Санкт-Петербургская, 2016/17, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Наибольшая длина поводка достигается, когда собака и Малыш на противоположных углах площадки. Удобно перейти к относительной скорости.

Ответ

\(t = 20\) с.

Решение

Длина поводка равна расстоянию между Малышом и собакой, значит наибольшая длина достигается, когда мальчик и собака находятся в противоположных углах площадки. В этот момент разность путей, пройденных ими, равна двум сторонам квадрата, то есть \(20\) м плюс какое-то количество периметров квадрата (\(40\) м). Относительная скорость \(v_{\text{отн}} = |v_м - v_с| = 3\) м/с. Значит, потенциально возможны моменты времени \(t_1 = \frac{20}{3}\) с, \(t_2 = \frac{60}{3}\) с, \(t_3 = \frac{100}{3}\) с и так далее. В момент \(t_1\) Малыш проходит путь \(S_{1м} = \frac{40}{3}\) м — это положение не подходит. Проверим следующее: \(S_{2м} = 40\) м, то есть мальчик прошёл полный круг по площадке; собака при этом пробежала \(S_{2с} = 100\) м, то есть два с половиной круга, и оказалась в противоположном углу. Искомое время \(t = 20\) с.

Подсказка

Опрокидывающий момент тем больше, чем меньше расстояние между мышами. Сравните правило рычага для двух направлений бега Голодной.

Ответ

Голодной всегда следует бежать вправо.

Решение

Вредной мыши выгодно бежать за Голодной: опрокидывающий момент тем больше, чем меньше расстояние между мышами, а оно минимально, когда мыши бегут в одну сторону.

Пусть отношение скоростей Вредной и Голодной равно \(k < 1\), расстояние от края бруска до сыра равно \(l\), ширина бруска — \(d\). Если Голодная побежит влево, линейка может начать вращаться относительно точки \(A\); условие того, что через время \(t\) линейка не опрокинется, записывается правилом рычага: \[M_с g l + m_Г g\cdot vt + m_В g\cdot kvt \le (l+d)\,M_с .\] Если Голодная побежит вправо, линейка будет вращаться относительно точки \(B\): \[M_с g l + m_Г g\cdot (vt-d) + m_В g\cdot (kvt-d) \le (l+d)\,M_с .\] Второе условие «слабее» первого, то есть выполняется для большего диапазона \(k\), поэтому Голодной всегда следует бежать вправо.

Подсказка

Подвиньте первый пароход так, чтобы оба находились на одинаковом расстоянии от точки пересечения траекторий. Дым движется со скоростью ветра.

Ответ

\(v_{\text{в}} = \dfrac{v}{\sqrt{5}} \approx 22{,}4\) км/ч.

Решение

Из теоремы Пифагора расстояние от точки пересечения траекторий до второго парохода равно \(\sqrt{4^2+3^2}\,l = 5l\) (здесь \(l\) — длина клетки). Мысленно «подвинем» первый пароход на одну клетку вправо (параллельно перенеся след его дыма). Тогда расстояния от точки пересечения траекторий до пароходов будут одинаковы, и, так как скорости равны, оба парохода находились в точке пересечения одновременно. Дым движется со скоростью ветра, значит участок дыма, выпущенный в момент прохождения точки пересечения, должен лежать на пересечении следов.

За время \(\tau\) пароходы проходят путь \(5l = v\tau\), то есть \(\tau = \dfrac{5l}{v}\). За то же время дым, по теореме Пифагора, смещается на \(S = \sqrt{l^2+(2l)^2} = \sqrt{5}\,l\). Тогда скорость ветра \[v_{\text{в}} = \frac{S}{\tau} = \frac{\sqrt{5}\,l}{5l/v} = \frac{v}{\sqrt{5}} \approx 22{,}4~\text{км/ч}.\]

Подсказка

В установившемся режиме мощность двигателя идёт на преодоление силы сопротивления воздуха, которая зависит от скорости относительно воздуха.

Ответ

\(u \approx 8\) км/ч.

Решение

Скорость почтальона ограничена лишь мощностью, которую он способен развивать. В установившемся режиме эта мощность идёт на преодоление сил сопротивления. Сопротивлением колёс об асфальт можно пренебречь, единственная сила — сила сопротивления воздуха.

В первом заезде скорость относительно воздуха \(v_1 = 20\) км/ч, по графику \(F(20~\text{км/ч}) \approx 8\) Н, баланс мощностей \(P = F_1 v_1 = 8~\text{Н}\cdot 20~\text{км/ч}\).

Во втором заезде ветер дует почтальону в лицо, скорость относительно воздуха \(v_2 + u\), где \(u\) — искомая скорость ветра, а \(v_2 = 15\) км/ч. Мощность та же: \(P = F(v_2+u)\,v_2\), откуда \(F(v_2+u) = \dfrac{8\cdot 20}{15}~\text{Н} \approx 10{,}7\) Н. По графику находим \(v_2 + u \approx 23\) км/ч, значит \(u \approx 8\) км/ч.

Подсказка

Подумайте, как меняется сила Архимеда, когда стержень слегка отклонён, и при каком уровне воды такое равновесие перестаёт быть устойчивым.

