Санкт-Петербургская, 2012/13, заключительный этап, 11 класс

Перейдите в систему отсчета, движущуюся вверх со скоростью \(u\): в ней плита покоится. Что будет со скоростью шарика после каждого отскока?

Средняя скорость плиты равна \(u^2/V\) и направлена вниз.

В системе отсчета, движущейся вверх со скоростью \(u\), плита покоится, а шарик имеет скорость \(V-u\). Удар упругий, поэтому после отскока скорость шарика в этой системе снова \(V-u\). Возвращаясь в неподвижную систему, получаем, что сразу после первого отскока скорость шарика равна \(V\). Время до первого удара \(t_1\): скорость шарика меняется с \(V\) (вверх) до \(V-2u\) (вниз), изменение проекции \(2(V-u) = gt_1\), \(t_1 = 2(V-u)/g\). За это время плита сдвинулась вверх на \(ut_1\). После первого удара плита движется вниз, и повторяя рассуждения с заменой \(u\) на \(-u\), получаем \(t_2 = 2(V+u)/g\). За это время плита опустилась на \(ut_2\). За период \(\tau = t_1 + t_2 = 4V/g\) плита смещается вниз на \(x = u(t_2 - t_1) = 4u^2/g\). Средняя скорость за большой промежуток времени \(x/\tau = u^2/V\), направлена вниз.

Выпуклое сферическое зеркало работает как рассеивающая линза с фокусным расстоянием \(R/2\). Рассмотрите последовательные отражения от сферы и от плоскости.

Все изображения мнимые: \(z_n = -\dfrac{Ra}{R+2na}\), \(n = 0, 1, 2, \dots\); кроме того, для \(n>0\) существуют мнимые изображения в точках \(-z_n\).

Координаты отсчитываем от точки соприкосновения чашки и плоского зеркала, ось \(z\) направлена вниз. Изображение в плоском зеркале: \(z_0 = -a\) (мнимое). Часть лучей проходит плоское зеркало и отражается от сферы. Сферическое выпуклое зеркало радиуса \(R\) работает как рассеивающая линза с фокусным расстоянием \(F = R/2\): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = -\dfrac{1}{F}\). Координата изображения \(z_1 = -\dfrac{Ra}{R+2a} < 0\) — мнимое. Свет, отразившийся от плоскости, дает изображение в точке \(-z_1 > 0\) — тоже мнимое. При втором отражении от сферы зеркало работает как система с оптической силой \(-2/F\), поэтому \(z_2 = -\dfrac{Ra}{R+4a}\). Повторяя рассуждения, получаем после \(n\) отражений от сферы мнимое изображение в точке \(z_n = -\dfrac{Ra}{R+2na}\) (2).

При расширении в вакуум газ не совершает работы и не получает теплоты, значит, его внутренняя энергия не меняется. Найдите температуры во всех точках цикла по уравнению Клапейрона — Менделеева.

\(\eta = \dfrac{2}{23} \approx 8{,}7\%\).

Изобразим цикл на диаграмме \(p(V)\). Начальные параметры \(p_1, V_1, T_1\). Участок 1–2 — изохорический нагрев, давление вдвое; участок 2–3 — изобарический нагрев, объем втрое. При расширении в вакуум газ не совершает работы и (контейнер теплоизолирован) не получает теплоты, значит внутренняя энергия постоянна, и точки 3 и 4 лежат на одной изотерме (процесс не квазиравновесный, это не изотерма). Участок 4–5 — изохорическое охлаждение до первоначального давления, 5–1 — возвращение в исходное состояние. По уравнению Клапейрона — Менделеева: \(T_2 = 2T_1\), \(T_3 = 6T_1\), \(T_4 = 6T_1\), \(p_4 = 3p_1/2\), \(T_5 = 4T_1\) (исходная температура \(T_1\) — минимальная в цикле). Работа за цикл \(A = 4p_1V_1 - 3p_1V_1 = p_1V_1\). Теплота получена на участках 1–2 (\(\tfrac{3}{2}\nu RT_1\)) и 2–3 (\(\tfrac{5}{2}\nu R\cdot 4T_1 = 10\nu RT_1\)), итого \(Q = \dfrac{23}{2}\nu RT_1\). КПД \(\eta = \dfrac{A}{Q} = \dfrac{2p_1V_1}{23\nu RT_1} = \dfrac{2}{23} \approx 8{,}7\%\).

