Санкт-Петербургская, 2014/15, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Центр масс каждой клеточки лежит в её середине. Для вертикали достаточно учесть несколько грузиков с массами, равными числу слоёв в клеточках, и найти их центр масс.

Ответ

Центры масс листа после двух и четырёх сгибов отмечены на рисунках 2 и 4 официального решения. После двух сгибов центр масс смещён относительно центра листа на \(0{,}25\) клетки вниз (и на столько же по горизонтали); после четырёх — на \(0{,}25\) клетки от центра верхней клетки вниз и на \(0{,}25\) клетки от центра левой клетки вправо.

Решение

Искать центр масс двумерного листа бумаги — дело непростое, поэтому мы будем отдельно искать его центр масс по горизонтали и по вертикали. Во-первых, очевидно, что у расправленного листа центр масс находится ровно посередине — это следует из симметрии.

Рассмотрим теперь лист бумаги после двух складываний (см. рис. 1). Цифры в клеточках показывают, сколько слоёв бумаги покрывают эту клеточку. Также заметим, что центр масс каждой клеточки находится в её середине. Легко видеть, что для нахождения центра масс листа по вертикали достаточно рассмотреть три грузика массами 2, 1 и 1 на расстоянии 1 друг от друга и найти их центр масс. Этот центр масс находится на каком-то расстоянии \(a\) от центрального грузика. Запишем уравнение равновесия: \(2\cdot(1-a) = a\cdot 1 + (a+1)\cdot 1\). Отсюда \(a = 0{,}25\), и центр масс находится на \(0{,}25\) клетки выше центрального грузика, т.е. сместился на \(0{,}25\) клетки вниз относительно начального положения. Осталось заметить, что лист симметричный относительно поворота, а значит для центра масс по горизонтали работают ровно те же рассуждения. Центр масс листа отмечен красной точкой на рисунке 2.

После четырёх складываний определение центра масс оказывается совсем простым; здесь остаётся только две клетки по вертикали, и центр масс расположен на расстоянии \(0{,}25\) клетки от центра верхней клетки вниз и \(0{,}25\) клетки от центра левой клетки вправо (см. рис. 4).

Подсказка

Куб в равновесии: натяжение нити равно разности силы тяжести и силы Архимеда. Как эта разность меняется, когда верхние слои куба уменьшаются?

Ответ

Максимальное натяжение нити, зафиксированное за время эксперимента, равняется \(204\) Н.

Решение

На куб, закреплённый за бортом подводной лодки, действуют три силы: сила Архимеда со стороны воды \(F_a = \rho g V\), сила тяжести \(mg\) и сила со стороны нити. Куб находится в равновесии, а значит сумма этих сил равна нулю. Таким образом, искомую силу натяжения нити мы можем найти, вычитая из силы тяжести куба силу Архимеда. Стоит отметить, что эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Первый случай означает, что сила Архимеда меньше силы тяжести, и нить тянет куб наверх, удерживая его от того, чтобы утонуть. Во втором же случае сила Архимеда со стороны жидкости больше силы тяжести куба, то есть куб стремится всплыть, а нить удерживает его от этого, и сила со стороны нити действует вниз. Таким образом, нас интересует максимум модуля разности силы Архимеда и силы тяжести куба. Исследуем, как изменяется эта величина (обозначим её за \(F_d\)) по мере того, как моряки уменьшают куб.

Плотность \(\rho_1\) больше плотности воды, а плотность \(\rho_2\) — меньше. А значит, что \(F_d\) будет увеличиваться, когда моряки будут подпиливать слои куба плотностью \(\rho_2\) и уменьшаться, когда они будут подпиливать слои плотностью \(\rho_1\). Это также будет видно из выражения для \(F_d\) чуть далее.

Вычислим начальное значение величины \(F_d\) и натяжения нити: \[F_d = a^3\rho_1 g + \bigl((3a)^3 - a^3\bigr)\rho_2 g + \bigl((5a)^3 - (3a)^3\bigr)\rho_1 g - (5a)^3\rho g.\] Первое слагаемое здесь соответствует массе внутреннего кубика, второе — массе средней части, третье — массе внешней части куба, и вычитается сила Архимеда со стороны воды.