Ответ

График: при \(h \le 10\) см центры шаров на уровне шарнира; при \(10 \le h \le 45\) см один шар поднимается, другой опускается симметрично; при \(h \ge 45\) см стержень вертикален, и центры шаров на высотах \(\pm 35\) см от шарнира. Здесь \(h\) — уровень воды относительно шарнира.

Решение

Из соображений симметрии в начальный момент на шарики действуют одинаковые силы, и система находится в равновесии. Но это равновесие не всегда устойчиво. Если стержень отклонить на малый угол — правый шар сместился вверх, левый вниз, — то из-за понижения внешнего давления правый шар увеличивается в объёме, а левый уменьшается. Сила Архимеда на правый шар растёт, на левый уменьшается, и смещение нарастает.

Это движение останавливается, когда правый шар достигнет поверхности воды: дальнейшее смещение уменьшает его силу Архимеда, и равновесие становится устойчивым.

При повышении уровня воды можно выделить три этапа. На первом стержень остаётся горизонтальным, пока вода не покроет верхушку шаров (уровень \(10\) см относительно шарнира, \(20\) см относительно начального положения). На втором один шар «привязан» к поверхности воды, стержень поворачивается, пока не станет вертикальным (уровень \(45\) см относительно шарнира, \(55\) см относительно начального положения). На третьем стержень вертикален, и положения шаров не меняются. Ниже приведён график зависимости высоты центров шаров \(x\) от уровня воды \(h\) (от шарнира).

Подсказка

Запишите правило рычага для каждого из возможных направлений двух сил и отберите совместимые пары уравнений, проверив второй закон Ньютона.

Ответ

\(m = \dfrac{F_1^2 + F_2^2}{F_2\, g}\).

Решение

Пусть для определённости \(F_1 > F_2\), а левое плечо короче правого. Правило рычага записывается для пяти вариантов направлений сил (кроме тех, что закручивают бревно в одну сторону или противоречат условию \(F_1 > F_2\), \(b > a\)). Из пар уравнений, которые могут выполняться одновременно, остаются четыре варианта, из которых сложением и вычитанием уравнений получаются два возможных выражения для массы. Один из них, \(m = \dfrac{F_1^2+F_2^2}{F_1 g}\), не подходит: для него второй закон Ньютона даёт неравенство, которое не выполняется (сумма сил, направленных вверх, должна быть не больше \(mg\)). Остаётся \[m = \frac{F_1^2 + F_2^2}{F_2\,g}.\]

Подсказка

Установившийся поток тепла через любой слой льда одинаков, поэтому температура внутри льда меняется линейно с высотой. Найдите массу льда и площадь под графиком температуры.

Ответ

\(Q \approx 400\) кДж.

Решение

Масса льда, оставшегося в стакане, равна массе воды, так как объём сохраняется: \(m_л = V\rho_л = 0{,}9\) кг.

Поток тепла через каждый тонкий слой льда одинаков (иначе менялась бы температура), значит разность температур на границах слоёв одинакова, то есть \(\Delta T \sim \Delta h\), и температура зависит от высоты линейно: от \(-100\,^\circ\)C у пола до \(0\,^\circ\)C у верхней границы. Энергия, необходимая, чтобы отогреть слой до \(0\,^\circ\)C, пропорциональна температуре слоя, так что полная теплота равна площади под графиком: \[Q_1 = c_л\, m_л\,\frac{T_0 - T_к}{2} = 2{,}1~\frac{\text{кДж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}\cdot 0{,}9~\text{кг}\cdot 50\,^\circ\text{C} \approx 94{,}5~\text{кДж}.\] После того как лёд отогрелся до \(0\,^\circ\)C, нужно его расплавить: \(Q_{пл} = \lambda m_л \approx 306\) кДж. Всего \[Q = m_л\left(c_л\frac{T_0 - T_к}{2} + \lambda\right) \approx 400~\text{кДж}.\]

Подсказка

Вес трубки в воде отличается от её веса на воздухе на силу Архимеда; по этой разности найдите объём трубки.

Ответ

Толщина стенок около \(1{,}0\) мм (по критериям оценивания: в диапазоне \(1{,}0 \pm 0{,}1\) мм).

Решение

Большую деревянную линейку используем как рычаг, кусочек линейки — как точку опоры. Уравновешиваем 50-см линейку на кусочке линейки и определяем положение её центра тяжести: дерево неоднородно, центр масс обычно не совпадает с серединой, поэтому при измерениях кусочек располагают под центром масс.

К разным концам линейки подвешиваем на нитках трубку и гайку и, двигая точки подвеса, добиваемся равновесия. По правилу рычага определяем массу трубки. Повторяем измерения для трубки, погружённой в воду: тогда определяем её вес в воде, равный разности силы тяжести и силы Архимеда. Зная плотность воды, по полученным результатам вычисляем объём трубки. Линейкой измеряем длину трубки и диаметр (или длину окружности трубки). Далее по геометрии трубки вычисляем толщину стенок (при расчётах учитывается толщина стенок).