Санкт-Петербургская, 2015/16, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Мощность теплообмена одна и та же в обоих опытах: запишите её через первый опыт и подставьте во второй. Во втором опыте учитывайте массу воды и на испарение азота, и на её охлаждение, замерзание и охлаждение льда.

Ответ

\(m_B \approx 0{,}169\) кг (около \(169\) г).

Решение

Обозначим мощность теплообмена с окружающей средой через \(N\) (Дж/мин). В первом опыте за \(10\) минут выкипело \(0{,}5\) кг азота: \[\lambda_A \cdot 0{,}5 = N \cdot 10 .\] Во втором опыте в ёмкости присутствует вода массы \(m_B\), и весы её учитывают. Выкипело \(m_{A2} = 1{,}4 - 0{,}6 + m_B = 0{,}8 + m_B\) кг азота. На испарение этой массы азота пошла энергия от охлаждения воды до \(0^{\circ}\)C и её превращения в лёд, охлаждения льда до \(-196^{\circ}\)C, а также энергия из окружающей среды \(N\cdot 5\). Закон сохранения энергии: \[\lambda_A (0{,}8 + m_B) = C_B m_B \cdot 24 + \lambda_{\text{Л}} m_B + C_{\text{Л}} m_B \cdot 196 + 5N .\] Выражая \(N\) из первого уравнения и подставляя во второе, получаем \[m_B = \frac{0{,}55\,\lambda_A}{C_B \cdot 24 + \lambda_{\text{Л}} + 196\,C_{\text{Л}} - \lambda_A} \approx 0{,}169~\text{кг}.\]

Подсказка

Вычислите давления: босиком, в лаптях и на доске. Отложите их на графике горизонтальными прямыми: по ним видно, на каких участках тропинки каждый способ допустим.

Ответ

1) первый раз доску кладут в точке \(1\) м, второй раз — не раньше \(5{,}5\) м и не позже \(6\) м;  2) \(v_{\text{ср}} = \dfrac{1}{3}\) м/с.

Решение

Давления: босиком \(P_1 = mg/S_1 = 20\) кПа — минимальное давление, которое должна выдерживать дорожка; в лаптях \(P_2 = 10\) кПа; давление доски \(P_3 = 1\) кПа. Отложив на графике горизонтальные прямые, соответствующие \(P_1\), \(P_2\) и \(P_3\), видно, где возможен какой способ передвижения.

Правильная стратегия: как можно реже использовать доску и по возможности не ходить в лаптях. Из графика видно, что доску придётся использовать минимум два раза. Чтобы минимизировать использование лаптей, первый раз доску кладут в точке \(1\) м. Второй раз доску можно положить не раньше \(5{,}5\) м и не позже \(6\) м. На этом пути Иванушка \(3\) м идёт босиком, \(1\) м — в лаптях и \(6\) м — по доске.

Общее время: \[t_O = \frac{3}{1} + \frac{1}{1/3} + \frac{6}{1/4} = 30~\text{с}.\] Средняя скорость: \[v_{\text{ср}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}~\text{м/с}.\]

Подсказка

Сравните объёмы воды, которые вытесняют кирпичики в лодочке, на дне и снаружи бассейна.

Ответ

\(\rho = \dfrac{(n+k)\,\rho_0}{n} = 1600\) кг/м\(^3\).

Решение

Пусть \(m\) — масса одного кирпичика, \(\rho\) — искомая плотность, \(\rho_0\) — плотность воды. Когда кирпичик лежит в лодочке, он вытесняет объём воды \(m/\rho_0\), а когда лежит на дне, — только \(m/\rho\). Перекладывая все кирпичики из лодочки в воду, Вовочка уменьшает вытесняемый лодочкой объём воды на \(n\,(m/\rho_0 - m/\rho)\), и уровень воды в бассейне понижается. Добавляя кирпичики с берега, он повышает уровень, так как новые кирпичики вытесняют дополнительно объём \(km/\rho\). Приравнивая, получаем \[n\left(\frac{m}{\rho_0} - \frac{m}{\rho}\right) = \frac{km}{\rho} \quad\Leftrightarrow\quad n(\rho - \rho_0) = k\rho_0 ,\] откуда \(\rho = \dfrac{(k+n)\rho_0}{n} = 1600\) кг/м\(^3\).

Подсказка

Перейдите в систему отсчёта, вращающуюся вместе с осью малой шестерёнки: в ней она не вращается, а большая шестерёнка и колесо вращаются сами.

Ответ

1) малая шестерёнка совершила \(3\) оборота вокруг своей оси;  2) колесо совершило \(1{,}5\) оборота.

Решение

Перейдём в систему отсчёта, вращающуюся вокруг центральной оси так, что собственная ось малой шестерёнки неподвижна, пока Раздолбайкин её проворачивает. В этой системе отсчёта большая шестерёнка делает один оборот вокруг центральной оси, а малая — два оборота вокруг своей оси. Действительно, диаметр малой шестерёнки \(D\), длина окружности большой шестерёнки \(2\pi D\); при одном обороте малая шестерёнка проезжает по ней то же расстояние, а длина её собственной окружности равна \(\pi D\), поэтому она должна совершить два оборота.

