Delta t} - cm\), где \(\dfrac{\tau}{\Delta t} = 60\) с/К. Подставляя числа, получаем \(C = \dfrac{0{,}9 \cdot 8 \cdot 220^2 \cdot 60}{3} - 4200 \cdot 1000 = 2\,769\,600\) Дж/К \(\approx 2{,}8\) МДж/К.
зад 4 Посадка исследовательского модуля
На некоторой планете с вдвое большей плотностью и диаметром в четыре раза меньше земного пропала атмосфера. Для определения, почему так произошло, на поверхность планеты был отправлен исследовательский модуль массой \(m = 100\) кг. Чтобы он безопасно спустился на поверхность планеты и амортизаторы сработали как надо, его кинетическая энергия при касании не должна превышать \(E = 200\) кДж. В тот момент снижения, когда его скорость станет горизонтальной к поверхности планеты, модуль полностью отключает двигатели. Определите максимально возможную скорость в этот момент, если известно, что после отключения двигателей до успешного приземления прошло \(t = 12\) секунд. Изменением силы гравитационного взаимодействия с высотой пренебречь. Ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = 10\) м/с\(^2\). Объём шара определяется по формуле: \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите ускорение свободного падения на планете через плотность и радиус, сравните с земным. Дальше — горизонтальный бросок: вертикальная скорость растёт как \(at\), а полная скорость при ударе известна из энергии.
▶ОтветСкрыть
\(20\) м/с.
▶РешениеСкрыть
На поверхности планеты \(g_п = G\dfrac{M}{R^2} = \dfrac{4}{3}\pi G\rho R\). Так как плотность вдвое больше, а радиус в четыре раза меньше земного, \(g_п = 0{,}5\,g = 5\) м/с\(^2\). Вертикальная составляющая скорости при падении \(v_y = g_п t = 60\) м/с. Из закона сохранения энергии \(v^2 = \dfrac{2E}{m} = 4000\) м\(^2\)/с\(^2\). Горизонтальная составляющая \(v_x = \sqrt{\dfrac{2E}{m} - (g_п t)^2} = \sqrt{4000 - 3600} = 20\) м/с.
зад 5 Плотность шоколадных конфет
Кубические шоколадные конфеты плотно упакованы в коробку, имеющую форму параллелепипеда, у которого нет квадратных граней. На коробке есть правдивая надпись: «Масса нетто (\(m\)) = 650 г, 240 штук». Протяжённость самого длинного ребра коробки \(c = 150\) мм. Вдоль самого короткого ребра коробочки укладывается ровно \(4\) конфеты. Чему равна плотность шоколадных конфет? Известно, что если конфеты опустить в воду, то они в ней утонут. Плотность воды \(1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сколько конфет лежит в одном слое? Разложите это число на множители и переберите варианты размещения вдоль длинного и среднего ребра коробки.
▶ОтветСкрыть
\(1{,}4\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
В одном слое \(240 / 4 = 60\) конфет. Варианты \(60 = 2\cdot 30 = 4\cdot 15 = 5\cdot 12 = 6\cdot 10\): первый не подходит (сторона меньше четырёх конфет), второй даёт грань-квадрат. Значит, вдоль длинного ребра 10 или 12 конфет. При 10 конфетах ребро конфеты \(a = 15\) мм, \(\rho_1 = \dfrac{m}{240a^3} \approx 0{,}8\) г/см\(^3\) — тонет, не подходит. При 12 конфетах \(a = 12{,}5\) мм, \(\rho_2 = \dfrac{m}{240a^3} \approx 1{,}4\) г/см\(^3\) — тонет в воде, подходит.
зад 6 Метеозонд (ситуационная задача)
Для исследования атмосферы запустили мобильный метеозонд, представляющий собой блок измерительной аппаратуры, прикреплённый к воздушному шару диаметром \(3\) м, заполненному водородом под небольшим избыточным давлением. Шар привязан к якорю, установленному на поверхности земли условно невесомым тросом. В начальный момент времени дует ветер параллельно поверхности земли со скоростью \(2{,}25\) м/с, а трос находится под углом \(5^\circ\) к вертикали, плотность воздуха равна \(1{,}15\) кг/м\(^3\). Внезапно трос оборвался.
Куда будет направлена скорость зонда сразу после обрыва троса? Ответ обосновать.
На какую высоту сможет подняться шар с аппаратурой, если плотность воздуха изменяется с высотой так, как показано на графике? Считать, что метеозонд сохраняет свой размер и целостность на протяжении всего полёта.
Сила аэродинамического сопротивления шара определяется по формуле \(F_s = S\cdot C_x\dfrac{\rho v^2}{2}\), где \(C_x = 0{,}5\) — коэффициент сопротивления для сферы, \(S\) — площадь поперечного сечения шара, \(v\) — скорость набегающего потока воздуха (ветра).
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите второй закон Ньютона для шара в проекциях на горизонталь и вертикаль: что уравновешивает силу натяжения троса? Предельная высота — там, где плотность воздуха такова, что сила Архимеда сравнялась с весом.
▶ОтветСкрыть
Скорость направлена под углом \(\alpha\) к вертикали противоположно силе натяжения троса, то есть против ветра; \(H \approx 12\) км.
▶РешениеСкрыть
Второй закон Ньютона: по вертикали \(F_a - mg - T\cos\alpha = 0\), по горизонтали \(F_s - T\sin\alpha = 0\), откуда \(T = \dfrac{F_s}{\sin\alpha}\). После обрыва троса равнодействующая направлена под углом \(\alpha\) к вертикали противоположно силе \(T\), и шар из состояния покоя начинает двигаться в эту сторону. Дальше шар поднимается, пока сила Архимеда не станет равна силе тяжести: \(\rho g V = mg\), \(\rho = \dfrac{6m}{\pi D^3}\). Массу \(m\) находим из равновесия при заданных условиях у поверхности: \(m = \dfrac{\rho\pi D^2}{2g\tan\alpha}\left(\dfrac{Dg\tan\alpha}{3} - C_x\dfrac{v^2}{4}\right) \approx 4{,}5\) кг. Тогда \(\rho = \dfrac{6 \cdot 4{,}5}{3{,}14 \cdot 27} \approx 0{,}32\) кг/м\(^3\). По графику этой плотности соответствует высота \(H \approx 12\,000\) м.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2023/24, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.