«Шаг в будущее», 2024/25, заключительный этап, 10 класс

Снежкомётная машина стоит в точке \(O\) у основания горки, наклонённой под углом \(\alpha\) к горизонту. Из машины вылетают снежки, имеющие одинаковую начальную скорость \(v_0\) (см. рисунок). Угол \(\beta\), отсчитываемый от поверхности горки, под которым вылетают снежки, может меняться. Оказалось, что когда \(\beta = \beta_0 = 15^\circ\), снежки падают на горку максимально далеко на расстоянии \(L_{\max} = 5{,}36\) м от точки \(O\). Чему равны угол \(\alpha\) наклона горки и начальная скорость \(v_0\) снежков? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

Объём некоторой порции кислорода увеличился на \(2\%\), а абсолютная температура при этом увеличилась на \(1\%\). На сколько процентов изменилось давление этой порции кислорода? Определите (в процентах), какая часть полученной кислородом теплоты перешла в работу? Удельная теплоёмкость кислорода при постоянном объёме равна \(c_V = 650\) Дж/(кг\(\cdot\)К). Масса порции кислорода остаётся постоянной, остальные параметры меняются монотонно.

Два космических тела, вследствие гравитационного взаимодействия между ними, движутся так, что расстояние между этими телами остаётся неизменным и равным \(L\). Масса первого тела \(m_1 = m\), а второго — \(m_2 \ll m\). В другой части Вселенной найдены ещё два космических тела массами \(m_3 = m\) и \(m_4 = 3m\), у которых также расстояние между ними при их движении остаётся неизменным и равным \(L\). Чему равно отношение периодов вращения второго тела (из первой пары космических тел) и третьего тела (массой \(m_3\) из второй пары)? Считать, что размеры всех четырёх космических тел малы по сравнению с расстоянием \(L\). Первая и вторая пары космических тел не содержат вблизи себя массивных космических объектов, гравитационное поле которых существенно влияло бы на движение рассматриваемых космических тел.

Мячик подняли на большую высоту от поверхности Земли и бросили вертикально вниз без начальной скорости. Мячик подлетает к земле со скоростью \(v = 10\) м/с. Если же мячик бросить с поверхности земли вертикально вверх со скоростью \(v_0 = 2v\), то он поднимется на максимальную высоту за время \(t = 1{,}1\) с. Чему равна максимальная высота подъёма мячика в этом случае? На мячик в процессе движения действует сила сопротивления воздуха, прямо пропорциональная мгновенной скорости мячика. Считать, что ускорение свободного падения не меняется с высотой и равно \(g = 10\) м/с\(^2\). Силой Архимеда пренебречь.

Вертикально расположенный сосуд, имеющий форму двух соединённых между собой цилиндров, площади горизонтальных сечений которых равны \(S_1 = 2S\) и \(S_2 = S\), содержит воду, находящуюся в среднем отсеке между двумя невесомыми теплонепроницаемыми поршнями (см. рисунок). Вода полностью заполняет отсек длиной \(L\) между поршнями. В верхнем отсеке сосуда над поршнем площади \(S_1\) находится идеальный газ в количестве \(\nu\) моль при температуре \(T\) и давлении \(p_1 = 2{,}5\) кПа, а в нижнем отсеке под поршнем площади \(S_2\) — другой идеальный газ в количестве \(5\nu\) моль при такой же температуре \(T\). Поршни находятся в равновесии, когда расстояния от оснований сосуда до поршней равны \(L_1 = l = L/2\), \(L_2 = 2l\). Стенки сосуда гладкие. Вода не протекает через поршни, газы через поршни не просачиваются.

1. Чему равно расстояние \(L\) между поршнями?

2. Температуру газа в нижнем отсеке увеличивают в \(1{,}5\) раза, при этом температура газа в верхнем отсеке не изменяется. Поршни, оставаясь в своих цилиндрах, занимают новое положение равновесия. Каким станет при этом давление газа в верхнем отсеке?

Механическая система, состоящая из четырёх грузов, массы которых приведены на рисунке, и однородной массивной пружины жёсткости \(k\), движется с ускорением \(a = \dfrac{g}{4}\), где \(g\) — ускорение свободного падения. Поверхность гладкая, нити невесомы и нерастяжимы. Блоки невесомые, трение в блоках отсутствует. Пружина не провисает.

1. Определите массу пружины.

2. Чему равно удлинение пружины в процессе движения системы?

Парашютирование или посадка на парашюте является одним из наиболее эффективных и надёжных способов посадки спускаемого космического аппарата или модуля на планеты, обладающие достаточно плотной атмосферой. В герметичном отсеке посадочного модуля, заполненном газом, обычно создают условия, близкие к нормальным. Это позволяет разгрузить корпус и облегчить условия функционирования приборов.

Атмосфера Марса достаточно разреженная, из-за чего реализация спуска только на парашюте затруднительна, так как он в этом случае будет иметь колоссальные размеры, а соответственно и массу. Поэтому парашют используется только для частичного торможения, а финальная часть посадки современных модулей осуществляется с помощью реактивной платформы.

Оцените, парашют какой площади потребовался бы при спуске на Марс посадочного модуля в форме шара объёмом \(750\) дм\(^3\) с общей массой \(m_0 = 800\) кг, заполненного газовой смесью массой \(m = 0{,}88\) кг, если скорость парашютирования \(v = 7{,}5\) м/с, а парашют вводится на скорости \(v_0 = 150\) м/с, коэффициент лобового сопротивления \(C_x = 0{,}3\). С какой силой по модулю и направлению действует на корпус аппарата, наполняющий его газ, сразу после раскрытия парашюта?

Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2024/25, заключительный этап, 10 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.