Диаметр внешнего колеса равен сумме диаметров большой и малой шестерён, то есть \(4D\). Во вращающейся системе отсчёта малая шестерёнка проезжает по колесу расстояние \(2\pi D\), тем самым проворачивая его на половину оборота. В этой системе большая шестерёнка вращается в одну сторону, а малая и колесо — в другую.

Теперь вернёмся в неподвижную систему отсчёта: к количеству оборотов малой шестерёнки вокруг своей оси прибавится ещё один оборот, и колесо получит один целый оборот. Итого малая шестерёнка совершает \(3\) оборота вокруг своей оси за один оборот вокруг центральной, а колесо — \(1\) целый оборот и \(1/2\) оборота.

Подсказка

Пусть ведро опустилось на \(H\), а подвижный блок поднялся вдвое меньше. Изменения силы натяжения и силы Архимеда, действующей на брусок, выразите через массу песка.

Ответ

\(M_{\text{П}} = \dfrac{H}{4\left(\dfrac{g}{k} + \dfrac{1}{\rho a^2}\right)} = 24\) кг.

Решение

Обозначим через \(\Delta x\) изменение растяжения пружины от начального состояния до момента касания ведром земли, через \(\Delta h\) — изменение положения бруска относительно поверхности воды. Поскольку размер бруска много меньше размера бассейна, изменением уровня воды можно пренебречь. Положение подвижного блока изменилось на \(\Delta x + \Delta h\), при этом блок поднялся вдвое меньше, чем опустилось ведро: \[\frac{H}{2} = \Delta x + \Delta h .\] Песок Чебурашка сыплет медленно, поэтому силы в системе уравновешены. Сила натяжения нити изменилась на \(\Delta T = M_{\text{П}} g\), а сила, действующая со стороны подвижного блока на пружину, изменилась на \(2\Delta T\). Следовательно, \(k\Delta x = 2\Delta T\), откуда \[\Delta x = \frac{2 M_{\text{П}} g}{k} .\] С другой стороны, на столько же меняется сила, с которой брусок тянет пружину. Она меняется на величину силы Архимеда, действующей на объём бруска \(\Delta V = a^2 \Delta h\), поднявшийся из воды: \(\rho g a^2 \Delta h = 2\Delta T\), откуда \[\Delta h = \frac{2 M_{\text{П}}}{\rho a^2} .\] Подставляя в первое уравнение, получаем \[M_{\text{П}} = \frac{H}{4\left(\dfrac{g}{k} + \dfrac{1}{\rho a^2}\right)} = 24~\text{кг} .\]

Подсказка

Скорость ленты относительно плота вдвое больше скорости плота; найдите проекции скорости лампочки на оси, связанные с плотом, и перейдите к скорости относительно берега.

Ответ

На фотоснимке след состоит из горизонтальных и вертикальных линий: вертикальных линий \(19\), и последняя из них вдвое короче остальных.

Решение

Чтобы плот начал двигаться, барабаны \(A\) и \(B\) надо вращать против часовой стрелки; скорость плота относительно земли обозначим \(V\). За один оборот барабана плот проходит расстояние \(\pi D\), где \(D\) — диаметр верхнего цилиндра. Нижний цилиндр вдвое больше, поэтому лента за один оборот проходит \(2\pi D\) — вдвое больше. Значит, скорость ленты в системе отсчёта плота по модулю равна \(2V\).

В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^{\circ}\). Проекция скорости лампочки на ось \(OX\) при движении по стороне \(BC\) равна половине гипотенузы и направлена против движения: \(V_x = -V\). При движении по \(CA\) аналогично, только проекция на ось \(OY\) меняет направление. Для перехода в систему отсчёта земли к проекции скорости по оси \(OX\) нужно прибавить \(V\). Когда лампочка движется по стороне \(AB\), относительно земли она движется вдоль оси \(OX\) со скоростью \(3V\). Когда она движется по сторонам \(BC\) и \(CA\), скорость вдоль \(OX\) равна нулю, и лампочка движется вверх и вниз по \(OY\).

Длина стороны \(AB\) составляет треть общей длины ленты и равна \(10\) м. По \(AB\) лампочка движется время \(t_{AB} = \dfrac{10}{2V}\), значит в системе отсчёта земли она пройдёт \(l = 3V\,t_{AB} = 15\) м. Поскольку размеры барабанов пренебрежимо малы, при движении по \(BC\) и \(CA\) перемещение по оси \(OX\) равно нулю, а по оси \(OY\) лампочка сначала проходит вверх, а затем вниз расстояние, равное высоте треугольника. Поэтому картинка на фотоснимке состоит из горизонтальных и вертикальных линий.

