зад 1 Два тела на вращающемся рельсе
Рельс \(OO'\) вращается в горизонтальной плоскости вокруг точки O с угловой скоростью \(\omega\). По рельсу могут ездить два маленьких тела массами \(M\) и \(m\), связанные лёгкой нерастяжимой нитью длины \(l\). Тело массой \(m\) ездит по рельсу без трения. Коэффициент трения между телом массы \(M\) и рельсом равен \(\mu\). В некоторый момент времени тело массой \(M\) располагается на расстоянии \(R\) от точки O, при этом его скорость относительно рельса равна нулю, а нить не провисает (см. рис.). Найдите силу натяжения нити в этот момент и постройте график зависимости этой силы от \(\omega\). Ускорение свободного падения \(g\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждого тела запишите, какая сила создаёт центростремительное ускорение. При каком \(\omega\) тело \(M\) начнёт проскальзывать?
▶ОтветСкрыть
При \(\omega \le \omega_0 = \sqrt{\dfrac{\mu M g}{m(R + l) + MR}}\) сила натяжения \(T = m\omega^2(R + l)\). При \(\omega > \omega_0\) сила натяжения \(T = \dfrac{Mm(\omega^2 l + \mu g)}{m + M}\). График \(T(\omega)\) состоит из двух кусков парабол, сшитых в точке \((\omega_0, T_0)\).
▶РешениеСкрыть
Центростремительную силу для тела массой \(m\), равную \(m\omega^2(R + l)\), создаёт натяжение нити: \[T = m\omega^2(R + l).\] Для тела массой \(M\) центростремительная сила \(M\omega^2R\) создаётся разностью силы трения и силы натяжения: \[F_{тр} - T = M\omega^2 R.\] Чтобы тело \(M\) не проскальзывало, нужно \(F_{тр} < \mu M g\). С учётом (1) и (2) \[T + M\omega^2R = m\omega^2(R + l) + M\omega^2R < \mu M g \quad\Rightarrow\quad \omega < \omega_0 = \sqrt{\frac{\mu M g}{m(R + l) + MR}}.\] При \(\omega = \omega_0\) сила трения достигает максимума \(\mu M g\). При \(\omega > \omega_0\) трение не удерживает тела на постоянном расстоянии от O, и ответ (1) перестаёт работать.
Если \(\omega > \omega_0\), тела соскальзывают с ускорением \(a > 0\) к краю рельса O\('\). Второй закон Ньютона в проекции на ось OO\('\): \[ma = m\omega^2(R + l) - T, \qquad Ma = M\omega^2R + T - \mu M g .\] Решая систему относительно \(a\) и \(T\), находим \[T = \frac{Mm(\omega^2 l + \mu g)}{m + M} .\] Этот ответ справедлив при \(a > 0\), что выполняется при \(\omega > \omega_0\). График \(T(\omega)\) приведён на рисунке: при \(\omega \le \omega_0\) — парабола \(T = m\omega^2(R + l)\), при \(\omega > \omega_0\) — вторая парабола, сшитые в точке \((\omega_0, T_0)\).
зад 2 Поршни и пружины с отверстием
В сосуде находятся два поршня массой \(m\) и две пружины жёсткостью \(k\). Одна пружина соединяет поршни между собой, другая — нижний поршень и дно сосуда (см. рис.). Пространство под поршнями заполнено идеальным газом, система находится в равновесии, при этом обе пружины недеформированы и имеют длину \(L\). В нижнем поршне открыли небольшое сквозное отверстие O. На какой высоте расположатся поршни, когда в системе снова установится равновесие? Считать, что температура в конце устанавливается равной первоначальной. Атмосферным давлением, весом газа и трением пренебречь. Ускорение свободного падения \(g\).
▶ОтветСкрыть
Если \(a = \dfrac{mg}{kL} \le 2\), верхний поршень остаётся на высоте \(2L\), а нижний опускается на \(\dfrac{mg}{2k}\). Если \(a > 2\), нижний поршень лежит на дне, а верхний располагается на высоте \(\dfrac{L}{2}\left(\sqrt{a^2 + 10a + 1} + 1 - a\right)\).