Рассмотрите левую половину нити: ее уравновешивают натяжение, отталкивание правой половины и действие бусинок. Поле куска нити найдите через разность потенциалов, сдвигая кусок и меняя знак его заряда.

\(T = T_0 + \dfrac{2kQq}{L}\left(\dfrac{2}{l} - \dfrac{1}{L-l} - \dfrac{1}{L+l}\right)\) (здесь \(k\) — коэффициент в законе Кулона).

Пусть заряды нити и бусинок положительны. Левая половина нити первоначально удерживается натяжением \(T_0\) и отталкиванием \(F_0\) от правой половины, \(F_0 = T_0\). После надевания бусинок отталкивание половин сохраняется, а бусинки дополнительно действуют на левую половину. Пусть \(\vec E_1\) — напряженность левой половины нити в точке \(A\) (где левая бусинка), \(\vec E_2\) — в точке \(B\) (правая бусинка). Тогда равновесие левой половины: \(T = F_0 + q(E_1 + E_2)\) (3). Напряженность \(E_1 = \dfrac{\varphi - \varphi'}{\Delta x}\) (4) находится через разность потенциалов: сдвинутый влево на \(\Delta x\) кусок нити с обратным знаком заряда в сумме с исходным куском компенсирует заряд везде, кроме концов длиной \(\Delta x\) с зарядами \(\Delta q = Q\Delta x/L\). Тогда \(E_1 = \dfrac{2kQ}{L}\left(\dfrac{1}{l} - \dfrac{1}{L-l}\right)\), \(E_2 = \dfrac{2kQ}{L}\left(\dfrac{1}{l} - \dfrac{1}{L+l}\right)\). Подставляя в (3), получаем \(T = T_0 + \dfrac{2kQq}{L}\left(\dfrac{2}{l} - \dfrac{1}{L-l} - \dfrac{1}{L+l}\right)\).

Перейдите в систему отсчета, движущуюся с постоянной скоростью вдоль оси \(y\). В ней магнитная сила в полученной картине компенсируется электрическим полем, которое появляется при переходе.

При \(t < t_A\) напряженность поля \(E = 2B_0u\); при \(t > t_A\) напряженность \(E = 24B_0u\), поле направлено вдоль оси \(x\).

Поскольку частица движется в плоскости \(xy\), магнитное поле направлено вдоль оси \(z\). Для \(t < t_A\) перейдем в систему отсчета, движущуюся вдоль оси \(y\) со скоростью \(\vec v_{\mathrm{otn}} = 2\vec u\), вычитая ее из скорости частицы. Сила Лоренца в этой системе отличается на \(\Delta F = qv_{\mathrm{otn}}B_0 = 2quB_0\), направленную против оси \(x\); поэтому в исходной системе к нулевой напряженности в движущейся системе добавляется однородное электрическое поле \(E = 2B_0u\) вдоль оси \(x\). В движущейся системе скорость частицы постоянна по модулю, электрического поля нет, частица движется по окружности. Аналогично для \(t > t_A\) переходим в систему, движущуюся вдоль оси \(y\) со скоростью \(3u\); в ней график \(V_x(V_y)\) — снова полуокружность с центром в начале координат, поля нет. Возвращаясь в неподвижную систему, получаем напряженность \(E = 24B_0u\) вдоль оси \(x\). Примечание официального решения: при переключении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле, и точка переходит в другое место графика; в условии подразумевается, что частица в момент \(t_A\) находится на оси вихря.