Плот проходит путь, равный расстоянию между берегами за вычетом удвоенной длины стороны \(AB\), так как сам имеет размер и причаливает к берегу: \(L_{П} = 300 - 10 = 290\) м (по официальному решению: \(300 - AB\)). В системе отсчёта плота лампочка пройдёт в два раза больший путь \(L_{Л} = 580\) м, так как модуль её скорости всегда \(2V\). Число оборотов ленты: \[N = \frac{L_{Л}}{30} = 19\frac{1}{3} .\] Через одну треть оборота с начального положения лампочка будет на середине стороны \(BC\). На изображении будут видны \(19\) вертикальных линий, а последняя линия будет в два раза короче остальных.

Подсказка

Центр тяжести пенопласта и центр плавучести (центр погруженной части) должны лежать на одной вертикали; пингвинчик сдвигает центр тяжести системы. Используйте правило рычага.

Ответ

Пингвинчику нужно сесть посередине между сторонами \(AB\) и \(EF\) на расстоянии \(AP = \dfrac{7\sqrt{2}}{6}\) м от \(A\).

Решение

Желаемая конфигурация: пингвинчик на грани \(ABFE\) посередине между сторонами \(AB\) и \(EF\), поэтому далее рассматриваем плоскую задачу — вид сбоку. По условию вместе с пингвинчиком кусок пенопласта погружён на половину своего объёма: погружена часть \(AA_1C_1D\), причём \(DC_1 = C_1C\). Центр тяжести куска пенопласта лежит в точке \(O\) — пересечении диагоналей параллелограмма \(ABCD\). Центр плавучести (точка приложения силы Архимеда) — точка \(Q\), пересечение диагоналей параллелограмма \(AA_1C_1D\). Силы тяжести и Архимеда стремятся повернуть кусок пенопласта; пингвинчик должен сесть так, чтобы скомпенсировать вращение. Считая центром вращения точку \(Q\) и применяя правило рычага, получаем \[P_1Q_1 \cdot m_{\text{П}} = Q_1D \cdot M .\] Из геометрии: \(C_1D_1 = OD = BD/2 = 1\) м, так как \(BD = BC = 2\) м. Треугольник \(DD_1C_1\) равносторонний, поэтому \(DD_1 = C_1D_1 = 1\) м, \(AD_1 = AD + DD_1 = 3\) м. Треугольники \(AC_1D_1\) и \(AQQ_1\) подобны, и \(AQ_1 = AD_1/2 = 1{,}5\) м, откуда \(Q_1D = AD - AQ_1 = 0{,}5\) м. По правилу рычага \(P_1Q_1 = Q_1D \cdot \dfrac{9}{13{,}5} = \dfrac{1}{3}\) м, тогда \(AP_1 = \dfrac{7}{6}\) м. Из теоремы Пифагора находим \(AP = \dfrac{7\sqrt{2}}{6}\) м.

Подсказка

Чтобы сопротивление менялось плавно и измерялось, делайте линию всей шириной грифеля; точилкой подберите ширину. Тогда зависимость от числа линий и от их длины можно проверить графиками.

Ответ

\(R = \rho\,\dfrac{L}{h\,d}\): сопротивление линии прямо пропорционально её длине \(L\) и обратно пропорционально её ширине \(h\) и толщине \(d\) (толщина пропорциональна числу слоёв карандаша).

Решение

Методика выполнения работы описана в условии задачи.

1. Удобно сточить карандаш так, чтобы проводить линию всей шириной грифеля. В этом случае ширина линии будет постоянной и достаточно большой для того, чтобы линия имела измеряемое сопротивление. Листы лучше сложить стопкой, чтобы шероховатость стола не приводила к неоднородности линии.

2. Проводим на листе 10 «широких» линий, проводя соответственно от 1 до 10 параллельных линий с небольшим сдвигом, так чтобы линии частично пересекались и образовывали одну широкую полосу. Измеряем зависимость сопротивления полосы от количества линий в полосе, результаты заносим в таблицу и строим график зависимости \(R\) от \(1/n\), где \(n\) — число линий.

3. Проводим на листе 10 «жирных» линий, проводя по каждой карандашом от 1 до 10 раз соответственно. Измеряем зависимость сопротивления линии от числа проходов карандашом, результаты заносим в таблицу и строим график зависимости \(R\) от \(1/n\), где \(n\) — число проходов.

4. Выбираем одну из линий, проведённых в предыдущем пункте, и измеряем для неё зависимость сопротивления от длины линии \(L\) в диапазоне \(1\)–\(10\) см с шагом \(1\) см. Результаты заносим в таблицу и строим график зависимости \(R\) от \(L\).

5. Сопротивление зависит от геометрических размеров и удельного сопротивления \(\rho\) образца как \[R = \rho\,\frac{L}{h\,d},\] где \(L\) — длина, \(h\) — ширина, \(d\) — толщина линии, пропорциональная количеству слоёв. В пунктах 2 и 3 линии из одной и двух карандашных линий отклоняются от теоретической зависимости, это может быть связано с неоднородностью одиночной линии. Остальные точки хорошо описываются линейной зависимостью. Зависимость в пункте 4 линейна. Таким образом, экспериментальные результаты подтверждают формулу \(R = \rho\,\dfrac{L}{h\,d}\).