▶РешениеСкрыть
В начале давление газа в верхнем отсеке \(p_0 = \dfrac{mg}{S}\), давление снизу под нижним поршнем \(2p_0\) (сила давления снизу уравновешивает \(mg\) нижнего поршня и силу \(p_0S = mg\) сверху).
Пусть после установления равновесия верхняя пружина сжата на \(x_1\), нижняя — на \(x_2\) (отрицательное значение — растяжение). Объёмы отсеков \(V_1 = (L - x_1)S\), \(V_2 = (L - x_2)S\). Количество вещества в начале: \(\nu_1 : \nu_2 = 1 : 2\), всего \(\nu_1 + \nu_2 = \dfrac{3p_0LS}{RT}\). В конце давление \(p\) одно и то же в обоих отсеках, температура прежняя: \[\frac{3mg}{S}\,L = p\,(2L - x_1 - x_2).\] Равновесие верхнего и нижнего поршня: \[mg = pS + kx_1, \qquad mg + kx_1 = kx_2 .\] С безразмерными \(\alpha_{1,2} = x_{1,2}/L\) и \(a = \dfrac{mg}{kL}\): \[3a = \frac{pS}{kL}(2 - \alpha_1 - \alpha_2), \qquad a = \frac{pS}{kL} + \alpha_1, \qquad a + \alpha_1 = \alpha_2 .\] Получаем квадратное уравнение \(2\alpha_1^2 - (a+2)\alpha_1 - a(a+1) = 0\). Решение «с плюсом» даёт \(\alpha_1 = 1 + a > 1\) и отбрасывается. Решение «с минусом»: \(\alpha_1 = -a/2\), \(\alpha_2 = a/2\): верхняя пружина растянута на \(\dfrac{mg}{2k}\), нижняя сжата на \(\dfrac{mg}{2k}\). Оно физично при \(\alpha_2 \le 1\), то есть \(a \le 2\). Тогда верхний поршень остаётся на высоте \(2L\), нижний опускается на \(\dfrac{mg}{2k}\).
При \(a > 2\) нижний поршень лежит на дне, \(x_2 = L\). Тогда \(3a = \dfrac{pS}{kL}(1 - \alpha_1)\), \(a = \dfrac{pS}{kL} + \alpha_1\), откуда \(\alpha_1^2 - (a+1)\alpha_1 - 2a = 0\), \(\alpha_1 = \dfrac{a + 1 - \sqrt{a^2 + 10a + 1}}{2}\). Высота верхнего поршня \(h = L(1 - \alpha_1) = \dfrac{L}{2}\left(\sqrt{a^2 + 10a + 1} + 1 - a\right)\).
зад 3 Частица в двух магнитных областях
Плоскость \(OO'\) делит пространство на две области (см. рис.). В каждой области действует однородное магнитное поле индукции \(B_0\); направление магнитного поля в каждой области показано на рисунке. Вектор \(B_0\) образует с нормалью к \(OO'\) угол \(\alpha > 0\). Из точки \(A_1\) вылетела частица массой \(m\) с зарядом \(q\). Пролетев сквозь \(OO'\) и оказавшись в правой области, частица стала двигаться по прямой и попала в точку \(A_2\). Точки \(A_1\) и \(A_2\) расположены симметрично относительно \(OO'\). Какое время может потребоваться частице на такой перелёт из \(A_1\) в \(A_2\)? Силой тяжести пренебречь. Частица пролетает сквозь \(OO'\) беспрепятственно.
▶ОтветСкрыть
\(t = \dfrac{2\pi m n\,(1 + \cos 2\alpha)}{qB_0}\), где \(n\) — целое число.
▶РешениеСкрыть
В однородном магнитном поле частица движется по спирали, по окружности или по прямой; по прямой — если скорость параллельна линиям индукции. Слева от \(OO'\) частица движется по спирали: проекция скорости на направление поля \(V_0\) постоянна, в перпендикулярной плоскости она вращается с угловой частотой \(\omega = qB_0/m\), то есть траектория «намотана» на цилиндр.
