зад 1 Шарик в магнитном поле
Маленький шарик массы \(m\), имеющий положительный заряд \(q\), перемещают в однородном магнитном поле по круговой траектории радиуса \(R\) (см. рис.). Индукция поля равна \(B\), его направление указано на рисунке. Шарик перемещают так, что модуль его скорости возрастает со временем по закону \(|v| = at\). Найдите, какую по модулю силу \(F(t)\) требуется прикладывать к шарику в каждый момент времени \(t\), чтобы перемещать его описанным образом.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не меняет её модуля. Внешняя сила должна обеспечить и касательное ускорение, и центростремительное, а полная сила равна геометрической сумме этих составляющих.
зад 2 U-образный сосуд в бассейне
Имеется сосуд U-образной формы с прямыми стенками (см. рис. а): его дно имеет площадь \(2S\), а два горлышка — площадь \(S\) каждое. Масса сосуда \(M\), объём \(V\). Стенки сосуда тонкие. Большой бассейн разделили вертикальной перегородкой на два отсека и надели на перегородку перевёрнутый U-образный сосуд, как это показано на рис. б. Расстояние от нижнего края сосуда до дна бассейна равно \(L\). В отсеки бассейна начали наливать жидкость плотностью \(\rho\), причём подъём уровня жидкости в каждом отсеке бассейна строго отрегулирован: у правой стенки бассейна скорость подъёма уровня всегда равна \(v\), а у левой стенки — в два раза больше. Определите, через какое время сосуд всплывёт (считать, что это происходит до того, как жидкость поднимется до перегородки). Атмосферное давление равно \(p_0\), ускорение свободного падения \(g\). Температуру считать постоянной.
▶ПодсказкаСкрыть
Сосуд всплывает, когда подъёмная сила, создаваемая разностью давлений под его дном и внутри горлышек, сравняется с его весом. Учтите, что в горлышках давление определяется уровнем жидкости в отсеках и объёмом воздуха под дном сосуда.
зад 3 Призма с малым углом
Стеклянная призма \(ABC\) изготовлена из стекла с коэффициентом преломления \(n = 3\). Угол \(A\) призмы весьма мал и равен \(0.5^\circ\), угол \(C\) прямой; длина стороны \(AB\) равна \(L\). На призму вблизи точки \(B\) попадает луч света из лазерной указки, параллельный стороне \(AC\) (см. рис.). Определите, в каком месте призмы луч света выйдет из неё и сколько отражений от стенок призмы он при этом испытает.
▶ПодсказкаСкрыть
Луч, отражаясь от граней почти параллельных друг другу, каждый раз падает на грань AC под меньшим углом; на каждом отражении угол падения меняется на удвоенный угол при вершине \(A\).
зад 4 Заряженный пластилин
Однородный кусок диэлектрического пластилина равномерно заряжен по объёму, его полный заряд равен \(Q\). От куска отделили долю, составляющую \(\eta\) процентов, и слепили из неё сферу, внешний радиус которой равен \(R\). Из оставшегося куска слепили вторую сферу с таким же внешним радиусом. Сферы расположили вплотную, а затем отпустили, так что они, за счёт электрического отталкивания друг от друга, далеко разлетелись. Найдите кинетическую энергию первой сферы после разлёта на большое расстояние. При каком \(\eta\) эта энергия максимальна? Считайте, что разлетающиеся сферы не взаимодействуют с другими телами.
▶ПодсказкаСкрыть
Энергия системы переходит из потенциальной электростатической энергии в кинетическую, а энергия равномерно заряженного шара зависит от его заряда и радиуса. Для поиска максимума сравните выражение для энергии при разных долях \(\eta\).
зад 5 Супершест Нанайкина
Изобретатель Нанайкин предлагает воздвигнуть на Южном полюсе Земли супершест, по которому созданные им аппараты смогут карабкаться прямо в космос. По проекту Нанайкина высота супершеста должна быть в \(4\) раза больше радиуса Земли. Спроектированный робот будет подниматься по супершесту, затрачивая на подъём фиксированную мощность двигателя. Кроме того, Нанайкин предупредил, что предусмотренная конструкцией скорость робота не может превосходить \(v = 45\) м/с, даже если мощности двигателя для такого подъёма хватает. На испытаниях, проведённых на построенном специально стометровом шесте, оказалось, что робот поднимается равномерно, и скорость подъёма составляет \(v_0 = 5\) м/c. Найдите, за какое время робот Нанайкина преодолеет весь супершест. Радиус Земли \(R_0 = 6400\) км.
▶ПодсказкаСкрыть
Мощность двигателя постоянна, поэтому при подъёме на высоту, где сила тяжести меньше, скорость растёт. Сравните мощность на испытательном шесте с мощностью на большой высоте, учитывая, что сила тяжести убывает с расстоянием до центра Земли.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2015/16, отборочный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.