Санкт-Петербургская, 2014/15, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Посмотрите, на какое расстояние сдвигается траектория «Киркла» за один оборот: это даёт скорость ветра. Как связаны скорости «Норвегии» относительно воздуха и относительно земли?

Ответ

Скорость ветра \(20\) км/ч; скорость «Норвегии» относительно воздуха \(20\) км/ч. «Норвегия» движется относительно земли под углом \(60^\circ\) к линии север–юг: при южном ветре — влево или вправо по рисунку, при северном ветре — то же, но вниз.

Решение

Движение «Киркла» относительно земли складывается из равномерного движения по окружности с периодом \(T = \frac12\) ч и равномерного прямолинейного движения центра этой окружности на север. Если ветер дует не на север, а на юг (такое тоже возможно, исходя из рисунка), то решение становится зеркальным.

Диаметр окружности \(D\) точно совпадает с поперечным (с запада на восток) размером полосы, занимаемой траекторией: \(D = 5\) км. После полного оборота траектория начинает повторять саму себя со сдвигом вверх. Кривая совпадает сама с собой при сдвиге вверх на \(10\) клеток, значит за время \(T\) центр окружности сдвигается на \(10\) км. Скорость ветра \(V_{\text{в}} = \dfrac{10~\text{км}}{T} = 20\) км/ч. Такова же по величине скорость дирижабля «Норвегия» относительно земли.

Относительно воздуха всё выглядит так, будто ветра нет. Значит, в системе отсчёта воздуха прямая траектория «Норвегии» пересекает окружность траектории «Киркла» по диаметру (проходя через её центр и деля её пополам). Поскольку дирижабли встретились два раза, «Норвегия» прошла расстояние \(D\) за время \(T/2\). Тогда её скорость относительно воздуха \(V_{0N} = \dfrac{D}{T/2} = \dfrac{5~\text{км}}{\frac14~\text{ч}} = 20\) км/ч (направление не известно).

Итак, по абсолютной величине скорость ветра \(V_{\text{в}}\), скорость «Норвегии» относительно воздуха \(V_{0N}\) и скорость «Норвегии» относительно земли \(V_N\) одинаковы и равны \(20\) км/ч.

За час «Норвегия» относительно земли смещается вместе с воздухом на \(20\) км на север (отрезок \(AB\)), но за это же время смещается и относительно воздуха на отрезок \(BC\) такой же длины \(20\) км. Тогда перемещение относительно земли — отрезок \(AC\), и он задаёт направление движения «Норвегии». Три отрезка образуют треугольник, все стороны которого равны \(20\) км. Такой треугольник равносторонний, каждый его угол равен \(180^\circ/3 = 60^\circ\). Вершина \(C\) может быть как слева, так и справа от отрезка \(AB\).

Итак, если ветер южный (дует с юга на север, вверх по рисунку), то «Норвегия» будет двигаться относительно земли под углом \(60^\circ\) к линии север–юг, влево или вправо по рисунку. Если же ветер северный (что тоже допускает рисунок траектории), то решение зеркально: тоже \(60^\circ\) к линии север–юг, но вниз.

Подсказка

Разбейте движение механика на этапы между его встречами с тележками. Удобно отслеживать точку, находящуюся посередине между тележками.

Ответ

Третья встреча — в момент \(812{,}5\) с после начала движения, на расстоянии \(5812{,}5\) м от первой станции.

Решение

Движение рабочего (механика) можно разбить на несколько этапов.

1. Расстояние от рабочего до быстрой тележки \(4500\) м, скорость сближения \(20\) м/с, время встречи \(225\) с. Первая встреча: (\(225\) с, \(3375\) м).

2. Далее рабочий движется за быстрой тележкой, пока медленная тележка не окажется ближе. Этот момент определяется по встрече с «серединой» между тележками. Скорость движения «середины» \(12{,}5\) м/с. В момент времени \(225\) с расстояние до «середины» \(562{,}5\) м, скорость сближения \(7{,}5\) м/с, время до встречи \(75\) с. В момент времени \(300\) с рабочий меняет направление.

3. Расстояние до медленной тележки \(750\) м, скорость сближения \(15\) м/с, время до встречи \(50\) с. Вторая встреча: (\(350\) с, \(3500\) м).

4. Далее рабочий меняет направление и движется до встречи с быстрой тележкой, которая уже доехала до второй станции и едет назад. Они встретятся в момент \(812{,}5\) с после начала движения на расстоянии \(5812{,}5\) м от первой станции. Это третья встреча.

