Санкт-Петербургская, 2016/17, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Запишите условие плавания бруска без груза. В двух других случаях приравнивайте не полные силы, а их добавки к первому равенству.

Ответ

\(m = 500\) г, \(\rho = 2\) г/см\(^3\).

Решение

Обозначения: \(\rho_1\), \(V_1\), \(m_1\) — плотность, объём и масса бруска; \(\rho_2\), \(V_2\), \(m_2\) — плотность, объём и масса груза; \(\rho_0\) — плотность воды. Условие плавания бруска без груза: \[m_1 g = \frac{1}{4}\,\rho_0 V_1 g .\] Здесь в левой части силы, действующие вниз, в правой — вверх. Удобнее приравнивать добавки сил. Во втором случае сила Архимеда увеличится на \(\frac{1}{2}\rho_0 V_1 g\), а сила тяжести — на \(\rho_2 V_2 g\): \[\frac{1}{2}\,\rho_0 V_1 g = \rho_2 V_2 g .\] В третьем случае: \[\frac{1}{4}\,\rho_0 V_1 g = (\rho_2 - \rho_0) V_2 g .\] Из первого уравнения при \(m_1 = 250\) г находим \(V_1 = 1000\) см\(^3\). Вычитая из второго уравнения третье, получаем \(V_2 = \frac{1}{4} V_1 = 250\) см\(^3\). Разделив второе уравнение на третье, находим \[2 = \frac{\rho_2}{\rho_2 - \rho_0}, \qquad \rho_2 = 2\rho_0 = 2~\text{г/см}^3 .\] Тогда масса груза \(m_2 = \rho_2 V_2 = 500\) г.

Подсказка

Давление, которое создаёт брусок на поршень, уравновешивается разностью уровней воды в сосудах. Как связаны объёмы воды, перетекающей между сосудами?

Ответ

Поршень понизится на \(0{,}5\) см.

Решение

Брусок на поршне создаёт избыточное давление \(mg/S_л\), где \(m = 600\) г, \(S_л = 400\) см\(^2\). Оно уравновешивается гидростатическим давлением столба воды высотой \(\Delta h_{столб}\) в правом сосуде над уровнем левого: \(\dfrac{mg}{S_л} = \rho g\,\Delta h_{столб}\), откуда \[\Delta h_{столб} = \frac{m}{\rho S_л} = 1{,}5~\text{см}.\] Пусть в левом сосуде уровень опустился на \(\Delta h_л\), а в правом поднялся на \(\Delta h_п\). Тогда \(\Delta h_{столб} = \Delta h_л + \Delta h_п\). Объём воды, вышедшей из левого сосуда, целиком перешёл в правый: \(\Delta h_л S_л = \Delta h_п S_п\). Отсюда \[h_л = \Delta h_{столб}\,\frac{S_п}{S_л + S_п} = 1~\text{см}.\] Брусок, плавающий в правом сосуде, вытесняет объём \(V = m/\rho\), то есть его добавление равносильно добавлению такого объёма воды. Добавочного давления он не создаёт, поэтому уровни в обоих сосудах поднимутся на одинаковую величину \(\Delta h_о\): \[\frac{m}{\rho} = \Delta h_о\,(S_л + S_п), \qquad \Delta h_о = \frac{m}{\rho}\cdot\frac{1}{S_л + S_п} = 0{,}5~\text{см}.\] Итог: брусок на поршне опускает поршень на \(1\) см, а плавающий брусок поднимает уровни на \(0{,}5\) см; в итоге уровень поршня понизится на \(0{,}5\) см.

Подсказка

Столкновение — пересечение графиков \(x(t)\) обоих роботов. Постройте прямую для второго робота, которая не пересекает ни один из возможных графиков первого.

Ответ

\(2{,}5\) м/мин.