В момент пересечения \(OO'\) в точке K скорость частицы \(\vec u\) направлена вдоль поля в правой области. Её проекция на направление поля слева сохраняется, и в момент пересечения \(u_x = \omega R\), \(u_z = V_0\). Так как угол между \(\vec u\) и осью поля равен \(2\alpha\), \[u = \frac{V_0}{\cos 2\alpha} .\] Частица летит вдоль \(\vec u\) в правой области и попадает в точку \(A_2\); точки \(A_1\), K, \(A_2\) лежат в плоскости рисунка. Между \(A_1\) и K частица совершила целое число \(n\) оборотов: \[t_1 = \frac{2\pi n}{\omega} = \frac{2\pi m n}{qB_0}, \qquad L = V_0 t_1 .\] Путь \(L\) в правой области частица проходит с постоянной скоростью \(u\) за \[t_2 = \frac{L}{u} = t_1\cos 2\alpha .\] Полное время \[t_1 + t_2 = t_1\,(1 + \cos 2\alpha) = \frac{2\pi m n\,(1 + \cos 2\alpha)}{qB_0}.\] Не при всех \(\alpha\) такое движение возможно: при \(\alpha = 45^\circ\) частица влетает в левую область перпендикулярно полю и не может сместиться вдоль поля. Строгое условие на \(\alpha\) решается численно: \(\alpha\) не превосходит примерно \(17{,}4^\circ\) (это граничное значение в решении не находилось).
зад 4 Ждун и цепочка зарядов
Ждун замыслил серию опытов, в которых планирует измерять напряжённость электрического поля в точке O. В первом опыте он собирается расположить в точке A положительный точечный заряд. Во втором опыте он расположит на прямой OA полубесконечную цепочку из таких же по абсолютной величине зарядов с чередующимися знаками (см. рис.). Расстояние между соседними зарядами в цепочке в \(N\) раз меньше, чем расстояние между A и O, причём \(N \gg 1\). В третьем опыте Ждун сдвинет заряды в цепочке по сравнению со вторым опытом так, что расстояние между соседними зарядами уменьшится в \(K\) раз. Во втором и третьем опытах ближайший к O заряд цепочки будет располагаться в точке A; он является положительным. На сколько процентов следует ожидать изменения напряжённости во втором опыте по сравнению с первым? На сколько процентов ожидается изменение напряжённости в третьем опыте по сравнению со вторым?
▶ОтветСкрыть
Во втором опыте напряжённость уменьшится на \(50\%\); в третьем — изменится на \(\dfrac{K - 1}{NK}\cdot 100\%\) относительно второго.
▶РешениеСкрыть
Введём координатную ось от O вдоль OA, координата точки A равна \(L\), расстояние между зарядами цепочки \(a = L/N\), величина зарядов \(q > 0\). В первом опыте напряжённость в O равна \(E_1 = -\dfrac{kq}{L^2}\) (направлена против оси).
Пусть \(E(x)\) — напряжённость в O от полубесконечной цепочки, начинающейся в точке с координатой \(x\). Во втором опыте \(E_2 = E(L)\). Цепочку можно разбить на заряд \(q\) в точке A и вспомогательную цепочку, начинающуюся в точке \(L + a\); она получается сдвигом исходной на \(a\) со сменой знаков, и создаёт в O напряжённость \(-E(L + a)\). По принципу суперпозиции \[E(L) + E(L + a) = E_1 .\] Так как \(N \gg 1\), \(E(L + a) \approx E(L) + a\,\dfrac{dE}{dL}\), и с точностью до слагаемого с производной \(E(L) \approx \dfrac{E_1}{2}\): напряжённость во втором опыте уменьшается на \(50\%\).
Чтобы найти изменение в третьем опыте, нужно учесть поправку. Пусть \(E(L) = \dfrac{kq}{2L^2}\left(1 + \beta\dfrac{a}{L}\right)\). Подстановка в уравнение суперпозиции даёт \(\beta = 1\). Тогда \[E_2 = \frac{kq}{2L^2}\left(1 + \frac{a}{L}\right), \qquad E_3 = \frac{kq}{2L^2}\left(1 + \frac{a}{KL}\right),\] и разность \(\Delta E = E_2 - E_3 = \dfrac{kq}{2L^2}\cdot\dfrac{a}{L}\left(1 - \dfrac{1}{K}\right) = \dfrac{E_2(K-1)}{KN}\) (при \(E_2 \approx \dfrac{kq}{2L^2}\)). Отсюда относительное изменение \(\dfrac{K - 1}{NK}\cdot 100\%\).
