зад 1 Диско-шар Гены
Фокусник Гена поставил на пол комнаты прожектор, испускающий вертикально вверх нерасширяющийся луч света круглого сечения радиуса \(R\). Гена хочет осветить весь пол в комнате с помощью диско-шара (зеркальной сферы), подвешенного точно над прожектором (см. рис.). Какой максимальный радиус \(r\) диско-шара может выбрать фокусник, если размеры комнаты ему неизвестны?
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите лучи, касающиеся края шара: куда направлено их отражение от выпуклого зеркала? От какого места шара свет попадёт на самый далёкий от прожектора край пола?
зад 2 Четыре золотых слитка
На столе стоят четыре одинаковых золотых слитка, основание которых — равносторонние треугольники (см. рис.). Слитки сдавливают с боков тремя деревянными пластинами с одинаковой силой. Чтобы начать вытаскивать все четыре слитка сразу, требуется приложить силу не меньше чем \(F_1\). Для того, чтобы достать только центральный, придерживая оставшиеся три, приходится прилагать силу не меньше чем \(F_2\). Какую минимальную силу надо приложить, чтобы начать вытаскивать угловой слиток, зафиксировав остальные? Масса каждого слитка — \(m\), ускорение свободного падения — \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Рассмотрите силы, действующие на каждый слиток со стороны соседей и пластин, и силы трения на его гранях. Сравните случай вытаскивания всех слитков с двумя случаями, где часть слитков остаётся на месте.
зад 3 Пушка на платформе
На платформе установлена пушка, которая стреляет вертикально вверх теннисными шариками со скоростью \(u = 75\) м/с относительно платформы. Конструкция едет со скоростью \(v = 15\) м/с к стене и начинает тормозить, когда расстояние до стены остается \(L = 225\) м, с ускорением \(a = 0{,}5\) м/с\(^2\) до полной остановки. Через какое время с начала торможения надо выстрелить, чтобы снаряд упал как можно дальше от стены, если удар шарика о стену абсолютно упругий? Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\), размерами конструкции пренебречь. Высота стены — \(300\) м.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость шарика относительно земли складывается из скорости платформы и скорости выстрела. Выразите дальность падения через момент выстрела и учтите, что упругий удар о стену меняет направление горизонтальной скорости.
зад 4 Оловянный провод
Из оловянной заготовки с помощью печки, в которой металл плавится (см. рис.), начинают вытягивать провод со скоростью \(u\). Начальное сопротивление заготовки и печки, наполненной металлом, равно \(R_0\). Оказалось, что за время \(t_0\) с начала вытягивания, сопротивление конструкции увеличилось в 2 раза. Найдите удельное сопротивление олова \(\rho\), если площадь заготовки — \(S_0\), а площадь вытягиваемого провода — \(S_0/2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сопротивление участка провода равно удельному сопротивлению, умноженному на длину и делённому на площадь сечения. Выразите длину вытянутого за время \(t_0\) провода через \(u\) и сравните сопротивление с начальным.
зад 5 Робот Раздолбайкина
Экспериментатор Раздолбайкин собрал из подручных материалов робота. Робот потребляет фиксированную мощность \(P_0 = 20\) Вт и тратит её на то, чтобы закручивать шурупы в следующем проекте Раздолбайкина. Робот не идеален, и часть мощности расходуется впустую, нагревая самого робота. График КПД робота \(\eta\) от его температуры приведён на рисунке. Какое количество шурупов закрутит робот за десять минут работы в установившемся температурном режиме? Для того, чтобы закрутить шуруп, необходимо совершить работу в \(A = 40\) Дж.
Мощность теплоотдачи в окружающую среду пропорциональна разнице температур робота и среды и даётся выражением \(\alpha(T - T_{\text{окр}})\), \(\alpha = 0{,}6\) ВТ/\(^\circ\)C, \(T_{\text{окр}} = 20\,^\circ\)C.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме мощность, теряемая роботом в среду, равна той части потребляемой мощности, которая не идёт на полезную работу. Запишите это равенство, учитывая, что КПД линейно зависит от температуры.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2015/16, отборочный этап, 9 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.