Санкт-Петербургская, 2012/13, отборочный этап, 8 класс

Выразите давление куба на лёд через его ребро \(a\): вес куба делится на площадь грани. Для цельного куба давление растёт с \(a\), а для полого рёбра дают массу, пропорциональную \(a\), и давление падает с ростом \(a\).

Цельные кубы безопасно ставить на лёд, если их сторона меньше \(1{,}43\) м; полые — если их сторона больше \(0{,}6\) м.

Цельный куб с ребром \(a\) имеет массу \(m = \rho_1 a^3\) и опирается гранью площадью \(S = a^2\), поэтому давление на поверхность \[P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho_1 a^3 g}{a^2} = \rho_1 a g.\] Давление растёт с размером куба. Безопасно ставить кубы с \(\rho_1 a g \le P_{max}\), откуда \[a = \frac{P_{max}}{\rho_1 g} = \frac{10^4~\text{Па}}{700~\text{кг/м}^3 \cdot 10~\text{Н/кг}} \approx 1{,}43~\text{м}.\] Для полого куба масса каркаса равна \(m = 12\,\rho_l a\), где \(\rho_l\) — линейная плотность трубы. Давление \[P = \frac{mg}{S} = \frac{12\rho_l a g}{a^2} = \frac{12\rho_l g}{a}\] убывает с ростом \(a\). Безопасно, когда \(\dfrac{12\rho_l g}{a} \le P_{max}\), то есть при \[a \ge \frac{12\rho_l g}{P_{max}} = \frac{12 \cdot 50~\text{кг/м} \cdot 10~\text{Н/кг}}{10^4~\text{Па}} \approx 0{,}6~\text{м}.\]

Центр шестерни всегда лежит посередине отрезка AB. Рассмотрите, как движется каждая из двух проекций этого отрезка на оси, параллельные направлениям движения A и B.

Если центр шестерни \(O\) неподвижен, он всегда остаётся центром отрезка AB — это видно из симметрии системы: рейка \(a\) смещается на столько же зубцов, что и рейка \(b\). Аналогичный вывод верен и при движении точки \(O\): для наблюдателя, всегда находящегося над точкой \(O\), всё будет выглядеть так же, как описано выше.

Таким образом, забываем теперь о рейках и шестерне и можем думать о задаче в упрощённом виде: точка \(O\) — всегда середина отрезка AB, хотя длина последнего может меняться. По условию один конец этого отрезка движется по горизонтальной прямой — обозначим её \(m\), другой по вертикальной (на рисунке) прямой — обозначим её \(n\).

Выберем оси координат совпадающими с прямыми \(m\) и \(n\). \(O\) — центр AB, следовательно, по каждой из осей \(O\) находится посередине между A и B. Но по каждой из выбранных осей один из концов AB не меняет положения, а значит \(O\) движется с половинной скоростью другого конца. Таким образом, \(O\) будет двигаться по прямой, и её горизонтальная скорость будет равняться \(V_a/2\), а вертикальная — \(V_b/2\).

Каждое новое кольцо добавляет вес, который требует дополнительного погружения, а высота конструкции растёт на \(l\). Посчитайте, на сколько опускается верхняя кромка стакана при добавлении одного кольца, и когда она окажется ниже уровня воды.

Конструкция утонет сразу после укладывания на неё 6-го кольца.

Когда Петя кладёт кольцо на стакан, масса всей конструкции увеличивается на \(m = 275\) г. Соответственно, объём части конструкции, находящейся под водой, должен также увеличиться на \(V = m/\rho = 275\) см\(^3\). Учитывая площадь основания стакана \(S = 100\) см\(^2\), получается, что в момент укладывания на стакан очередного кольца конструкция проседает вниз на \(2{,}75\) см. Вместе с тем кольцо увеличивает её высоту на \(2\) см. Итого верхняя кромка стакана при укладывании каждого кольца опускается на \(0{,}75\) см вниз. Конструкция утонет ровно тогда, когда её верхняя кромка окажется ниже поверхности воды и она начнёт набирать воду. Изначально конструкция возвышается над водой на \(4\) см, значит, это произойдёт при укладывании 6-го кольца (\(6 \cdot 0{,}75 = 4{,}5 > 4\)).

