зад 1 Облёт квадрата при ветре
Вариант 1. Самолет-разведчик в безветренную погоду облетает периметр квадрата \(ABCD\) за \(4\) часа. Сколько будет длиться облет этого же периметра при наличии ветра, дующего вдоль стороны \(AB\) со скоростью \(25\) км/ч. Скорость самолета относительно воздуха \(200\) км/ч.
Вариант 2. Самолет-разведчик в безветренную погоду облетает периметр квадрата \(ABCD\) за \(3\) часа. Сколько будет длиться облет этого же периметра при наличии ветра, дующего вдоль стороны \(BC\) со скоростью \(30\) км/ч. Скорость самолета относительно воздуха \(300\) км/ч.
▶ПодсказкаСкрыть
Вдоль ветра и против него скорость самолёта относительно земли различна, а поперёк ветра самолёт летит с поворотом носа против ветра. Сложите времена всех четырёх сторон.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(t \cong 4{,}05\) ч; вариант 2: \(t \cong 3{,}02\) ч. Общая формула: \(\dfrac{t_0}{2}\left(\dfrac{1}{1-u^2/v^2}+\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2/v^2}}\right)\).
зад 2 Брусок под растущей силой
Вариант 1. К шероховатому однородному бруску массой \(m = 5\) кг, неподвижно лежащему на горизонтальной поверхности, прикладывают силу, направленную под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту и зависящую от времени по закону \(F = kt\), где \(k = 0{,}5\) Н/с. Через какое время после начала действия силы брусок сдвинется с места? Коэффициент трения бруска о поверхность \(\mu = 0{,}6\).
Вариант 2. К шероховатому однородному бруску массой \(m = 5\) кг, неподвижно лежащему на горизонтальной поверхности, прикладывают силу, направленную под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту и зависящую от времени по закону \(F = kt\), где \(k = 0{,}5\) Н/с. Брусок сдвинулся с места через \(t = 45\) с после начала действия силы. Определите коэффициент трения бруска о поверхность.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока брусок неподвижен, его ускорение нулевое, а сила трения покоя уравновешивает горизонтальную составляющую силы. Момент начала движения — когда сила трения достигает предельного значения \(\mu N\) с учётом того, что сила тянет вверх.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(t_{12} = \dfrac{\mu m g}{k(\cos\alpha \pm \mu\sin\alpha)} \cong 51\) с, \(106\) с. Вариант 2: \(\mu_{12} = \dfrac{kt\cos\alpha}{mg \mp kt\sin\alpha}\); \(\mu_1 \cong 0{,}5\), \(\mu_2 = 0{,}3\).
зад 3 Провод в баллоне с водой
Вариант 1. Удельное сопротивление меди \(\rho\) зависит от ее температуры \(t\) по линейному закону: \(\rho = \rho_0(1 + \alpha t)\), где \(\rho_0\) — удельное сопротивление меди при температуре \(t_0 = 0\) °С, \(\alpha = 4 \cdot 10^{-3}\) К\(^{-1}\) — температурный коэффициент сопротивления меди. Прямой медный провод заключен в тонкий стеклянный баллон с разреженным газом. При \(0\) °С провод имеет сопротивление \(R_0 = 1\) кОм. Баллон погрузили в воду, температура которой поддерживается постоянной и равной \(t_0\). Концы провода подсоединили к источнику постоянного напряжения. По истечении длительного времени в проводе установилась температура \(t = 250\) °С. Определить напряжение источника. Мощность теплоотдачи провода воде \(P_Q\) пропорциональна разности температур тел \(\Delta t\), коэффициент теплоотдачи \(\beta = P_Q/\Delta t = 4 \cdot 10^{-4}\) Вт/К. Тепловым расширением пренебречь.
