Санкт-Петербургская, 2015/16, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Подберите начальную скорость перпендикулярно оси \(Y\) так, чтобы шайба пересекла ось \(X\) в точке \((h, 0)\) и повернула на следующую четверть такой же, как исходная. Движение с постоянным ускорением похоже на бросок под углом \(45^{\circ}\) в поле тяжести с \(g = a\).

Ответ

\(t_{\text{об}} = 4t = 4\sqrt{\dfrac{2\sqrt{2}\,h}{a}}\) (начальная скорость \(v_0 = \sqrt{\sqrt{2}\,ha}\)).

Решение

Рассмотрим движение шайбы в первой четверти. Будем искать такую траекторию, что движение в остальных четвертях будет аналогичным движению в первой. Для этого достаточно, чтобы шайба пересекала ось \(X\) при выходе из первой четверти в точке \((h, 0)\) и двигалась со скоростью, по модулю равной начальной, направленной под тем же углом, что и начальная (но уже относительно другой оси). Тогда движение во второй четверти аналогично движению в первой, движение в третьей — аналогично второй, в четвёртой — аналогично третьей. Получается замкнутая траектория, ведь при выходе из четвёртой четверти шайба находится в точке \((h, 0)\) и движется с начальной скоростью.

Выпустим шайбу с начальной скоростью \(\vec v_0\), перпендикулярной оси \(Y\). Движение шайбы в плоскости с постоянным ускорением \(\vec a\) аналогично движению тела в поле тяжести с ускорением свободного падения \(\vec a\). Поэтому рассмотрим тело, брошенное под углом \(45^{\circ}\) к горизонту. Его горизонтальная составляющая скорости сохраняется, а по закону сохранения энергии, если оно приземлится на том же уровне, что и стартовало, то модуль его скорости окажется равным модулю начальной скорости. Единственное ограничение: тело должно приземлиться на расстоянии \(\sqrt{2}h\) от места бросания.

Тогда для горизонтальной составляющей скорости: \[\frac{1}{\sqrt2} v_0 t = \sqrt2 h \quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{2h}{t},\] где \(t\) — время полёта тела до приземления. Уравнение перемещения по вертикальной оси (противоположной ускорению \(\vec a\)) с учётом \(\Delta r = 0\) даёт \[\frac{1}{\sqrt2} v_0 t = \frac{a t^2}{2} .\] Из этих уравнений \[t = \sqrt{\frac{2\sqrt2\,h}{a}}, \qquad v_0 = \sqrt{\sqrt2\,ha} .\] Период такого движения, то есть время одного оборота, равно \(4t\).

Подсказка

Составьте уравнение теплового баланса для растаявшего льда за время \(t\): тепло от остывающей дождевой воды и от воздуха идёт на плавление. Во втором пункте учтите, что до \(0^{\circ}\)C лёд успевает нагреться и намерзнуть.

Ответ

1) \(t = \dfrac{m\lambda}{c_{\text{в}}\rho v S T_0 + kT_0}\);  2) изменение времени \(\Delta t = \tau + \Delta t_{\text{плавл}} = \dfrac{T_x\,c_{\text{л}}\,m}{\rho v S\lambda + \tilde k T_0} \left(1 + \dfrac{\rho v S\lambda}{c_{\text{в}}\rho v S T_0 + kT_0}\right)\).

Решение

Найдём, сколько дождевой воды попадает на лёд за время \(t\). Капли за это время пролетят расстояние \(vt\), значит, на поверхность сосуда попадёт объём воды \(vtS\) и масса \(\rho vtS\). Вода при температуре \(T_0\) остывает до \(0^{\circ}\)C, отдавая тепло \(c_{\text{в}}\rho vtS\,T_0\). Кинетической энергией капель пренебрегаем: она мала по сравнению с теплом, которое нужно для плавления.

