Санкт-Петербургская, 2012/13, заключительный этап, 8 класс

Ответ

Установившаяся температура скульптуры \(T \approx -46^\circ\)C.

Решение

Каждая следующая деталь имеет объём ровно в восемь раз меньше предыдущей, значит, и масса соседних деталей отличается в 8 раз. Пусть масса первой детали \(m\), тогда масса второй \(m/8\). Разобьём детали на пары: 1-я со 2-й, 3-я с 4-й, 5-я с 6-й. В каждой паре большая деталь имеет температуру \(T_1\), меньшая — \(T_2\), а массы отличаются в восемь раз. Поэтому установившаяся температура в каждой паре одна и та же и равна температуре всей скульптуры. \[T = \frac{m\cdot(-50) + \frac{1}{8}m\cdot(-15)}{\frac{9}{8}\,m} \approx -46^\circ\text{C}.\] Здесь множитель удельной теплоёмкости льда сократился, так как входит в каждое слагаемое.

Ответ

График: см. рисунок в решении (давление \(20{,}33\) кПа при \(x<10\) м и растёт линейно до \(30{,}33\) кПа при \(x=15\) м).

Решение

Приведём решение первым способом. Давление одинаково на одинаковой глубине, так как система в равновесии. Проведём мысленно горизонтальную плоскость на глубине \(h = 2\) м. Площадь сечения \(S = l \cdot d = 75\) м\(^2\), суммарная масса детей и воды выше сечения \(M = 50 \cdot 50 + \rho S \cdot 2 = 152{,}5\) т. Давление \[P_{2m} = \frac{Mg}{S} = \frac{1525 \cdot 10^3}{75} \approx 20{,}33~\text{кПа}.\] На горизонтальной части дна давление равно \(P_{2m}\); в наклонной части к нему добавляется давление столба жидкости от глубины 2 м до глубины дна: \[x < 10~\text{м}: P = 20{,}33~\text{кПа}; \qquad x \ge 10~\text{м}: P = 20{,}33 + 2\,(x-10)~\text{кПа}.\]

Второй способ (закон Архимеда): добавление 50 детей массой 50 кг эквивалентно доливанию \(2{,}5\) т воды, что поднимает уровень на \(h = 2500/(\rho S) \approx 0{,}033\) м; давление в любой точке получается тем же.

Ответ

Область — объединение всех областей, достижимых за время от \(0\) до \(5\) мин; см. рисунок в решении.

Решение

См. решение задачи 5 седьмого класса (официальное решение этого же набора).

Сначала найдём область, в которой Джон может оказаться за фиксированное время \(\tau\). В стоячей воде это круг радиусом \(v\tau\) с центром в точке старта. Перейдём в систему отсчёта, связанную с течением: там область — круг. Возвращаясь в исходную систему, каждая точка области смещается на один и тот же вектор длины \(u\tau\), сонаправленный с течением. Итак, за фиксированное время \(\tau\) Джон может оказаться в круге радиусом \(v\tau\), смещённом по течению на \(u\tau\) (рис. слева).

Заметим, что есть точки, в которые Джон может попасть за время \(\tau/2\), но не за время \(\tau\): скорость течения больше его максимальной скорости. Итоговая область для всех \(\tau\) от 0 до 5 мин — объединение этих кругов; она изображена на рисунке справа. Именно этот рисунок и является ответом.

Ответ

1) погрешность момента проезда столба не превышает \(0{,}3\) с;  2) Харитон должен отсчитать хотя бы \(40\) столбов.

Решение

См. решение задачи 4 седьмого класса (официальное решение этого же набора).

Скорость по формуле \(V = nL/t\) для данных таблицы даёт противоречивые результаты: столб появляется в окне в течение некоторого промежутка времени, и Харитон нажимает кнопку секундомера в произвольный момент этого промежутка; кроме того, сама нажатие требует времени, которое не всегда одинаково. Ошибка измерения времени не превосходит некоторого \(\tau\). Чтобы ошибка вычисления была мала, надо, чтобы измеряемое время было гораздо больше \(\tau\), то есть отсчитывать много столбов.

Лучшая оценка скорости по последней колонке таблицы, \(n = 9\): \[V \simeq \frac{9 \cdot 42}{13{,}57} \simeq 27{,}86~\text{ м/с}.\] Допустимая ошибка скорости: \(\Delta V \le 0{,}005 \cdot 27{,}86~\text{ м/с} \simeq 0{,}14~\text{ м/с}\).

Оценим \(\tau\) по разностям времён между соседними столбами: \(\Delta t = 1{,}57;\ 1{,}36;\ 1{,}52;\ 1{,}61;\ 1{,}38;\ 1{,}63;\ 1{,}36;\ 1{,}64;\ 1{,}50\) с. Минимальное время \(1{,}36\) с, максимальное \(1{,}64\) с, значит, \(\tau \le 0{,}3\) с.

Ошибочно добавленный или недоучтённый промежуток \(\tau\) даёт лишний путь \(\Delta L = V\tau \simeq 8{,}4\) м, и скорость \(V = (nL \pm \Delta L)/t\) отличается от точного значения на \(\pm \Delta L/t\). Чтобы эта ошибка не превосходила \(\Delta V\), нужно \(t > \Delta L/\Delta V \simeq 60\) с. За 60 с поезд проходит около 40 промежутков между столбами (один промежуток проходит за \(L/V \simeq 1{,}5\) с), значит, Харитон должен отсчитать не менее 40 столбов.