Вариант 2. Удельное сопротивление меди \(\rho\) зависит от ее температуры \(t\) по линейному закону: \(\rho = \rho_0(1 + \alpha t)\), где \(\rho_0\) — удельное сопротивление меди при температуре \(t_0 = 0\) °С, \(\alpha = 4 \cdot 10^{-3}\) К\(^{-1}\) — температурный коэффициент сопротивления меди. Прямой медный провод заключен в тонкий стеклянный баллон с разреженным газом. Баллон погрузили в воду, температура которой поддерживается постоянной и равной \(t_0\). Концы провода подсоединили к источнику постоянного напряжения \(U = 10\) В. По истечении длительного времени в проводе установилась температура \(t = 250\) °С. Определить сопротивление провода при температуре \(t_0\). Мощность теплоотдачи провода воде \(P_Q\) пропорциональна разности температур тел \(\Delta t\), коэффициент теплоотдачи \(\beta = P_Q/\Delta t = 4 \cdot 10^{-4}\) Вт/К. Тепловым расширением пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме вся выделяемая в проводе мощность тока уходит в воду. Сопротивление провода зависит от температуры так же, как удельное сопротивление.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(U = \sqrt{R_0 \beta t (1 + \alpha t)} \cong 14\) В. Вариант 2: \(R_0 = \dfrac{U^2}{\beta t (1 + \alpha t)} = 500\) Ом.
зад 4 Разгон реактивного самолёта
Вариант 1. Реактивный самолет, разгоняясь равноускоренно, отрывается от земли, пройдя путь \(s = 1\) км и достигнув скорости \(v = 220\) км/ч. Стартовая масса борта (вместе с топливом, пассажирами и багажом) \(m = 35\) т. Коэффициент сопротивления качению колес шасси по взлетной полосе (отношение силы трения качения к силе нормальной реакции полосы) \(\mu = 0{,}03\). Считая силу реактивной тяги в процессе всего разгона постоянной, определите мощность этой силы в момент отрыва самолета от земли.
Вариант 2. Реактивный самолет, разгоняясь равноускоренно, отрывается от земли, пройдя путь \(s = 1\) км и достигнув скорости \(v = 220\) км/ч. Коэффициент сопротивления качению колес шасси по взлетной полосе (отношение силы трения качения к силе нормальной реакции полосы) \(\mu = 0{,}03\). Мощность силы реактивной тяги в момент отрыва самолета от земли составляет \(P = 5\) МВт. Считая силу реактивной тяги в процессе всего разгона постоянной, определите стартовую массу борта (вместе с топливом, пассажирами и багажом).
▶ПодсказкаСкрыть
Ускорение найдите из пути и скорости при равноускоренном разгоне. Мощность в момент отрыва равна произведению силы тяги на скорость, а сила тяги — из второго закона Ньютона с учётом трения качения.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(P = mv\left(\dfrac{v^2}{2s} + \mu g\right) \cong 4{,}6\) МВт. Вариант 2: \(m = \dfrac{P}{v\left(\dfrac{v^2}{2s} + \mu g\right)} \cong 37{,}8\) т.
зад 5 Шар с полюсом и маятник
Вариант 1. В обозримом будущем, когда будут созданы мощные ионные двигатели с ядерной силовой установкой, человечество сможет начать полноценное освоение Солнечной системы и даже добраться до ее периферии. Оснащенный таким двигателем корабль в 2125 году обнаружил где-то за пределами пояса Койпера очень странный объект, представляющий собой однородный шар диаметром \(100\) км. Шар совершает оборот вокруг своей оси за \(20\) земных часов, поэтому на нем можно выделить полюса, экватор и построить сетку географических координат, подобную земной. Высадившись на поверхность небесного тела в районе \(45^\circ\) северной широты, космонавт установил высокий (около \(5\) м) прочный жесткий шест строго перпендикулярно поверхности небесного тела. К верхнему концу шеста прикреплена легкая прочная нить, на другом конце которой закреплен маленький, но очень плотный грузик. Космонавт обнаружил, что в положении равновесия нить с грузиком отклоняется от шеста на угол \(0{,}1^\circ\) (грузик при этом шеста не касается). Чему равно ускорение свободного падения у поверхности небесного тела?