Для удобства перепишем выражение в таком виде: \[F_d = a^3(\rho_1 - \rho)g + \bigl((3a)^3 - a^3\bigr)(\rho_2 - \rho)g + \bigl((5a)^3 - (3a)^3\bigr)(\rho_1 - \rho)g.\] Теперь его просто вычислить, а также становится совсем ясным вывод из второго абзаца. \[F_d = g a^3\bigl[(\rho_1 - \rho) + 26(\rho_2 - \rho) + 98(\rho_1 - \rho)\bigr] = 10\cdot 0{,}2^3\cdot 50\cdot(1 - 52 + 98) = 4\cdot 47~\text{Н}.\]

По мере того, как моряки будут уменьшать куб, значение \(F_d\) будет уменьшаться, как было отмечено, т.к. они подпиливают внешний куб, имеющий плотность \(\rho_1\). Пока значение \(F_d\) будет оставаться положительным, оно в любом случае будет меньше уже найденного. Если же оно станет отрицательным, то с каждым следующим уменьшением кубика \(F_d\) будет расти по модулю. А значит, нас может интересовать лишь момент, когда сторона куба уменьшится до размера \(3a\). (То есть локальный максимум функции \(F_d(l)\), где \(l\) — длина стороны куба.) Вычислим \(F_d\) в этот момент: \[F_d = a^3(\rho_1 - \rho)g + \bigl((3a)^3 - a^3\bigr)(\rho_2 - \rho)g,\] \[F_d = g a^3\bigl[(\rho_1 - \rho) + 26(\rho_2 - \rho)\bigr] = 10\cdot 0{,}2^3\cdot 50\cdot(1 - 52) = -4\cdot 51~\text{Н}.\] То есть сила натяжения нити, которая равняется модулю \(F_d\), в этом случае будет больше и будет равняться \(204\) Н.

По аналогичным соображениям дальше \(F_d\) будет увеличиваться, а нас не будут интересовать никакие промежуточные моменты, кроме того, когда куб сократится до стороны \(a\). Но в этом случае легко увидеть, что сила натяжения нити будет уже слишком маленькой и равняться \(4\) Н.

Подсказка

В системе отсчёта тяжёлого таракана (она совпадает с системой стола) легко нарисовать траекторию лёгкого. Что происходит с расстоянием между тараканами, когда рамка поворачивается вокруг тяжёлого?

Ответ

Траектория лёгкого таракана изображена на рисунке 8 официального решения.

Решение

Тяжёлый таракан всегда остаётся неподвижен относительно стола; это означает, что системы отсчёта тяжёлого таракана и стола совпадают. Рассмотрим отрезок времени, в который оба таракана ползут по первым рёбрам рамки. Переходя в систему отсчёта тяжёлого таракана, можно легко нарисовать траекторию лёгкого, которая будет являться отрезком прямой. Эта часть траектории отображена на рисунке 6.

Теперь рассмотрим момент, когда тяжёлый таракан хочет повернуть на следующее ребро. Как следует из условия задачи, относительно стола он остаётся совершенно неподвижным, а значит, поворачивается при этом рамка. Лёгкий таракан при этом описывает траекторию, представляющую собой часть окружности (т.к. его расстояние до тяжёлого таракана остаётся неизменным). Момент поворота отображён на рисунке 7. Дальше они вновь ползут вдоль рёбер, и траектория вновь представляет собой отрезок прямой (см. рис. 8). После этого массивный таракан вновь поворачивает рамку, и ситуация становится аналогичной начальной, т.е. дальше лёгкий таракан продолжает двигаться по той же траектории.

Подсказка

Сначала найдите растяжение каждой части жгута под грузом. Затем сообразите, как связаны жёсткость части и её длина, и составьте уравнение на суммарную длину трёх частей.

Ответ

Барону нужно разрезать жгут на части длинами \(x_1 = \dfrac{20}{21}\) м, \(x_2 = \dfrac{5}{3}\) м, \(x_3 = \dfrac{50}{21}\) м.

Решение

Сначала определим длину каждой из частей жгута в растянутом виде. Это можно сделать без составления системы уравнений. Действительно, к каждой из частей жгута будет подвешен груз массой 10 кг. Это значит, что сила натяжения каждой из частей будет равна 100 Н. А это значит, что их суммарное растяжение будет таким же, как если бы к целому жгуту подвесить груз массой 10 кг. То есть общее растяжение трёх частей жгута будет равно \(\Delta l = F/k = 2\) м.

