Санкт-Петербургская, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Отражения от зеркал удобно заменить продолжением комнаты: зеркальные копии треугольника образуют развёртку, в которой лучи идут прямо.

Ответ

Один прожектор.

Решение

Построим «развёртку» треугольной комнаты: лучи не отражаются от стенок, а проходят сквозь них в следующий зеркальный треугольник. Рано или поздно угол станет достаточно широким, чтобы в него помещалась вся комната. В этот момент далеко от прожектора весь треугольник (хотя бы один) попадёт в луч прожектора. Значит, хватит одного прожектора, и ставить его можно как угодно.

Подсказка

Выберите начало координат посередине схемы: положение отрезка \(AB\) симметрично относительно этого положения, поэтому достаточно рассмотреть два случая.

Ответ

Максимальное сопротивление \(33\) Ом, минимальное \(31\) Ом. При \(t < 1\) с и \(t > 3\) с \(R = 31\) Ом; при \(1 \le t \le 3\) с \(R = 31 + 2\,(1 - (t-2)^2)\) Ом (график — в решении).

Решение

Удобнее всего выбрать начало координат для определения координаты отрезка \(AB\) посередине схемы (положение \(y = 0\)). Схема симметрична относительно положения \(y = 0\), поэтому сопротивление между точками \(C\) и \(D\) одинаково при смещении отрезка \(AB\) на одно значение \(y\) в положительную и отрицательную область. Достаточно рассмотреть два случая: при \(y < -1\) и при \(-1 \le y \le 1\). Обозначив удельное линейное сопротивление за \(\lambda = 7\) Ом/м, для первого случая \[R_o(y) = \lambda\,(y+2) + \lambda\cdot 1 + \lambda\,(1-(y+2)) + \lambda\cdot\frac{2\cdot 5}{7} + \lambda\cdot 1 = \lambda\left(3 + \frac{10}{7}\right) = 31~\text{Ом}.\] Для второго случая \[R_o(y) = \lambda\cdot 1 + \lambda\cdot\frac{(1+y)(6-y)}{7} + \lambda\cdot 1 + \lambda\cdot\frac{(1-y)(6+y)}{7} + \lambda\cdot 1 = \lambda\left(3 + \frac{10 + 2(1-y^2)}{7}\right) = 31 + 2\,(1-y^2)~\text{Ом}.\] Это парабола. Отрезок движется со скоростью \(1\) м/с из нижнего положения \(y = -2\), поэтому \(y = -2 + t\). Тогда при \(t < 1\) или \(t > 3\) сопротивление \(R_o = 31\) Ом, а при \(1 \le t \le 3\) сопротивление \(R_o = 31 + 2\,(1-(t-2)^2)\) Ом. Максимум \(33\) Ом достигается при \(t = 2\) с.

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого подвижного блока, а нерастяжимость нити свяжите с перемещениями блоков.

Ответ

\(a_i = g\left(\dfrac{N}{m_i}\Big/\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{1}{m_k} - 1\right)\), \(i = 1, \ldots, N\).

Решение

Натяжение нити \(T\) одинаково во всех точках нити. На подвижный блок с номером \(i\) действует сила \(2T\) вверх и сила тяжести груза \(m_i g\) вниз: \[m_i a_i = 2T - m_i g, \quad i = 1, 2, \ldots, N.\] Ускорения связаны условием \(a_1 + a_2 + \ldots + a_N = 0\): нить нерастяжима, поэтому сумма перемещений блоков равна нулю, а перемещение за время \(\Delta t\) равно \(a_i \Delta t^2/2\).

Поделив каждое уравнение на \(m_i\) и сложив их, получим \[0 = 2T\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right) - Ng, \qquad T = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right)^{-1} N g.\] Подставляя \(T\) в уравнение для \(a_i\): \[a_i = g\left(\frac{N}{m_i\left(\frac{1}{m_1} + \ldots + \frac{1}{m_N}\right)} - 1\right), \quad i = 1, 2, \ldots, N.\]

Подсказка

Найдите тепловую энергию воздуха в шаре как функцию времени, отсчитывая её от энергии воздуха при температуре окружающей среды; мощность — скорость изменения этой энергии.

Ответ

\(P(t) = 2\,c\,u\,\alpha\,T_0\,t\).

Решение

Тепловая энергия воздуха в шаре в момент \(t\): \(E(t) = m(t)\,c\,(T(t) - T_0)\), где \(m(t) = u t\) — масса воздуха в шаре. В качестве точки отсчёта энергии удобно принять энергию тела с температурой окружающей среды, так как температура воздуха при надувании не опускается ниже \(T_0\). Подставляя зависимости, \[E(t) = u t\cdot c\cdot T_0 \alpha t = u\alpha c T_0\, t^2.\] Мощность нагревателя равна скорости изменения этой энергии. Скорость изменения координаты с квадратичной зависимостью \(x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a}{2}t^2\) равна \(v(t) = v_0 + at\); по этой аналогии \[P(t) = \frac{dE}{dt} = 2\,c\,u\,\alpha\,T_0\,t.\] Энергия, которую приносит ненагретый поток воздуха, равна нулю в силу выбора начала отсчёта энергии.

