зад 1 Лампочка на плоту
На плоту, в вершинах равностороннего треугольника \(ABC\), стоят три одинаковых барабана, вращающихся на вертикальных осях (см. рис.). Барабан представляет собой два соосных цилиндра, скрепленных между собой, диаметр верхнего в два раза меньше чем у нижнего (см. рисунок). Вокруг верхних цилиндров барабанов \(A\) и \(B\) обернут канат, натянутый между берегами, ширина реки \(600\) м. Паромщик Кулибин приводит барабаны в движение, и плот движется с постоянной скоростью. На нижние цилиндры натянута гибкая лента длины \(20\) м. На ленте прикреплена лампочка \(Л\). Аэронавт Фридман, находящийся высоко над рекой на неподвижном воздушном шаре, фотографирует ночью реку, пока плот плывет от одного берега к другому (затвор камеры открыт всё это время, и получается один кадр). Как выглядит след, оставленный лампочкой на фотоснимке? Если ширина реки не известна, как можно ее определить по фотоснимку? Диаметр цилиндров пренебрежимо мал по сравнению со стороной треугольника \(ABC\), вначале лампочка находится посередине стороны \(AB\). При вращении барабанов лента и канат движутся по цилиндрам без проскальзывания.
▶РешениеСкрыть
Чтобы плот начал двигаться, барабаны \(A\) и \(B\) надо вращать против часовой стрелки; обозначим скорость плота относительно земли \(V\). За один оборот барабана плот проходит расстояние \(\pi D\), где \(D\) — диаметр верхнего цилиндра. Лента, которая проходит по нижнему цилиндру, диаметр которого вдвое больше, за оборот проходит \(2\pi D\), поэтому скорость ленты относительно плота по модулю равна \(2V\).
Проекция скорости лампы на ось \(OX\) при движении по стороне \(BC\) равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника, прилежащего к углу \(60^\circ\), и направлена против движения: \(V_x = -V\). Для перехода к системе земли к этой составляющей нужно прибавить \(V\). Тогда при движении по стороне \(AB\) лампа относительно земли движется вдоль \(OX\) со скоростью \(3V\), а по сторонам \(BC\) и \(CA\) скорость по \(OX\) равна нулю, и лампа движется вверх и вниз по \(OY\).
Длина стороны \(AB\) составляет треть общей длины ленты и равна \(20/3\) м. Время движения лампы по \(AB\): \(t_{AB} = \dfrac{20/3}{2V}\), в системе земли она пройдёт \(l = 3V\,t_{AB} = 10\) м. По \(OY\) лампа сначала проходит вверх, затем вниз высоту \(CD = 5\sqrt3\) м. Таким образом, на снимке будут видны горизонтальные и вертикальные линии; вертикальные линии с шагом \(l\).
Плот проходит расстояние между берегами за вычетом удвоенной длины стороны \(AB\): \(L_П = 600 - 2AB = 560 + \dfrac{20}{3}\) м. В системе плота лампа проходит путь \(L_Л = 2l\), так что число оборотов \(N = L_Л/20 = 56\frac23\). Через две трети оборота с начального положения лампа будет на середине стороны \(AC\), и на изображении будут видны 57 вертикальных линий.
зад 2 Машины скорой помощи
Из пункта \(A\) каждую минуту стартуют машины скорой помощи, и едут через пробки в пункт \(B\). Машины стартуют очень часто и едут в плотном потоке, интенсивность пробок меняется со временем. Шофер каждой машины сообщает по рации диспетчеру время выезда из \(A\) и время приезда в \(B\). По этим данным диспетчер строит график \(t_{\text{отправления}}\) (в часах) от \(t_{\text{прибытия}}\) (в часах).
Найти:
Во сколько стартовала машина, доехавшая максимально быстро, а во сколько — машина с самой медленной средней скоростью.
Во сколько надо стартовать, чтобы доехать за полтора часа?
Во сколько надо стартовать, чтобы доехать туда-обратно ровно за 4 часа, если считать, что скорость движения машин в обоих направлениях одинакова.
▶ПодсказкаСкрыть
Время в пути — это расстояние по горизонтали между точкой графика и прямой \(t_{\text{отправления}} = t_{\text{прибытия}}\) по вертикали. Найдите, где прямая под углом \(45^\circ\) касается графика и где пересекает его на нужном расстоянии.