Тепло, пришедшее в лёд из воздуха за это время, равно \(kT_0 t\), так как температура смеси льда и воды постоянна и равна \(0^{\circ}\)C. Всё тепло идёт на плавление массы \(m\): \[c_{\text{в}}\rho vtS\,T_0 + kT_0 t = m\lambda \quad\Rightarrow\quad t = \frac{m\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0} .\]

2. Изменение массы льда линейно по времени \(\tau\), которое нужно льду, чтобы нагреться до \(0^{\circ}\)C; за это время намерзает масса \(\rho v\tau S\). Поэтому изменение времени плавления \[\Delta t_{\text{плавл}} = \frac{\rho vS\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0}\,\tau .\] Температура льда линейно меняется со временем: \(T(t) = T_x + \alpha t\), \(\alpha = T_x/\tau\). Тепло, которое забрал лёд за время \(dt\) при нагревании, равно \(Q = c_{\text{л}} m\alpha\,dt\). Тепло, полученное льдом от капель, равно \(Q_1 \approx \rho vS\lambda\,dt\) (первое и третье слагаемые малы), а от воздуха \(Q_2 \approx \tilde k T_0\,dt\). Уравнение теплового баланса \(Q_1 + Q_2 = Q\) даёт \[\alpha = \frac{\rho vS\lambda + \tilde k T_0}{c_{\text{л}} m} , \qquad \tau = \frac{T_x c_{\text{л}} m}{\rho vS\lambda + \tilde k T_0} .\] Итоговое изменение: \[\Delta t = \tau + \Delta t_{\text{плавл}} = \tau\left(1 + \frac{\rho vS\lambda}{c_{\text{в}}\rho vS T_0 + kT_0}\right).\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда; сначала определите, растянута ли верхняя пружина.

Ответ

\(22\) см.

Решение

Будем считать, что первая пружина растянута, а вторая сжата. Если это не так, получим отрицательное значение силы, то есть она направлена в другую сторону. Первая пружина растянута, поэтому поршень давит на воду: иначе суммарная сила, действующая на сосуд без учёта первой пружины, была бы направлена вверх или равна нулю, и тогда \(mg \le \rho g V\), откуда \(l \ge m/(\rho S_2) = 10\) см — вторая пружина не была бы сжата, что противоречит тому, что на неё сверху давит столб воды.

Силы: \(F_{\text{г1}} = k_1(h - l_1)\), \(F_{\text{г2}} = k_2(l_2 - l)\); давление воды сверху на меньший поршень \(F_{\text{давл1}} = \left(\rho g h + \dfrac{k_1(h-l_1)}{S_1}\right)S_2\), снизу на меньший сосуд \(F_{\text{давл2}} = \left(\rho g(h+l) + \dfrac{k_1(h-l_1)}{S_1}\right)S_2\). Второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда (в проекциях на вертикальную ось): \[\begin{cases} k_1(h - l_1) + k_2(l_2 - l) = \rho g h S_2 + k_1(h-l_1)\dfrac{S_2}{S_1},\\[2mm] k_2(l_2 - l) + mg = \rho g (h + l) S_2 + k_1(h-l_1)\dfrac{S_2}{S_1}. \end{cases}\] Решая систему, получаем \(h = 14\) см и \(l = 5\) см (обозначения — по рисунку официального решения).

Высота большего сосуда, объём которого складывается из объёма воды и объёма меньшего сосуда: \[H = \frac{V_{\text{в}} + l\,S_2}{S_1} = \frac{20\,000 + 5\cdot 100}{500} = 41~\text{см}.\] Расстояние от дна большего сосуда до дна меньшего: \(41 - 14 - 5 = 22\) см.

Подсказка

В системе отсчёта кирпича капли движутся перпендикулярно его поверхности. Сила давления дождя — это изменение импульса капель.

Ответ

\(v_{\text{кир}} = \tan\alpha\,\sqrt{\dfrac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu\rho S}}\),  \(v_{\text{дожд}} = \dfrac{1}{\cos\alpha}\sqrt{\dfrac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu\rho S}}\).