Подсказка

Горизонтальные составляющие давления жидкости на половинку конуса взаимно уничтожаются, а сумма вертикальных сил сводится к давлению на вертикальное сечение конуса — треугольник.

Ответ

\(F = \dfrac{\sqrt{3}}{72}\,\bigl(5\rho_0 + 11\rho_1\bigr)\,g H^3\).

Решение

Половинка конуса плавает, и суммарная сила давления жидкости на неё направлена по вертикали, а горизонтальные составляющие в сумме дают нуль. Тогда сила давления на боковую поверхность конуса равна силе давления на треугольник — сечение конуса. Итоговая горизонтальная составляющая — это сила давления воды на вертикальный треугольник.

Конус погружён верхней частью в масло, нижней — в воду. Суммарную силу давления можно считать как сумму силы давления на исходный конус, целиком находящийся в воде, и силы давления на верхнюю часть конуса, которая эффективно погружена в жидкость плотности \(\rho_1 - \rho_0\); при этом нужно учесть, что верхняя часть конуса не погружена в воду.

Давление линейно зависит от глубины, поэтому сила давления на фигуру совпадает с вычислением центра масс фигуры: \(F = \rho g\, y_{\text{ц.м.}}\, S\), где \(y\) отсчитывается вниз от верхней точки фигуры. Для треугольника с высотой \(h\) и стороной \(a\) центр масс находится на расстоянии \(\frac{2}{3}h\) от вершины, и \[F = \rho g\cdot\frac{2}{3}h\cdot\frac{1}{2}ah = \frac{1}{3}\rho g a h^2.\] Учтём также масло, создающее дополнительное давление на нижнюю часть треугольника; его эффект заменён якобы имеющейся там водой, поэтому добавляется \(F_{\text{доб.}} = \frac{\sqrt{3}}{8}(\rho_1 - \rho_0) g H^3\). Итоговая сила давления \[F = \sqrt{3}\,\rho_0 g H^3\left(\frac{2}{9} - \frac{1}{36} - \frac{1}{8}\right) + \sqrt{3}\,\rho_1 g H^3\left(\frac{1}{36} + \frac{1}{8}\right) = \frac{\sqrt{3}}{72}\bigl(5\rho_0 + 11\rho_1\bigr) g H^3.\]

Ответ

Коэффициент трения в диапазоне от \(0{,}15\) до \(0{,}4\) (по критериям оценивания).

Решение

I способ. Установим брусок вертикально и подействуем на него горизонтальной силой на высоте \(h\) от поверхности стола, постепенно наращивая усилие. В зависимости от высоты приложения силы брусок либо начнёт скользить по столу, либо начнёт опрокидываться, вращаясь относительно точки \(O\) (ребра бруска). Из условий на силы и на моменты сил относительно точки \(O\) получаем на границе между смещением и опрокидыванием \[\mu = \frac{d}{2h}.\] Погрешность метода главным образом вызвана неточностью определения высоты приложения силы, \(\delta\mu = \delta h\).

II способ. При одном и том же грузе сила трения достигает максимального значения \(F_{тр} = \mu N\), и силы, действующие на брусок, уравновешены при двух углах \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\). Меньший угол \(\alpha_1\) определяют по моменту начала движения бруска, постепенно поднимая блок из положения, когда нить горизонтальна; больший угол \(\alpha_2\) — по моменту начала движения, перемещая блок горизонтально из положения, когда нить вертикальна. Условие равновесия бруска: \(F\cos\alpha = \mu N\), \(F\sin\alpha + N = Mg\); отсюда \(F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = \mu M g\). Сила \(F = mg\) одна и та же для обоих углов, значит \(\cos\alpha_1 + \mu\sin\alpha_1 = \cos\alpha_2 + \mu\sin\alpha_2\), откуда \[\mu = \frac{\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1}{\sin\alpha_1 - \sin\alpha_2}.\] Оценку погрешности можно выполнить методом образования выборки, например, рассчитав \(\mu\) по каждой паре углов и найдя СКО.

III способ. С помощью уравновешивания на линейке найдём отношение масс бруска и груза. Масса груза недостаточна, чтобы заставить брусок двигаться. Отклоняя груз от вертикали, заставим его совершать движение по окружности. Сила натяжения нити в нижней точке \(T = mg + \frac{mv^2}{l}\); из закона сохранения энергии \(v^2 = 2gl(1 - \cos\alpha)\). Тогда \[F_{тр} = \mu M g = T = mg(3 - \cos\alpha), \qquad \mu = \frac{m}{M}(3 - \cos\alpha).\]

Подбирая минимальный угол, при котором при прохождении нижней точки траектории грузом брусок начнёт двигаться, можно определить коэффициент трения.

Решение

Одним из возможных (и одним из наиболее точных) решений является определение угла полного внутреннего отражения от границы раздела вода — воздух. По закону Снеллиуса \(n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta\). При предельном угле \(\beta = \frac{\pi}{2}\), \(\sin\beta = 1\), \(n_2 = 1\) (воздух), откуда \[n_1 = \frac{1}{\sin\alpha}.\] Меняя угол вхождения луча в кювету и фиксируя максимальный угол, при котором ещё происходит выход луча из воды, получаем значения показателя преломления.