Санкт-Петербургская, 2012/13, отборочный этап, 7 класс

Проведите через положение птицы солнечный луч до земли: какой путь за то же время пройдёт тень, если сравнить его с путём птицы?

\(1{,}4\) м/с.

Отмерим на рисунке расстояние \(S\), которое пролетела птица. Проследим за лучами света и определим, где в этот момент находится тень птицы. Измерим расстояние \(L\), которое прошла тень. Тогда \(S = Vt\), где \(V\) — скорость птицы, и \(L = Ut\), где \(U\) — скорость тени. Отсюда \(U = \dfrac{L}{t}\). Подставив время \(t = \dfrac{S}{V}\), получаем \(U = \dfrac{L}{S}\,V\). Подставим числа (\(L = 9\), \(S = 6{,}5\) — отмеренные по рисунку значения в одних единицах): \(U = \dfrac{9}{6{,}5}\cdot 1 \approx 1{,}38 \approx 1{,}4\) м/с.

Буёк, брошенный раньше, дольше сносится течением. Сравните, на сколько каждый буёк уплыл за время от своего броска до броска седьмого.

Рисунок — см. ниже.

Обозначим время между опусканиями (бросаниями) буйков за \(t\). Тогда пути, которые прошли буйки от начала бросания первого буйка до окончания бросания последнего, выражаются формулами: \[S_1 = 6tV_{\text{р}}, \quad S_2 = 5tV_{\text{р}}, \quad S_3 = 4tV_{\text{р}}, \quad S_4 = 3tV_{\text{р}}, \quad S_5 = 2tV_{\text{р}}, \quad S_6 = tV_{\text{р}},\] где \(V_{\text{р}}\) — скорость течения реки. Из рисунка видно, что \(S_1 = 2\) м. Тогда из первого уравнения \(tV_{\text{р}} = 1/3\) м, и далее: \(S_2 = \dfrac{5}{3}\) м, \(S_3 = \dfrac{4}{3}\) м, \(S_4 = 1\) м, \(S_5 = \dfrac{2}{3}\) м, \(S_6 = \dfrac{1}{3}\) м. Откладывая в масштабе пути, пройденные буйками, получаем рисунок (см. ответ).

Средняя путевая скорость и перемещение — разные величины: скорость считается по всему пройденному пути, перемещение — по разности координат в начале и в конце.

Средняя скорость Паши \(= 1\) м/с; средняя скорость собаки \(= 5{,}8\) м/с; перемещения Паши и собаки \(= 100\) м.

Средняя путевая скорость равна отношению всего пути ко всему времени. По графику путь Паши \(S = 100\) м, время \(T = 100\) с. Тогда средняя скорость Паши \[v_{\text{ср}} = \dfrac{S}{T} = \dfrac{100~\text{м}}{100~\text{с}} = 1~\text{м/с}.\] Путь собаки по графику состоит из четырёх отрезков: \(S_1 = 180\) м, \(S_2 = 120\) м, \(S_3 = 160\) м, \(S_4 = 120\) м. Весь путь собаки \(S_c = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 580\) м, и её средняя скорость \(v_c = S_c/T = 5{,}8\) м/с. Перемещения Паши и собаки одинаковы и равны \(100\) м.

Найдите объём материала одного кубика (объём куба минус объём полости) и массу одного этажа; число этажей должно быть целым.

3 этажа.

Полость представляет собой куб с ребром \(a - 2L\). Объём одного куба со стороной \(a\): \(V_{\text{к}} = a^3 = 27\) м\(^3\). Объём полости \(V_{\text{п}} = (a - 2L)^3 = (2{,}8)^3\) м\(^3 = 21{,}952\) м\(^3\). Объём вещества, из которого сделан куб: \(V_{\text{в}} = V_{\text{к}} - V_{\text{п}} = 5{,}048\) м\(^3\). Плотность материала \(\rho = 0{,}1\) г/см\(^3 = 100\) кг/м\(^3\). Масса одного этажа \[M_{\text{э}} = 4m_{\text{в}} = 4\rho V_{\text{в}} = 2019{,}2~\text{кг}.\] Число этажей \(N = M/M_{\text{э}} \approx 3{,}46\). Число этажей не может быть дробным, и каждый этаж повторяет фундамент, поэтому ответ — 3 этажа.

Гирьки вытесняют воду, и уровень поднимается на объём гирек, делённый на площадь дна. Сравните получившийся уровень с высотой кастрюли за вычетом толщины дна.

Вода из кастрюли не выльется.

Масса воды в кастрюле \(m_{\text{в}} = \rho_{\text{в}} V = 1000\) г. Весы находятся в равновесии, поэтому масса гирек равна массе кастрюли с водой: \(m_{\text{г}} = m + m_{\text{в}} = 1200\) г. Объём гирек \(V_{\text{г}} = m_{\text{г}}/\rho = 120\) см\(^3\). Объём вытесненной гирьками воды равен объёму гирек: \(V_{\text{г}} = S h_1\), где \(S\) — площадь дна, \(h_1\) — на сколько поднялась вода в кастрюле после того, как в неё опустили гирьки. Площадь дна \(S = V/H = 200\) см\(^2\), отсюда \(h_1 = V_{\text{г}}/S = 0{,}6\) см. Уровень воды \(H + h_1 = 5{,}6\) см. Максимально возможный уровень воды, при котором вода не вылилась, \(h_{\text{в}} = h - d = 6{,}7\) см. Так как \(5{,}6 < 6{,}7\), вода из кастрюли не выльется.