Решение

В системе отсчёта кирпича капли, попавшие на кирпич, движутся перпендикулярно его поверхности (разность скоростей кирпича и капли перпендикулярна поверхности горки). Сила, с которой дождь давит на кирпич, перпендикулярна поверхности горки. По изменению импульса: за время \(\Delta t\) на поверхность попадают капли, находившиеся на расстоянии не больше \(v_\perp \Delta t\) от неё, то есть объём \(Sv_\perp\Delta t\), и \(\Delta P = \rho S v_\perp^2 \Delta t\). Значит, \(F_{\text{дожд}} = \rho S v_\perp^2\).

Второй закон Ньютона для кирпича в проекциях на оси, параллельную и перпендикулярную поверхности горки: \[\begin{cases} -F_{\text{тр}} + mg\sin\alpha = 0,\\ N - mg\cos\alpha - \rho S v_\perp^2 = 0. \end{cases}\] Учитывая \(F_{\text{тр}} = \mu N\), получаем \(\mu N = mg\sin\alpha\) и \(N = mg\cos\alpha + \rho S v_\perp^2\), откуда \[v_\perp = \sqrt{\frac{mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}{\mu\rho S}} .\] Из треугольника скоростей: \(v_{\text{кир}} = v_\perp \tan\alpha\), \(v_{\text{дожд}} = \dfrac{v_\perp}{\cos\alpha}\).

Подсказка

Найдите \(R_x\) по начальным показаниям приборов, затем выразите ток через \(R_x\) через показания вольтметра и ток элемента \(N\).

Ответ

\(Q = 108\) Дж.

Решение

Сначала найдём сопротивление \(R_x\). Начальное напряжение батарейки \(5\) В, начальное показание вольтметра \(1{,}5\) В, значит, напряжение на \(R_x\) в этот момент \(3{,}5\) В. Ток через \(R_1\) равен \(I_1 = 1{,}5/1000 = 1{,}5\) мА, через \(R_2\) — \(I_2 = 1{,}5/500 = 3\) мА. Общий ток \(4{,}5\) мА, ток через \(N\) по графику \(1\) мА. Значит, \[R_x = \frac{3{,}5}{(4{,}5 - 1)\cdot 10^{-3}} = 1~\text{кОм}.\] Пусть в некоторый момент показание вольтметра равно \(U\), а ток через элемент \(N\) равен \(I\). Тогда ток через \(R_1\) и \(R_2\) равен \(U/R_1 + U/R_2 = 3U\) (в мА при \(U\) в В), и ток через \(R_x\) выражается как \(3U - I\). Домножим график зависимости показаний вольтметра от времени на \(3\), вычтем из него график тока через \(N\) и возведём полученную зависимость в квадрат. Получится график зависимости \(I_x^2\) от времени. Площадь под ним, умноженная на \(R_x\), даёт тепло, выделившееся на резисторе. Итоговый ответ: \(Q = 108\) Дж.

Подсказка

Линзу с меньшим фокусным расстоянием возьмите объективом, с большим — окуляром. Длину тубуса выберите так, чтобы изображение было видно в окуляр.

Ответ

При \(F_{\text{об}} = 16\) см, \(F_{\text{ок}} = 18\) см и \(d_1 = 25\) см: \(\Delta \approx 28\) см, \(\Gamma \approx 2{,}4\), расстояние от первой линзы до второй \(l \approx 62\) см.

Решение

Простейший микроскоп состоит из двух собирающих линз: короткофокусного объектива и окуляра. Предмет помещается вблизи переднего фокуса объектива так, чтобы его действительное увеличенное изображение находилось между окуляром и его передним фокусом. Окуляр даёт мнимое увеличенное изображение, которое рассматривает глаз. Изменяя расстояние между предметом и объективом, добиваются того, чтобы изображение оказалось в плоскости дальней аккомодации глаза.