зад 5 Шар с двумя светлыми пятнами
В тёмной-тёмной комнате имеется сплошной шар из прозрачного материала. Где-то внутри шара горит точечный источник света. При этом лишь часть поверхности шара испускает свет: это два круглых пятна у противоположных полюсов шара. Угловой размер освещённых пятен (см. рис.) равен \(\varphi_1 = 5^\circ\) и \(\varphi_2 = 35^\circ\). Найдите коэффициент преломления материала, из которого изготовлен шар.
▶ОтветСкрыть
\(n = \dfrac{1}{\sin 15^\circ} = \sqrt{\dfrac{2}{1 - \cos 30^\circ}} \approx 3{,}86\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(n\) — искомый коэффициент преломления. Луч, падающий изнутри на границу под углом, большим предельного \(\alpha = \arcsin(1/n)\), испытывает полное внутреннее отражение и не выходит из шара. Граница светлой и тёмной областей соответствует лучам, падающим на поверхность под углом ровно \(\alpha\), то есть \(\sin\alpha = 1/n\).
Из симметрии источник лежит на прямой, соединяющей полюсы. Лучи из источника в точки A и B на границе светлой области падают под одинаковыми углами \(\alpha\); это возможно, если источник лежит на пересечении прямой AB с осью полюсов. По условию \(\angle O'OA = \varphi_1\), \(\angle O''OB = \varphi_2\), поэтому \(\angle BOA = \pi - \varphi_2 + \varphi_1\). Из треугольника AOB, где \(\angle ABO = \angle BAO = \alpha\), \(\angle BOA = \pi - 2\alpha\). Значит \[\alpha = \frac{\varphi_2 - \varphi_1}{2} = 15^\circ, \qquad n = \frac{1}{\sin 15^\circ} = \sqrt{\frac{2}{1 - \cos 30^\circ}} \approx 3{,}86 .\]
зад 6 Магнитный момент
Известно, что сила взаимодействия между магнитами, находящимися на расстоянии \(z\), существенно большем их размеров, имеет вид \[F = a\,\frac{p_{m1}^{\,b}\,p_{m2}^{\,c}}{z^{d}},\] где \(b\), \(c\), \(d\) — целые числа, \(p_{m1}\) и \(p_{m2}\) — магнитные моменты магнитов, \(a = 6\cdot10^{-7}\) (ед. СИ) — постоянный коэффициент.
Определите параметры \(b\), \(c\), \(d\) в зависимости силы взаимодействия двух магнитов от расстояния.
Определите магнитный момент постоянного магнита.
Выведите теоретическую формулу для магнитного момента и сопоставьте её с экспериментом.
▶ОтветСкрыть
\(b = c = 1\), \(d = 4\); магнитный момент \(p_m \approx 0{,}15\) А\(\cdot\)м\(^2\).
▶РешениеСкрыть
Для предотвращения переворачивания магнитов с противоположными моментами помещаем их в диэлектрическую трубку; взаимодействие реализуем в четырёх вариантах (см. рис.). По третьему закону Ньютона моменты входят в формулу симметрично, поэтому \(b = c\). Переворачивая трубку в опыте 1) и меняя магниты, убеждаемся, что массы магнитов и их моменты одинаковы.