▶ОтветСкрыть
1) Самая быстрая машина стартовала примерно в 3:10, самая медленная — в 4:20. 2) Ровно полтора часа ехали две машины, стартовавшие в 1:45 и в 3:45. 3) Если выехать в 3:45, можно съездить туда и обратно ровно за 4 часа.
▶РешениеСкрыть
Первая машина, точка \((2;\,0)\) на графике, доехала за 2 часа. Если бы дорожная обстановка не менялась, график диспетчера был бы прямой под углом \(45^\circ\), выходящей из точки \((2;\,0)\). Для любой точки графика время в пути равно отрезку, отсечённому на оси \(t\) прибытия прямой под углом \(45^\circ\), проведённой из этой точки.
Самая быстрая машина соответствует точке графика, касательная к которой проходит под углом \(45^\circ\) — она стартовала между 3 и 3:15, ехала около часа. Самая медленная машина определяется аналогично. Чтобы найти машины, доехавшие ровно за \(1{,}5\) часа, проводят прямую под углом \(45^\circ\) через точку \((1{,}5;\,0)\) и отмечают точки пересечения с графиком. Для туда-обратно строят график с осями, поменянными местами, и подбирают отрезок времени \(4\) часа между двумя графиками; ему соответствует выезд в 3:45.
зад 3 Три фигуры из клеточек
Три плоские фигуры вырезаны по клеточкам из тяжёлого однородного материала как показано на рисунке. Масса одной клеточки, вырезанной из такого материала, \(m = 18\) г. Площадь одной клеточки \(s = 1\) см\(^2\). Фигуры, не поворачивая из положения, показанного на рисунке, складывают на стол стопкой: сначала фигуру №1, сверху — №2, и, наконец, №3. Отмеченные крестиками точки на фигурах при этом оказываются одна над другой. Найдите давление на каждую сторону каждой фигуры. В каком порядке нужно сложить фигуры, чтобы добиться и максимального, и минимально возможного давления между ними? Постоянная \(g = 10\) Н/кг.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление — это сила, делённая на площадь соприкосновения. Площади соприкосновения пар фигур — по клеточкам, перекрывающим друг друга. Сила между фигурами — вес всех фигур, лежащих выше.
▶ОтветСкрыть
\(P_{01} = 5400\) Па, \(P_{12} = 6480\) Па, \(P_{23} = 3240\) Па. Максимальное и минимальное давление между фигурами достигаются в порядке \(1\)–\(3\)–\(2\) или \(3\)–\(1\)–\(2\) (снизу вверх).
▶РешениеСкрыть
Все фигуры имеют площадь \(S_0 = 9s\). Масса каждой фигуры \(M = 9m = 162\) г, вес \(Mg = 1{,}62\) Н. Уединённая фигура, положенная на стол, давит на него с давлением \(P_0 = \dfrac{mg}{s} = 1800\) Па. Площади соприкосновения: \(S_{12} = 5s\), \(S_{23} = 5s\), \(S_{13} = 3s\).
Давление на стол (сила \(3Mg\), площадь \(S_0\)): \(P_{01} = \dfrac{3Mg}{S_0} = 3P_0 = 5400\) Па. Давление между фигурами №1 и №2: \(P_{12} = \dfrac{2Mg}{S_{12}} = \dfrac{18P_0}{5} = 6480\) Па. Между фигурами №2 и №3: \(P_{23} = \dfrac{Mg}{S_{23}} = \dfrac{9P_0}{5} = 3240\) Па.
Для максимального давления между фигурами сила \(3Mg\) должна приходиться на минимальную площадь \(S_{13} = 3s\): одна из фигур №1 и №3 лежит внизу, а другая — над ней, фигура №2 остаётся сверху. Для минимального давления сила должна приходиться на наибольшие площади (\(5s\)): сверху должна быть пара фигур №1 и №2 или пара №2 и №3. Оба требования выполняются при порядке \(1\)–\(3\)–\(2\) или \(3\)–\(1\)–\(2\).
зад 4 Конструкция из резинок
Снизу к висящему отрезку резинки можно подвесить массу, которая в \(M = 5\) раз больше массы самой резинки. При незначительном увеличении массы подвешенного груза резинка рвется. У экспериментатора есть \(N = 74\) резинки и он может надежно скреплять концы любого количества резинок. Конструкцию какой максимальной длины можно собрать, чтобы ее можно было подвесить за один конец и она не рвалась? Примечание: если резинки соединены параллельно, то силу натяжения в них можно считать одинаковой.