Решение

Два тела сталкиваются, если в некоторый момент их координаты совпадают, то есть если графики \(x(t)\) пересекаются. График второго робота — прямая, проходящая через точку \((2;\,0)\) (старт из \(x=0\) в момент \(t=2\) мин). График первого робота должен проходить через точки \(A(2;\,10)\), \(B(4;\,20)\), \(C(10;\,50)\), \(D(22;\,110)\) и не убывать, поэтому он лежит внутри квадратов \(OA_xAA_t\), \(AB_xBB_t\), \(BC_xCC_t\), \(CD_xDD_t\) (см. рис.).

Прямая через точки \(A_t(2;\,0)\), \(C_t(10;\,20)\), \(D_t(22;\,50)\) не пересекает ни один из квадратов и является оптимальным законом движения второго робота: \[k_1 = \frac{20~\text{м}}{8~\text{мин}} = 2{,}5~\text{м/мин}, \qquad k_2 = \frac{30~\text{м}}{12~\text{мин}} = 2{,}5~\text{м/мин}.\] Любая прямая с большим угловым коэффициентом пересечёт один из квадратов. Значит, максимальная скорость второго робота \(u = 2{,}5\) м/мин.

Подсказка

Малая добавка песка даёт сдвиг платформы и тем самым суммарную жёсткость пружин на данной высоте. Что по этой жёсткости даёт касательная к графику?

Ответ

\(k_1 = 25\) Н/м, \(k_2 = 75\) Н/м, \(k_3 = 150\) Н/м.

Решение

В каждый момент пружины уравновешивают весь песок на платформе. Насыпав малую добавку \(\Delta m\) песка и получив сдвиг \(\Delta h\), находим суммарную жёсткость пружин на текущей высоте из закона Гука: \(k = \dfrac{\Delta m\, g}{\Delta h}\). Жёсткость параллельного соединения пружин равна сумме их жёсткостей, поэтому касательные к графику дают суммы жёсткостей пружин, сжатых на данной высоте. График кусочно-линейный, значит, касательная совпадает с его линейной частью. Всего на графике три линейных участка, то есть три пружины: на первом участке сжата одна пружина, на втором — две, на третьем — три. Тогда \[k_1 = \frac{1{,}5}{0{,}06} = 25~\text{Н/м}, \qquad k_1 + k_2 = \frac{2}{0{,}02} = 100~\text{Н/м}, \qquad k_1 + k_2 + k_3 = \frac{2{,}5}{0{,}01} = 250~\text{Н/м}.\] Подставляя первое равенство во второе, а второе в третье, получаем \(k_1 = 25\) Н/м, \(k_2 = 75\) Н/м, \(k_3 = 150\) Н/м.

Подсказка

Какие части стержней могут иметь одинаковую массу? Линейная плотность меняется линейно, а масса куска — это площадь под графиком плотности от координаты.

Ответ

\(M = 21\) г (если верхняя половина уравновешивается средней третью) или \(M = 17\) г (если верхняя половина уравновешивается нижней третью).

Решение

Пусть \(L\) — длина стержня, \(\rho(x)\) — линейная плотность (масса единицы длины) на расстоянии \(x\) от верхнего края. Так как плотность меняется равномерно, график \(\rho(x)\) — прямая, а масса куска между \(x_1\) и \(x_2\) равна площади под графиком. Нижняя половина одного стержня тяжелее любой трети другого, а верхняя треть легче любой половины, поэтому возможны два случая равенства масс.

Случай 1. Верхняя половина сравнивается со средней третью. Масса средней трети \(\rho_{ср}\,L/3 = 7\) г, а масса всего стержня \[M = \rho_{ср}\,L = 3\cdot 7~\text{г} = 21~\text{г}.\]

Случай 2. Верхняя половина сравнивается с нижней третью. На левом графике через \(m\) и \(k\) обозначены площади, отделённые пунктиром (см. рис.); площади на правом графике пересчитываются через них.

Масса нижней трети \(m + 5k\), масса верхней половины \(\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4}k\). Приравнивая, получаем \(k = \dfrac{2}{11}\,m\). Масса нижней трети \(m + \dfrac{10}{11}m = 7\) г, откуда \(m = \dfrac{11}{3}\) г. Тогда \[M = 3m + 9k = \frac{51}{11}\,m = 17~\text{г}.\]

Подсказка

Постройте зависимость массы от объёма. Что должно быть на графике при отсутствии систематической ошибки?