Уравновешивание силы тяжести магнита \(mg\) или \(2mg\) даёт: \[mg = F_1 = a\,\frac{p_m^{2b}}{z_1^{\,n}}, \qquad 2mg = F_2 = a\,\frac{2^b p_m^{2b}}{z_2^{\,n}}, \qquad mg = F_3 = a\,\frac{2^b p_m^{2b}}{z_3^{\,n}},\] где \(n = d\). Из первых двух и равенства \(z_1 = z_2 = 3{,}1\) см следует \(b = 1\). Из первого и третьего \[\left(\frac{z_3}{z_1}\right)^{n} = 2, \qquad n = \frac{\ln 2}{\ln\left(\dfrac{z_3}{z_1}\right)} = \frac{\ln 2}{\ln\left(\dfrac{3{,}7}{3{,}1}\right)} \approx 3{,}92 \approx 4 .\] Для четвёртого варианта \[mg = a\,p_m^{2b}\left(\frac{1}{z_4^{\,n}} - \frac{1}{z_5^{\,n}}\right), \qquad mg = a\,p_m^{2b}\left(\frac{1}{z_5^{\,n}} - \frac{1}{(z_4 + z_5)^{n}}\right).\] Из них при \(n = 4\) следует соотношение между \(z_4\) и \(z_5\); из первого варианта при \(b = 1\) \[p_m = \sqrt{\frac{z_1^{\,4}\,mg}{a}} .\] Теоретическая проверка: магнитный момент \(\vec p_m = I\vec S\); поле кругового тока на оси и энергия \(W\) диполя дают силу \(F = -\dfrac{dW}{dz}\). Для двух коаксиальных диполей \[F = \frac{6\mu_0}{4\pi}\,\frac{p_{m1}p_{m2}}{z^4} ,\] где \(\dfrac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\) Гн/м, то есть \(a = 6\cdot10^{-7}\) Гн/м, что совпадает с заданной формулой при \(b = c = 1\), \(d = 4\).
Массу магнита находят взвешиванием линейки или трубки с двумя магнитами по краям и вычитанием массы трубки с делением на \(2\). Подставляя \(m = 1{,}27\cdot10^{-3}\) кг, \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), \(a = 6\cdot10^{-7}\) Гн/м и \(z_1 = 3{,}2\cdot10^{-2}\) м, получаем \(p_m \approx 0{,}15\) А\(\cdot\)м\(^2\).
зад 7 Вентильный фотоэффект и закон Малюса
Снимите, постройте и проанализируйте зависимость напряжения на светодиоде от интенсивности \(I\) падающего света.
Определите показатели степенной зависимости нормированного напряжения при малых и больших освещённостях светодиода. Определите диапазоны, при которых верны данные законы.
Определите зависимость нормированной фоточувствительности светодиода от освещённости. Фоточувствительность определяется как отношение напряжения на фотодиоде к интенсивности падающего света \(S = U/I\).
Дайте объяснение возникновению напряжения на светодиоде под действием света.
Дайте объяснение возникновению нелинейности характеристики фоточувствительности светодиода.
▶РешениеСкрыть
Согласно закону Малюса интенсивность поляризованного света, прошедшего через поляризатор, равна \(I = I_0\cos^2\varphi\), где \(I_0\) — интенсивность падающего света. Лазерная указка даёт частично поляризованный луч: первый поляризатор ставят в положение максимальной интенсивности, а второй поворачивают относительно первого на углы \(\varphi\), которые задают транспортиром (направление пропускания отмечают на пластинке маркером). Получают источник с регулируемой интенсивностью. Измеряют напряжение \(U\) и строят зависимость \(U/U_{max}\) от \(\cos^2\varphi\).
Характер степенной зависимости устанавливают логарифмированием напряжения и интенсивности и построением графика в логарифмических координатах. Фоточувствительность \(S = U/I\) нормируют и строят её зависимость от освещённости.
Вентильный фотоэффект — возникновение фото-э.д.с. при освещении контакта двух полупроводников с разной проводимостью (или полупроводника и металла) без внешнего источника напряжения. При контакте \(p\)- и \(n\)-полупроводников возникает контактная разность потенциалов, препятствующая переходу основных носителей через контакт. При освещении \(p\)–\(n\)-перехода в полупроводниках образуются электронно-дырочные пары; поле перехода разделяет заряды: неосновные носители проходят через переход, основные задерживаются, и на переходе накапливается добавочная разность потенциалов — фото-э.д.с. При подключении сопротивления в цепи возникает фототок.
Нелинейность связана с рекомбинацией: одновременно с генерацией носителей идёт их рекомбинация, скорость которой пропорциональна числу дырок и свободных электронов и растёт с ростом числа выбитых светом электронов, что и даёт нелинейность зависимости.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2016/17, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.