Отсюда суммарная длина трёх частей жгута с подвешенными грузами будет равняться 7 м, и можно определить длину каждой из частей жгута: \[x + (x+1) + (x+2) = 7 \;\Rightarrow\; x = \frac{4}{3}~\text{м}.\]

Осталось определить начальную длину кусков жгута. Научимся сначала находить жёсткость частей жгута. Заметим: если жгут растягивать с силой \(F\), его длина увеличится на \(\delta l\) согласно закону Гука \(F = k\,\delta l\). Каждая из половин жгута при этом растянулась на \(\delta l/2\). Значит, жёсткость половины жгута равняется \(2k\). Аналогично, жёсткость отрезка жгута длины \(l_1\) равняется \(k_1 = \dfrac{L}{l_1}k\), где \(L\) — длина всего жгута.

Обозначим за \(y\) длину части жгута в растянутом виде, за \(l\) — его длину в нерастянутом, и напишем уравнение, связывающее \(y\) и \(l\): \[y = l + \frac{F}{k} = l + \frac{F}{kL/l} = l + \frac{Fl}{kL} = l\Bigl(1 + \frac{F}{kL}\Bigr) = l\Bigl(1 + \frac{100}{50\cdot 5}\Bigr) = 1{,}4\,l.\] Таким образом, начальная длина каждой из частей жгута в \(1{,}4\) раза меньше их длин в растянутой версии.

Подсказка

Из конфигурации блоков видно, что кубики движутся согласованно. Сравните силы Архимеда в начальный момент с весами кубиков: в каком направлении будет двигаться система и может ли нижний кубик полностью оказаться в керосине?

Ответ

Верхняя грань верхнего бруска будет находиться на расстоянии \(70\) см от границы раздела жидкостей.

Решение

Из конфигурации блоков видно, что оба кубика будут либо двигаться одновременно вниз, либо одновременно вверх. Вычислим плавучести кубиков в начальный момент. Силы тяжести, действующие на кубики, равны и составляют \(F_T = 68\) Н. Объёмы кубиков равны \(V = 8\cdot 10^{-3}\) м\(^3\). Тогда сила Архимеда, действующая на верхний кубик, равняется \[F_1 = \rho_k g V = 8\cdot 10^{-3}\cdot 10\cdot 800 = 64~\text{Н},\] а на нижний \[F_2 = \rho g V = 8\cdot 10^{-3}\cdot 10\cdot 1000 = 80~\text{Н}.\] Тогда суммарная сила, действующая на оба кубика, равняется \(F_1 + F_2 - 2F_T = 8\) Н и направлена вверх, т.е. кубики начнут одновременно всплывать.

Сразу можно отметить, что нижний кубик не всплывёт настолько, чтобы оказаться целиком в керосине. Действительно, в этом случае силы Архимеда, действующие на кубики, не превышали бы \(F_1 = 64\) Н (сила Архимеда верхнего кубика может быть ещё меньше, если он торчит из воды), а силы тяжести равны тем же 68 Н, то есть это никак не могло бы быть положением равновесия.

Тогда положение равновесия будет выглядеть так, как показано на рисунке 9; нам необходимо определить неизвестную длину \(x\). Её можно найти из уравнения баланса сил: три из четырёх действующих на кубики сил нам известны — две силы тяжести \(F_T\) и сила Архимеда на верхний кубик \(F_1\). Таким образом, осталось лишь выразить силу, действующую на нижний кубик со стороны воды, через \(x\). Сила Архимеда вызывается разностью давлений жидкости, действующих на нижнюю и верхнюю грани кубика. Вычислим эту разность: \[\Delta P = \rho_k g x + \rho g (a - x).\] И тогда сила со стороны жидкости равняется \(a^2\,\Delta P = a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g (a - x)\bigr)\). Подставив это выражение в условие равновесия системы, вычислим \(x\): \[F_1 + a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g (a - x)\bigr) - 2F_T = 0.\] Отсюда

\[a^2\bigl(\rho_k g x + \rho g(a - x)\bigr) = 72~\text{Н},\] \[4\cdot 10^{-2}\bigl(8\cdot 10^{2}\cdot 10x + 10^{3}\cdot 10(0{,}2 - x)\bigr) = 72,\] \[80x + 20 - 100x = 18 \;\Rightarrow\; 20x = 2 \;\Rightarrow\; x = 0{,}1~\text{м}.\] Таким образом, нижний кубик возвышается над границей раздела жидкостей на 10 сантиметров (т.е. на половину своей длины), а верхняя грань верхнего бруска — на 70 сантиметров.