Ответ

\(\rho = 8{,}53\) г/см\(^3\).

Решение

Посчитаем \(\rho = m/V\) для каждого грузика (таблица ниже): значения плотности систематически снижаются с ростом массы и заметно различаются для грузиков 1 и 6. Это указывает на систематическую ошибку, а не на случайную.

Нанесём экспериментальные точки на плоскость \((V, m)\). Зависимость \(m = \rho V\) даёт прямую через ноль, но точки ложатся на прямую, не проходящую через начало координат. Пересечение прямой с осью \(m\) даёт «лишнюю добавку» к показаниям весов. Вычтя её из показаний, получаем прямую через ноль, коэффициент наклона которой и есть плотность:

\(\rho \approx 8{,}53\) г/см\(^3\).

Подсказка

Концентрация на данной глубине зависит только от тех частиц, которые уже успели опуститься глубже этой отметки. Как связаны время и глубина для каждого размера?

Ответ

\(50\) см\(^{-3}\) (при \(t = 5\) мин); \(\approx 12\) см\(^{-3}\) (при \(t = 15\) мин); \(0\) (при \(t = 28\) мин).

Решение

Рассмотрим столбик частиц определённого размера \(L\), который в начальный момент занимает всё пространство от дна до поверхности. Он равномерно оседает со скоростью \(v(L)\), и в момент \(t\) его верхняя граница находится на глубине \(v(L)\,t\). На меньших глубинах частиц этого размера нет. Вклад частиц размера \(L\) в концентрацию на глубине \(H\) постоянен до момента \(T\), определяемого условием \[v(L)\,T = H,\] а затем обращается в ноль. Поэтому концентрация на глубине \(2H\) в момент \(2T\) такая же, как на глубине \(H\) в момент \(T\): это одни и те же частицы. Значит, концентрацию на глубине \(0{,}5\) м в момент \(t\) можно найти по графику для глубины \(1\) м в момент \(2t\).

Для \(t = 5\) мин это момент \(10\) мин: концентрация \(50\) см\(^{-3}\), так как самые тяжёлые частицы ещё не успели опуститься до глубины \(1\) м. Для \(t = 15\) мин это момент \(30\) мин: по графику концентрация примерно \(12\) см\(^{-3}\). Для \(t = 28\) мин это момент \(56\) мин: все частицы, которые были в водоёме, опустились глубже \(1\) м, и концентрация равна нулю.

Ответ

Ориентиры из критериев: обычный пластилин — \(1350 \pm 100\) кг/м\(^3\); лёгкий — \(550 \pm 50\) кг/м\(^3\).

Решение

Лёгкий пластилин. Из одного из двух кусочков лепят вытянутую форму, чтобы она помещалась в измерительный цилиндр; для удобства опускания и извлечения используют нитку. Наливают воду и измеряют её объём \(V_0\). Погружают пластилин так, чтобы он плавал, слегка касаясь стенок цилиндра, и измеряют объём \(V_1\). По закону Архимеда вес вытесненной воды равен весу пластилина: \[mg = F_А = \rho_в g\,(V_1 - V_0), \qquad m = \rho_в\,(V_1 - V_0).\] Затем пластилин погружают пальцем под воду и измеряют уровень \(V_2\); объём пластилина \(V = V_2 - V_0\). Плотность \[\rho = \frac{m}{V} = \rho_в\,\frac{V_1 - V_0}{V_2 - V_0}.\] В наших измерениях получилось \(\rho \approx 560\) кг/м\(^3\).

Обычный пластилин. Он тонет, поэтому достаточно погрузить его на нитке в цилиндр. Для измерения массы из него делают лодочку (из-за малого диаметра цилиндра она похожа на стаканчик), опускают её на нитке и измеряют изменение уровня воды. Массу вычисляют аналогично первому случаю. В наших измерениях получилось \(\rho \approx 1330\) кг/м\(^3\).