Основная характеристика микроскопа — угловое увеличение: отношение угла зрения \(\beta'\), под которым видно изображение предмета в окуляре, к углу зрения \(\beta\), под которым предмет виден невооружённым глазом с расстояния наилучшего зрения \(a_0\). Для нормального глаза \[\Gamma = \frac{a_0\,\Delta}{F_{\text{об}}F_{\text{ок}}},\] где \(a_0 = 25\) см, \(\Delta\) — оптическая длина тубуса (расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра), \(F_{\text{ок}}\) и \(F_{\text{об}}\) — фокусные расстояния окуляра и объектива.

Фокусные расстояния линз можно определить, получив изображение удалённого источника света (потолочной лампы) на столе или листе бумаги. Линзу с меньшим фокусным расстоянием выбираем в качестве объектива, с большим — в качестве окуляра. Для нашего случая \(F_{\text{об}} = 16\) см (или \(13\) см для некоторых линз), \(F_{\text{ок}} = 18\) см.

Длину тубуса можно оценить по формуле тонкой линзы: \[\Delta \le f_1 - F_1 = \frac{F_1 d_1}{d_1 - F_1} - F_1 ,\] где \(d_1\) — расстояние от первой линзы до предмета, \(f_1\) — расстояние от первой линзы до изображения, даваемого первой линзой. При \(d_1 = 25\) см и \(F_{\text{об}} = 16\) см получим \(\Delta = 28\) см, \(\Gamma = 2{,}4\). Расстояние от первой линзы до второй \(l = F_{\text{об}} + \Delta + F_{\text{ок}} = 62\) см.

Можно подобрать положения линз, не проводя расчёта, меняя их положения и наблюдая картину. Для определения увеличения после подбора расстояния сопоставляют видимый через систему линз размер одного деления миллиметровки и соответствующую ему длину над второй линзой, измеряемую линейкой. Для определения среднего размера крупинок сахарного песка их выкладывают в ряд вдоль миллиметровки под нижней линзой и считают количество крупинок.

Подсказка

Условие, при котором проволока не выскальзывает из ножниц, даёт связь коэффициента трения с углом между лезвиями и проволокой.

Ответ

Предельное отношение \(\dfrac{F}{N} = \dfrac{l_2}{l_1\cos\alpha} = \dfrac{l_2\sqrt{1+\mu^2}}{l_1}\), где \(\mu \ge \operatorname{tg}\alpha\).

Решение

Из условия равенства моментов сил в рычаге получаем \(M = Fl_1\cos\alpha = Nl_2\). Учитывая, что \(\operatorname{tg}\alpha = R/l_2\), для силы нормального давления лезвия на проволоку получим \[N = \frac{Fl_1\cos\alpha}{l_2} = \frac{Fl_1\cos\alpha}{R/\operatorname{tg}\alpha} = \frac{Fl_1\sin\alpha}{R} .\] Условие того, что проволока не будет выскальзывать из ножниц, — проекции сил нормального давления и трения на ось \(x\): \(F_{\text{тр}}\cos\alpha \ge N\sin\alpha\), \(\mu N\cos\alpha \ge N\sin\alpha\), откуда \[\mu \ge \operatorname{tg}\alpha .\] (1)

Угол находим как \(\operatorname{tg}\alpha = R/l_2\) (2). Для повышения точности целесообразно использовать выражение \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{d/2}{\sqrt{l_{\text{н}}^2 - (d/2)^2}} ,\] (3) где \(d\) и \(l_{\text{н}}\) — обозначения по рисунку официального решения.

Для определения коэффициента трения ножниц о бумагу можно было либо многократно сложить лист бумаги, либо обернуть бумагой гвоздь.

Отношение силы, прикладываемой к ножницам рукой, к максимальному усилию, выдерживаемому бумагой: \[\frac{F}{N} = \frac{l_2}{l_1\cos\alpha} = \frac{l_2\sqrt{1+\mu^2}}{l_1} .\] (4)