Вариант 2. В обозримом будущем, когда будут созданы мощные ионные двигатели с ядерной силовой установкой, человечество сможет начать полноценное освоение Солнечной системы и даже добраться до ее периферии. Оснащенный таким двигателем корабль в 2125 году обнаружил где-то за пределами пояса Койпера очень странный объект, представляющий собой однородный шар диаметром \(100\) км. Шар вращается вокруг своей оси, поэтому на нем можно выделить полюса, экватор и построить сетку географических координат, подобную земной. Ускорение свободного падения у поверхности небесного тела составляет \(0{,}18\) м/с\(^2\). Высадившись на поверхность в районе \(45^\circ\) северной широты, космонавт установил высокий (\(5\)–\(6\) м) прочный жесткий шест строго перпендикулярно поверхности. К верхнему концу шеста прикреплена легкая прочная нить, на другом конце которой закреплен маленький, но очень плотный грузик. Космонавт обнаружил, что в положении равновесия нить с грузиком отклоняется от шеста на угол \(0{,}1^\circ\) (грузик при этом шеста не касается). Определить период вращения небесного тела вокруг своей оси.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе, вращающейся вместе с шаром, на грузик действуют сила тяжести, натяжение нити и центробежная сила. Угол отклонения нити связывает центростремительное ускорение на широте \(45^\circ\) с ускорением свободного падения.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(g = \dfrac{\pi^2 d}{\tau^2 \sin\delta} \cong 0{,}1\) м/с\(^2\). Вариант 2: \(T = \pi\sqrt{\dfrac{2R}{g\sin\delta}} \cong 15{,}6\) ч.
зад 6 Электросамокат
Вариант 1. Электросамокат массой \(20\) кг (в том числе масса аккумуляторов составляет \(10\) кг) имеет два колеса диаметром \(150\) мм, одно из которых ведущее. Масса человека, управляющего самокатом, составляет \(80\) кг, считать, что нагрузка между колесами распределяется равномерно. Энергоемкость батарей равна \(100\) Вт\(\cdot\)ч/кг (количество энергии, приходящееся на единицу массы аккумулятора). Определите дальность хода при равномерном движении с максимальной скоростью передвижения по асфальту (коэффициент трения качения \(0{,}01\) м), если мощность на ведущем колесе равна \(700\) Вт. КПД системы аккумулятор–двигатель–колесо составляет \(60\) %. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения, а коэффициент пропорциональности равен \(0{,}4\) кг/с.
Вариант 2. Электросамокат массой \(20\) кг (в том числе масса аккумуляторов составляет \(10\) кг) имеет два колеса диаметром \(150\) мм, одно из которых ведущее. Масса человека, управляющего самокатом, составляет \(60\) кг, а масса его попутчика равна \(30\) кг. Принять, что вес управляющего приходится на заднее колесо, а вес попутчика – на переднее. При этом вес электросамоката между колесами распределяется равномерно. Энергоемкость батарей равна \(100\) Вт\(\cdot\)ч/кг (количество энергии, приходящееся на единицу массы аккумулятора). Найдите КПД системы аккумулятор–двигатель–колесо, если самокат проезжает \(25\) км на одном полном заряде аккумуляторов при равномерном движении с максимальной скоростью передвижения по асфальту (коэффициент трения качения \(0{,}01\) м), если мощность на ведущем колесе равна \(750\) Вт. Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости движения, а коэффициент пропорциональности равен \(0{,}4\) кг/с.
Дополнительная информация. Сила трения качения определяется как \(F_{\text{тр кач}} = fN/R\), где \(f\) – коэффициент трения качения, \(N\) – вес, приходящийся на колесо, \(R\) – радиус колеса.
▶ПодсказкаСкрыть
При равномерном движении мощность на колесе равна сумме работы против трения качения и сопротивления воздуха. Максимальная скорость найдите из этого баланса мощностей.
▶ОтветСкрыть
Вариант 1: \(L = \dfrac{\upsilon\eta e m}{P} = 23140\) м. Вариант 2: \(\eta = \dfrac{LP}{\upsilon e m} = 54\) %.
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее» по физике, 2024/25, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.