Сколько энергии за интервал \(\tau\) даёт плита, и сколько уходит на догрев очередной пельмешки до кипения? Остаток тепла идёт на кипение воды; выразите время кипения между пельмешками и сравните его с интервалом.

При \(\tau = 10\) с вода в кастрюле закипит 10 раз (после 5-й, 6-й, …, 14-й пельмешек).

Рассмотрим следующую величину: количество теплоты, которое нужно сообщить системе, чтобы нагреть её до \(T = 100\,^{o}\)C, т.е. довести воду в ней до кипения. Назовём эту величину \(Q_{-}\). В начальный момент, когда система состоит только из воды, \(Q_{-0} = (100 - 95) \cdot 8400 = 42\) кДж. Каждый пельмень, который докидывают в кастрюлю, увеличивает \(Q_{-}\) на \(E_{\text{П}} = 0{,}02 \cdot 3 \cdot 100 = 6\) кДж (т.к. теперь нам нужно нагреть до \(100\,^{o}\)C целый лишний пельмень, а на его нагревание должно уйти ровно столько теплоты). При этом за период времени длины \(\tau\) (от закидывания одного пельменя до закидывания следующего) в систему от плиты поступает энергия \(E_{+} = P \cdot \tau\). Ясно, что для того, чтобы у воды вообще были шансы закипеть, \(E_{+}\) должна быть больше 6 кДж. Также заметим следующее: если между закидыванием каких-то двух пельменей вода закипела, то между закидыванием следующих она также закипит. Действительно: если она закипела, то во-первых \(E_{+} > 6\) кДж, а во-вторых, в момент закипания \(Q_{-}\) станет равной нулю. Тогда в момент закидывания следующего пельменя \(Q_{-}\) станет равной 6 кДж. Но \(E_{+} > 6\) кДж, т.е. плита за следующий промежуток времени сумеет передать достаточное количество теплоты, следовательно, момент кипения настанет вновь.

Таким образом, осталось лишь определить первый момент, в который закипит вода. Ответим сначала на вопрос задачи при \(\tau = 10\) с. Тогда \(E_{+} = 15\) кДж. В конце 4-го промежутка времени \(\tau\) (прямо перед закидыванием пятой пельмешки) \(Q_{-} = 42 + 4 \cdot 6 - 4 \cdot 15 = 6\) кДж, т.е. вода ещё не закипала. Но за пятый промежуток времени \(Q_{-}\) увеличится на 6 кДж за счёт закидывания следующей пельмешки, и должна уменьшится на 15 кДж за счёт энергии от плиты. Но здесь-то наша величина \(Q_{-}\) и обнулится, а значит, на пятом промежутке времени вода впервые и закипит. Таким образом, всего вода в кастрюле закипит 10 раз (после 5-й, 6-й, …, 14-й пельмешек).

Сначала найдите силы натяжения нитей, идущих к платформе, из условия равновесия блоков. Затем запишите равенство моментов сил относительно точки A.

Расстояние AX от груза до левого края платформы равно \(26\frac{2}{3}\) см.

Рассмотрим правый блок. На него действуют пять сил: две от нити AC, две от нити BG и одна от нити EF. Блок находится в равновесии, поэтому сумма всех сил равна нулю. В частности, сумма всех горизонтальных сил, действующих на блок, также равна нулю. Но в горизонтальном направлении на блок действуют ровно две силы — из чего мы заключаем, что сила натяжения нити AC равна силе натяжения нити BG. Значит, на платформу AC действуют три одинаковые по величине силы, приложенные в точках A, B и C.

Определим расстояние от C до B. Оно равно \(a+b = 40\) см. Тогда расстояние AB равно 20 см. Обозначив силу натяжения нитей за \(T\), можем написать, что груз должен иметь вес \(3T\) (т.к. сумма сил, действующих на стержень, должна быть равна нулю). Теперь напишем уравнение моментов сил относительно точки A: \[20 \cdot T + 60 \cdot T - AX \cdot 3T = 0.\] Отсюда заключаем, что AX равно \(26\frac{2}{3}\) см.