▶ПодсказкаСкрыть
Одна резинка выдерживает вес пяти резинок. Соединяйте резинки последовательно и параллельно, сравнивая нагрузку на верхнюю резинку с пределом и суммарный вес с количеством имеющихся резинок.
▶ОтветСкрыть
Максимальная длина конструкции — 18 резинок.
▶РешениеСкрыть
Одна резинка выдерживает вес пяти резинок, поэтому можно подвесить 6 резинок одну под другой. Седьмую подвесить нельзя, но верхнюю резинку можно заменить на две параллельные: тогда нагрузка на каждую будет \(3mg\), и они не порвутся. Дальше последовательно наращивают конструкцию, каждый раз заменяя верхние звенья на параллельные группы (обозначения — число звеньев в параллели и их общий вес):
длина 7, вес 8, нагрузка на верхнюю резинку 3;
длина 9, вес 12, нагрузка 5;
длина 11, вес 18, нагрузка 5;
длина 12, вес 22, нагрузка 4,5;
длина 13, вес 27, нагрузка 4,4;
длина 14, вес 33, нагрузка 4,5;
длина 15, вес 40, нагрузка 4,7;
длина 16, вес 48, нагрузка 5;
длина 17, вес 58, нагрузка 4,8;
длина 18, вес 70, нагрузка 4,83.
зад 5 Трактора на поле
Поле имеет форму квадрата, его граница \(\Gamma\) изображена на рисунке (вид сверху, каждая клетка координатной сетки имеет размер \(100\) метров). Поле вспахано, поэтому ехать на тракторе в разных направлениях можно с разной максимальной скоростью. Двадцать тракторов стартовали из центра поля в разные стороны с максмальной скоростью, и когда через \(30\) секунд сделали съемку с вертолета, оказалось, что все трактора находятся на кривой \(K\), представляющей собою растянутую в направлении север-юг окружность (когда эту кривую сжали в фотошопе в направлении север-юг на четверть, как показано на втором рисунке, она превратилась в окружность). За какое время, стартовав на таком же тракторе в точке \(A\), можно доехать до границы поля?
▶РешениеСкрыть
Сжмём картинку в направлении север–юг на четверть: тогда кривая, по которой находятся трактора, станет окружностью, и скорость трактора не будет зависеть от направления. Быстрее всего до границы поля на сжатой картинке можно доехать по кратчайшему пути — перпендикуляру \(L\) из точки \(A\) к границе. Его длина, измеренная по сетке, равна \(2{,}4\) клетки. За 30 секунд трактор проходит 3 клетки, значит, на \(2{,}4\) клетки уходит \(24\) секунды.
Точно то же получается из подобия треугольников: прямоугольный треугольник с катетами \(3\) и \(4\) имеет гипотенузу \(5\), поэтому \(L = \dfrac45\cdot 3 = \dfrac{12}{5} = 2{,}4\) клетки.
Ответ: \(24\) секунды.
зад 6 Плетёнка из полосок
Девять одинаковых полосок из упругого материала переплетены как показано на рисунке. Все «хвостики» полосок, торчащие наружу из такой плетёнки, одинаковой длины. В отмеченном месте соприкосновения полосок сила, с которой они давят друг на друга, равна \(F = 5\) Н. Найдите силы, с которыми полоски давят друг на друга в остальных местах соприкосновения.
▶РешениеСкрыть
Конструкция симметрична, поэтому во всех угловых местах соприкосновения сила тоже равна \(F\). Рассмотрим полоску у края, например верхнюю: две боковые вертикальные полоски давят на неё перпендикулярно плоскости рисунка с силой \(F\) каждая, поэтому средняя вертикальная полоска давит на неё с силой \(2F\) назад. На центральную полоску (горизонтальную) боковые полоски действуют с силой \(2F\) каждая, поэтому сила, действующая на центральную горизонтальную полоску, направлена из-за рисунка и равна \(4F\).
Ответ: в угловых местах сила \(F\), в срединных местах краевых полосок — \(2F\), в центральном месте — \(4F\) (см. рис. 1 официального решения). При \(F = 5\) Н это \(5\) Н, \(10\) Н и \(20\) Н.