Подсказка

Вода в сосуде находится в равновесии. Сравните силу давления на дно и вес воды: разность сил по вертикали уравновешивается силой со стороны левой стенки; горизонтальная сила уравновешивается силой со стороны правой стенки.

Ответ

\(F_X = 13{,}5\,\rho g a^3\) (горизонтальная сила); \(F_Y = 10{,}5\,\rho g a^3\) (вертикальная сила).

Решение

В задаче удобно использовать единицу силы \(F_0 = \rho g a^3\). Полный вес жидкости равен \(16{,}5\,F_0\). Сила давления на нижнюю стенку равна \(27\,F_0\). Сила давления на боковую стенку справа определяется давлением на середине её высоты, то есть \(13{,}5\,F_0\) (школьник может это просто сформулировать без доказательства). Баланс сил, действующих на воду по осям: \[27\,F_0 = 16{,}5\,F_0 + F_Y, \qquad \text{где } F_Y = 10{,}5\,\rho g a^3 \text{ — вертикальная сила, действующая на левую стенку;}\] \[13{,}5\,F_0 = F_X, \qquad \text{где } F_X = 13{,}5\,\rho g a^3 \text{ — горизонтальная сила, действующая на левую стенку.}\]

Альтернативный путь: считать силу, действующую на каждый сегмент левой стенки, через \(pS\). Давление берётся на середине высоты стенки, а площадь наклонного сегмента принимается равной его проекциям на оси \(X\) и \(Y\), равным \(3a^2\). Если рассматривать сегменты левой стенки по отдельности сверху вниз, компоненты сил, действующих на сегменты, равны: \((1{,}5\,F_0;\ 0)\), \((4{,}5\,F_0;\ 4{,}5\,F_0)\), \((0;\ 6\,F_0)\), \((7{,}5\,F_0;\ 0)\). Их суммы дают \(13{,}5\,F_0\) и \(10{,}5\,F_0\) соответственно.

Подсказка

Какое натяжение испытывает каждая часть жгута? Как связаны относительное удлинение жгута и его начальная длина?

Ответ

Начальные длины частей жгута: \(\frac{20}{21}\) м, \(\frac{5}{3}\) м и \(\frac{50}{21}\) м (сумма равна \(5\) м).

Решение

Сначала определим длину каждой из частей жгута в растянутом виде. Каждой части подвешен груз массой \(10\) кг, значит натяжение каждой части равно \(100\) Н. Поэтому суммарное растяжение частей такое же, как если бы к целому жгуту подвесить груз массой \(10\) кг: \(\Delta l = F/k = 2\) м. Таким образом, суммарная длина трёх растянутых частей равна \(7\) м. Если длина самого короткого отрезка жгута в растянутом состоянии равна \(x\), то \(x + (x+1~\text{м}) + (x+2~\text{м}) = 7\) м, откуда \(x = \frac43\) м.

Осталось определить начальную (нерастянутую) длину кусков жгута. Относительное удлинение жгута (отношение конечной и начальной длины) зависит только от нагрузки и не зависит от начальной длины. Действительно, жгут вдвое большей длины можно рассматривать как два одинаковых жгута, соединённых последовательно; под одинаковой нагрузкой их удлинение удваивается вместе с длиной, и относительное удлинение не меняется. То же верно и для произвольной длины.

Все три части находятся под одинаковой нагрузкой, и их относительное удлинение одинаково и равно суммарному относительному удлинению \((l+\Delta l)/l = 1{,}4\). Значит, каждая часть растянута в \(7/5\) раза относительно своей начальной длины. Начальные длины отрезков были равны: \(\frac57\cdot\frac43 = \frac{20}{21}\) м, \(\frac57\cdot\frac73 = \frac53\) м и \(\frac57\cdot\frac{10}3 = \frac{50}{21}\) м.

Возможны альтернативные решения. В любом случае необходимы соображения о том, что жёсткость отрезка жгута зависит от его длины.

Подсказка

Тяжёлый таракан неподвижен относительно стола, значит рамка смещается относительно стола так же, как тяжёлый таракан движется относительно рамки, но в обратную сторону. Скорость лёгкого таракана относительно стола — это его скорость относительно рамки плюс скорость рамки.

Ответ

Траектория лёгкого таракана в системе отсчёта стола — замкнутая за время \(2T\) линия из отрезков и дуг окружностей (см. рисунок к решению), где \(T\) — время обхода лёгким тараканом рамки.

Решение

Отметим следующее.