Примечание: скорость, оценённая по последней колонке, определена с погрешностью \(\Delta L/t \simeq 0{,}61\) м/с; изменение оценки на эту величину не меняет ответ. Более надёжно обрабатывать все данные графически: откладывать \(nL\) по одной оси и \(t\) по другой, провести прямую через облако точек — её наклон даёт скорость.

Ответ

График температуры на выходе — см. рисунок в решении: максимум \(87^\circ\)C при \(J_2 = J_1 = 1\) л/с, при \(J_2 \to 0\) температура стремится к \(40^\circ\)C, при \(J_2 \to \infty\) — к \(20^\circ\)C.

Решение

Температура фиолетовой жидкости получается из теплового баланса: её теплоёмкость — среднее арифметическое теплоёмкостей синей и жёлтой, поэтому её можно рассматривать как смесь синей и жёлтой жидкостей, а выделившееся тепло \(QV\) добавить к ней. Для равных объёмов \(V\): \[T_v = \frac{VC_1T_1 + VC_2T_2 + QV}{V(C_1 + C_2)} = \frac{2{,}4 \cdot 40 + 1{,}3 \cdot 20 + 200}{3{,}7} \approx 87^\circ\text{C}.\] Эта температура не зависит от реагировавших объёмов. Поток на выходе равен сумме входящих и имеет постоянную температуру, поэтому достаточно рассмотреть систему за время \(\tau\) и записать тепловой баланс. Если \(J_2 \le J_1\): \[T_3 = \frac{2J_2\tau\frac{C_1+C_2}{2}\,T_v + (J_1-J_2)\tau C_1\,T_1}{2J_2\tau\frac{C_1+C_2}{2} + (J_1-J_2)\tau C_1},\] а при \(J_2 > J_1\): \[T_3 = \frac{2J_1\tau\frac{C_1+C_2}{2}\,T_v + (J_2-J_1)\tau C_2\,T_2}{2J_1\tau\frac{C_1+C_2}{2} + (J_2-J_1)\tau C_2}.\]

Подсказка

Сначала найдите силу натяжения нити из равновесия блока с грузом, затем разность давлений на поршни и высоту столба воды, и, наконец, сохранение объёма жидкости.

Ответ

Левый поршень находится на высоте \(H + h_1 = 306\frac{2}{3}\) см, правый — на высоте \(H - h_2 = 276\frac{2}{3}\) см.

Решение

На блок с грузом действуют силы тяжести (вниз), силы Архимеда блока и груза (вверх) и сила натяжения нити, удвоенная \(2T\) (вверх). Равновесие: \[m_1g + m_2g - \rho v_1g - \rho v_2g - 2T = 0,\] \[T = \frac{m_1g + m_2g - \rho v_1g - \rho v_2g}{2} = \frac{250 + 1700 - 100 - 150}{2} = 850~\text{Н}.\] Эта сила не зависит от положения поршней. Дополнительное давление нити на левый поршень \(P_1 = T/S_1 \approx 1{,}2\) кПа, на правый \(P_2 = T/S_2 \approx 4{,}25\) кПа. Разность давлений уравновешивается столбом жидкости: \[P_2 - P_1 = \rho g h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{P_2 - P_1}{\rho g} \approx 30~\text{см}.\] Пусть правый поршень опустился на \(h_2\), левый поднялся на \(h_1\), тогда \(h_1 + h_2 = h\) и из сохранения объёма \(h_2 S_2 = h_1 S_1\). Отсюда \[h_1 = \frac{hS_2}{S_1 + S_2} \approx 6\frac{2}{3}~\text{см}.\]

Ответ

1) кубик В опускается на \(2\) см, кубик Г — на \(3\) см;  2) пружины жёсткостью \(300\) Н/м (для В) и \(166\frac{2}{3}\) Н/м (для Г).

Решение

См. решение задачи 7 седьмого класса (официальное решение этого же набора).

Пронумеруем пружины сверху вниз. Пусть третья пружина растянулась на \(\Delta x > 0\); тогда, так как кубики А и В связаны нерастяжимой нитью, вторая пружина сжата на \(\Delta x\). Растяжение первой пружины обозначим \(\Delta y\), силы натяжения нитей — \(T_1\) и \(T_2\).

Условия равновесия кубиков: \[k\Delta y + k\Delta x = T_1, \qquad T_2 = 2k\Delta x, \qquad T_1 + k\Delta x = M_1 g, \qquad T_2 = M_2 g.\] Подставляя \(M_1 g = 6\) Н, \(M_2 g = 5\) Н, получаем \(T_2 = 5\) Н, \(\Delta x = \dfrac{T_2}{2k} = 0{,}05\) м \(= 5\) см, \(T_1 = M_1 g - k\Delta x = 3{,}5\) Н и \(\Delta y = \dfrac{T_1}{k} - \Delta x = 0{,}02\) м \(= 2\) см. Оба \(\Delta x\) и \(\Delta y\) положительны, значит, предположения о растяжениях верны.

Кубик В опустится на \(\Delta y = 2\) см, а кубик Г — на \(\Delta x - \Delta y = 3\) см.

Во втором случае кубики должны сместиться так же: для В нужна пружина с жёсткостью \(k_1 = \dfrac{M_1 g}{\Delta y} = 300\) Н/м, для Г — \(k_2 = \dfrac{M_2 g}{\Delta x - \Delta y} = \dfrac{500}{3}\) Н/м \(\approx 166\frac{2}{3}\) Н/м.