зад 7 Офицер де Фюнес
Офицер де Фюнес измеряет расстояние на местности, глядя на вертикальную линейку высотой \(2\) метра через трубку длиной \(1\) метр. Дальний от глаза конец трубки заклеен прозрачным плоским (не увеличительным) стеклом, с нанесенными двумя горизонтальными рисками (черточками) толщиной \(0{,}1\) мм одна над другой в \(10\) мм друг от друга. Офицер хочет знать расстояние от своего глаза до линейки, которую держит над интересующей точкой местности солдат (см. рис.). Справа на рисунке показано, как эта линейка выглядит через трубку. Каждая маленькая черточка шкалы на линейке имеет высоту \(1\) сантиметр и расположена в \(1\) см от следующей вверху или внизу. Чередующиеся белые и черные участки левее, у края линейки, имеют высоту по \(5\) см. Считайте, что угловое разрешение глаза таково, что человек может видеть отдельными два предмета на расстоянии \(0{,}5\) м друг от друга, если смотрит на них с расстояния \(1\) км. На каком расстоянии от наблюдателя находится линейка на рисунке справа? Какова абсолютная и относительная погрешность этого измерения? С какой относительной погрешностью удастся измерить таким способом расстояние около \(10\) метров? Около \(50\) метров? Около \(150\) метров?
▶РешениеСкрыть
Нижняя риска расположена на уровне глаза, верхняя — на \(10\) мм выше. Луч зрения через нижнюю риску горизонтален, через верхнюю — наклонён; на расстоянии \(1\) м высота между рисками \(1\) см, на \(2\) м — \(2\) см и т.д. Поэтому расстояние до линейки в метрах равно числу сантиметров линейки между рисками. На рисунке справа видно \(15\) см, т.е. расстояние \(15\) м.
Погрешность из-за цены деления — половина деления, \(0{,}5\) см линейки, что соответствует \(0{,}5\) м на местности. Из-за толщины нитей относительная погрешность \(0{,}1/10 = 1/100\), т.е. \(15\,\text{м}/100 = 0{,}15\) м. Деления не сливаются, поэтому угловое разрешение здесь не учитываем. Абсолютная погрешность \(0{,}5 + 0{,}15 = 0{,}65\) м, относительная \(0{,}65/15 \approx 0{,}043\), т.е. \(4{,}3\%\).
Линейное разрешение глаза пропорционально расстоянию: на \(100\) м оно \(5\) см, на \(20\) м — \(1\) см. Поэтому мелкие деления (1 см) сливаются с \(20\) м, крупные (5 см) — со \(100\) м.
На расстоянии \(10\) м мелкие деления хорошо видны: погрешность \(0{,}5\) м (цена деления) и \(0{,}1\) м (толщина рисок), всего \(0{,}6\) м, т.е. \(6\%\). На \(50\) м: \(0{,}5 + 0{,}5 = 1\) м, т.е. \(2\%\). На \(150\) м мелкие деления не разрешаются, цена деления \(5\) см, погрешность \(5/2 = 2{,}5\) м, плюс толщина рисок \(1{,}5\) м, всего \(4\) м, т.е. \(\dfrac{4}{150} \approx 2{,}7\%\).
зад 8 Масса и объём осколка
Вам необходимо измерить массу и объем осколка керамической тарелки.
Оборудование: осколок керамической тарелки, около 20 больших и 10 маленьких скрепок, стакан с водой, нитки и ножницы (по требованию). Известно, что масса одной большой скрепки равна \(1{,}18\) грамм, масса одной маленькой скрепки равна \(0{,}33\) грамма, плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\). Имеющиеся у вас ручки, карандаши, линейки и листы бумаги в клеточку можно использовать только для написания отчета, но не для проведения измерений.
▶РешениеСкрыть
Из одной большой скрепки делают рычажные весы: проволоку разгибают, в центре слегка сгибают для подвеса и делают крючки на концах. Весы уравновешивают загибанием кончиков, а крючки располагают на одинаковом расстоянии от точки подвеса (или учитывают неравноплечность). Осколок подвешивают к одному концу, скрепками уравновешивают на другом и так находят массу \(m\) с точностью не хуже массы маленькой скрепки.
Затем осколок погружают в воду и снова уравновешивают весы. Вес осколка в воде \(P = mg - \rho_в gV\), масса уравновешивающих скрепок \(m_1 = m - \rho_в V\). Отсюда объём \[V = \frac{m - m_1}{\rho_в}.\] Отношение массы к объёму даёт плотность керамики, которая должна лежать в диапазоне \(2\)–\(2{,}5\) г/см\(^3\).
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2015/16, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.