1. Движение лёгкого таракана бывает двух типов: прямолинейное, когда тяжёлый и лёгкий таракан движутся вдоль рамки, и дуга окружности, когда тяжёлый таракан проходит через угол рамки и рамка поворачивается (это окружность, так как поворот происходит быстро и расстояние от лёгкого таракана до тяжёлого не успевает измениться).

2. В случае поворота его угол равен \(90^\circ\), то есть траектория лёгкого таракана представляет собой четверть полной окружности. Рамка с лёгким тараканом поворачивается по часовой стрелке.

3. Траектория лёгкого таракана представляет собой дуги окружностей и отрезки прямых; направление при движении по прямой меняется, когда лёгкий таракан проходит через угол рамки. Скорость лёгкого таракана относительно земли (стола) определяется соотношением \(\vec V = \vec V_L - \vec V_H\), где \(\vec V_L\) — скорость лёгкого таракана относительно рамки (зависит от положения таракана на рамке в данный момент), \(\vec V_H\) — скорость тяжёлого таракана относительно рамки; она всегда постоянна и направлена так же, как в начальный момент времени (на рисунке — наверх).

4. Пусть время обхода лёгким тараканом рамки равно \(T\). Тогда полный период движения равен \(2T\), то есть через время \(2T\) траектория замыкается. Отметим также, что тяжёлый таракан пересекается с лёгким в моменты времени \(\frac23 T\) и \(\frac43 T\), если считать начальный момент времени нулевым. В моменты \(\frac23 T\) и \(\frac43 T\) лёгкий таракан проходит через начальную точку относительно земли.

5. Движение лёгкого таракана разбивается на следующие этапы (см. рисунок к решению). Жирной стрелкой показана длина стороны квадрата. Слева от траектории показано положение тараканов и рамки после каждого поворота (точки 4, 7, 10). Этапы: 1–2 [\(0\), \(T/4\)] отрезок; 2–3 [\(T/4\), \(T/2\)] отрезок; 3–4 [\(T/2\)] дуга окружности; 4–5 [\(T/2\), \(3T/4\)] отрезок; 5–6 [\(3T/4\), \(T\)] отрезок; 6–7 [\(T\)] дуга окружности; 7–8 [\(T\), \(5T/4\)] отрезок; 8–9 [\(5T/4\), \(3T/2\)] отрезок; 9–10 [\(3T/2\)] дуга окружности; 10–11 [\(3T/2\), \(7T/4\)] отрезок; 11–12 [\(7T/4\), \(2T\)] отрезок. Точка 12 совпадает с точкой 1.

Подсказка

Запишите равенство масс смесей в стаканах: это даёт два уравнения для объёмов жидкостей во втором стакане.

Ответ

\(X = \dfrac{\rho_2\,(3\rho_1+\rho_2)}{\rho_1\,(\rho_1+3\rho_2)}\).

Решение

Пусть в первом сосуде объёмы жидкостей равны \(V\), а объёмы жидкостей во втором сосуде равны \(V_1\) и \(V_2\). Тогда \((\rho_1+\rho_2)V = \rho_1V_1 + \rho_2V_2\), исходя из условий равновесия. Также \(\rho_1V_1 = \rho_2V_2\), так как массы жидкостей во втором сосуде равны. Из этих уравнений получаем \(V_1 = \dfrac{(\rho_1+\rho_2)V}{2\rho_1}\), \(V_2 = \dfrac{(\rho_1+\rho_2)V}{2\rho_2}\).

Так как нас интересует отношение \(X\) полного объёма первой жидкости к полному объёму второй, \[X = \frac{V+V_1}{V+V_2} = \frac{\rho_2\,(3\rho_1+\rho_2)}{\rho_1\,(\rho_1+3\rho_2)}.\]

Подсказка

Излом графика показывает момент, когда вода поднимается до верха шариков. Наклон графика после излома даёт площадь сечения сосуда.

Ответ

Плотность материала шариков \(1{,}5\) г/см\(^3\).

Решение

Определим площадь сосуда. После излома на графике вода находится над шариками и полностью заполняет всё сечение, а буёк при этом находится над водой. Добавка \(400\) см\(^3\) воды приводит к повышению её уровня на \(2\) см, то есть площадь дна сосуда равна \(200\) см\(^3\).

Излом происходит в момент, когда уровень воды достигает верха шариков, то есть уровня \(10\) см. Полный объём под уровнем воды в этот момент равен \(2000\) см\(^3\), из них \(600\) см\(^3\) занимает вода, а \(1400\) см\(^3\) — шарики.

Объём, занимаемый материалом шариков, \(1400\) см\(^3\), их масса \(2100\) г. Плотность материала шариков \(1{,}5\) г/см\(^3\).