Подсказка

Выразите радиус диска через высоту, на которой он находится, и подумайте, какая величина пропорциональна мощности нагревателя: теплота, идущая на плавление, или изменение площади диска?

Ответ

\(P(t) = P_0 - \mu t\), где \(\mu = P_0/25\) кВт/с: мощность линейно убывает от \(5\) кВт в начальный момент до нуля через \(25\) с. График — прямая (рис. 10 официального решения).

Решение

На протяжении решения задачи греческими буквами мы будем обозначать различные постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов нам будут неизвестны, но и не важны.

Заметим, что радиус диска прямо пропорционален высоте, на которой находится диск: \(R_D = \alpha\tilde h\). При равномерном движении высота, на которой находится диск, линейно уменьшается со временем: \(\tilde h(t) = h - \beta t\). Отсюда и радиус диска линейно уменьшается со временем: \[R_D(t) = \alpha\tilde h(t) = \alpha(h - \beta t) = \alpha h - \alpha\beta t = R_0 - \gamma t.\] Здесь \(R_0\) — радиус диска в начальный момент времени.

Мощность, которую тратит нагреватель, пропорциональна изменению площади диска за единицу времени. Действительно, мощность за единицу времени — это теплота, которую нагреватель передал ледяному диску. Эта теплота идёт на плавление льда. А количество растаявшего льда, соответственно, прямо пропорционально теплоте, которую льду передали. В свою очередь, изменение площади диска пропорционально радиусу диска. Действительно, если радиус уменьшился на маленькое значение \(\delta R\), то площадь уменьшилась на \(2\pi R\,\delta R\).

Отсюда можно записать: \(P(t) = \nu R_D(t)\). Подставляя уже полученное выражение для зависимости радиуса диска от времени (значения коэффициентов пропорциональности нам всё ещё не известны), получаем \[P(t) = \nu(R_0 - \gamma t) = P_0 - \mu t.\] Видим, что зависимость мощности от времени представляет собой линейную функцию, и её графиком будет прямая. Однако нам неизвестен коэффициент \(\mu\). Но его несложно определить из условия того, что мощность должна обнулиться, когда диск дойдёт до низа конуса. Это произойдёт через 25 секунд после начального момента, поэтому \(\mu = P_0/25\). Осталось лишь построить график.

Подсказка

Введите неизвестные массы, распределённые между рычагами в каждой вершине, и запишите условие равновесия каждого рычага. Какие значения допускают введённые переменные?

Ответ

Масса \(M_3\) может быть любой в интервале от \(2\) кг до \(12\) кг.

Решение

Условием равновесия системы будет являться равновесие всех трёх рычагов. Вес гирь, стоящих в вершинах треугольника, при этом может быть произвольно распределён между рычагами, соединяющимися в соответствующей вершине. Нумеруя вершины треугольника по часовой стрелке (третья вершина соответствует гире \(M_3\)), напишем уравнения равновесия всех трёх рычагов: \[x_1 = 2x_2, \qquad (8 - x_2) = 2x_3, \qquad M_3 - x_3 = 8 - x_1.\] Введённые обозначения отмечены на рисунке 11. При этом на \(x_1\) и \(x_2\) есть естественные ограничения: \(0 \le x_1, x_2 \le 8\).

Из первого уравнения видно, что \(x_2\) может находиться в интервале от нуля до четырёх килограммов. Действительно, иначе масса \(x_1\) должна будет превышать 8 кг, что невозможно. Также легко заметить, что при любом допустимом значении \(x_2\) значение \(x_1\) также оказывается удовлетворяющим наложенным ограничениям. Поэтому осталось лишь выразить искомую массу \(M_3\) через \(x_2\): \[x_3 = \frac{8 - x_2}{2}, \qquad M_3 = 8 - x_1 + x_3 = 8 - 2x_2 + 4 - \frac{x_2}{2} = 12 - \frac{5}{2}x_2.\] Отсюда видно, что при минимальном значении \(x_2 = 0\) масса \(M_3\) оказывается равной 12 кг, при максимальном значении \(x_2 = 4\) кг масса \(M_3\) оказывается равной 2 кг. А значит, при любых значениях \(M_3\) из указанного интервала массы остальных гирь сумеют перераспределиться по рычагам так, чтобы система оказалась в равновесии.