Санкт-Петербургская, 2017/18, заключительный этап, 7 класс

Пусть доля работ с нулём равна \(\alpha\). Запишите среднее время проверки одной работы и средний расход чернил на одну работу через \(\alpha\).

\(0{,}8\).

Среднее время проверки одной работы \[T = \frac{1}{5}\cdot 0\ \text{c} + \alpha\cdot 20\ \text{c} + \left(\frac{4}{5} - \alpha\right)\cdot 100\ \text{c}.\] По аналогии средний расход чернил на одну работу \[P = \frac{1}{5}\cdot 0{,}5\ \text{см} + \alpha\cdot 2\ \text{см} + \left(\frac{4}{5} - \alpha\right)\cdot 2{,}5\ \text{см}.\] Из первого уравнения при \(T = 64\) с находим \(\alpha = \dfrac{80 - T}{80} = \dfrac{1}{5}\), тогда \(P = 2\) см. За 1000 работ расход составит \(L = 2000\) см \(= 20\) м, в ручке останется \(80\) м, то есть \(0{,}8\) от первоначального количества.

Какую долю объёма бочки занимают большие камни, если 13 литров воды заполнили весь свободный объём? Подумайте, зависит ли эта доля от размера шариков и объёма сосуда.

\(9{,}6\) л.

Из условия ясно, что камни занимают \(\eta = 74\%\) объёма сосуда. Если уменьшить объём сосуда и объём каждого шарика в 100 раз, доля \(\eta\) не изменится. Можно объединить 100 маленьких сосудов в один большой, и доля, занимаемая камнями, снова будет равна \(\eta\). Значит, доля \(\eta\) не зависит от объёма системы и от размера камней, лишь бы размеры сосуда были много больше размеров камней.

Тогда промежутки между большими камнями являются сосудами для маленьких камушков, и они вытеснят из них такую же долю \(\eta\) воды. Выльется \[V = 0{,}74\cdot 13\ \text{л} \approx 9{,}6\ \text{л}.\]

Периметр квадрата — это путь, который нужно пробежать. Сравните путь, пройденный за первые 3 часа, и путь за оставшиеся 21 час при половинной скорости.

\(\approx 0{,}317\); точно \(\left(\dfrac{9}{16}\right)^2\).

Пусть сначала человек бежал со скоростью \(v\). Тогда периметр запланированного квадрата равен \(24v\), сторона \(6v\), площадь \(36v^2\). После 3 часов он пробежал \(3v\) и далее бежит со скоростью \(v/2\) в течение 21 часа, то есть проходит ещё \(10{,}5v\). Периметр нового квадрата равен \(3v + 10{,}5v = 13{,}5v\), сторона \(3{,}375v\), площадь \(\approx 11{,}4v^2\). Отношение площадей \[\frac{11{,}4\,v^2}{36\,v^2} \approx 0{,}317.\] Точный ответ: \(\left(\dfrac{13{,}5}{24}\right)^2 = \left(\dfrac{9}{16}\right)^2\).

Расход дров за все дни — это площадь под графиком \(Q(t)\). Поскольку \(Q\) не убывает, график лежит внутри прямоугольников, которые задают измеренные точки. Найдите две крайние линии, дающие минимальную и максимальную площадь.

Максимум \(23\) м\(^3\), минимум \(14\) м\(^3\).

Поскольку расход с каждым днём не убывал, график \(Q(t)\) идёт вправо и вверх, проходя через заданные точки; значит, он лежит внутри прямоугольников, ограниченных горизонталями и вертикалями через известные точки. Количество дров — площадь под графиком, аналогично пути под графиком скорости. Из всех возможных линий нужно выбрать две, дающие максимальную и минимальную площадь; это линии-границы прямоугольников.

Для максимального расхода \[P_\text{max} = (0{,}1\cdot 20 + 0{,}2\cdot 30 + 0{,}3\cdot 10 + 0{,}4\cdot 30)\ \text{м}^3 = 23\ \text{м}^3.\] Для минимального расхода \[P_\text{min} = (0{,}1\cdot 30 + 0{,}2\cdot 10 + 0{,}3\cdot 30)\ \text{м}^3 = 14\ \text{м}^3.\]

Каждый завязанный узелок укорачивает уже пройденный отрезок верёвки на длину узелка. Запишите для одинарных и двойных узелков, что истинное расстояние за 100 с равно измеренному плюс укорочение, и решите систему, исключив длину узелка.

\(v = 1{,}5\) мм/с.

Измеренные Мишей скорости различаются, хотя улитка двигалась равномерно, значит, ошибка связана с завязыванием узелков: при завязывании очередного узелка уже пройденный кусок веревки сокращается на длину узелка \(x\), и измеренное расстояние меньше действительного.

Истинное расстояние за 100 с: \(v\cdot 100\,\text{с}\). Для одинарных узелков оно равно \(v_1\cdot 100\,\text{с} + x\), для двойных — \(v_2\cdot 100\,\text{с} + 2x\), где \(v_1 = 1{,}3\) мм/с, \(v_2 = 1{,}1\) мм/с. Решая систему, исключая \(x\), получаем \[v = 1{,}5\ \text{мм/с}.\]

Запишите условие равновесия каждого поршня отдельно: для верхнего — сила пружины и разность давлений; для нижнего — ещё вес и давление столба воды высотой \(l\). Исключите давление \(p\) на уровне верхнего поршня.

\(l = 10\) см.

Для верхнего поршня действуют сила упругости \(kl\) и сила давления \((p_0 - p)S_2\), где \(p\) — давление воды на уровне верхнего поршня: \[kl = (p_0 - p)S_2.\] Для нижнего поршня добавляются сила тяжести \(mg\), а давление снизу равно \(p + \rho g l\): \[kl = (p_0 - p - \rho g l)S_1 + mg.\] Исключая \(p_0 - p = kl/S_2\) из второго уравнения, получаем \[l = \frac{mg}{k\left(1 - \dfrac{S_1}{S_2}\right) + \rho g S_1}.\] Подставляя \(m = 1\) кг, \(g = 10\) Н/кг, \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), \(S_1 = 0{,}015\) м\(^2\), \(S_2 = 0{,}0075\) м\(^2\), \(k = 50\) Н/м: \[l = \frac{1\cdot 10}{-50 + 150}\ \text{м} = 0{,}1\ \text{м} = 10\ \text{см}.\]

Масса снега на квадратном метре равна площади под графиком плотности от глубины. Постройте график плотности по глубине и найдите высоту покрова, при которой эта площадь равна полной массе.

\(30\) см.

Плотность у поверхности нулевая и линейно растёт с глубиной, поэтому график плотности — прямая, а масса снега на квадратном метре равна площади под графиком. Перейдя к метрам, получаем \(\rho = 1000\,x\) кг/м\(^3\), где \(x\) — глубина в метрах. Если глубина покрова \(x\), то его масса на квадратный метр \[\int_0^{x} 1000\,x'\,dx' = 500\,x^2 \ \text{кг/м}^2.\] За первый день выпало \(20\) кг, за второй — ещё \(25\) кг, итого \(45\) кг на квадратный метр. Тогда \[45 = 500\,x^2 \quad\Rightarrow\quad x = 0{,}3\ \text{м} = 30\ \text{см}.\]

Найдите массу и объём куска шоколада без пузырьков: его плотность можно определить, растопив шоколад и измерив силу Архимеда. Затем по массе целой шоколадки найдите объём чистого шоколада и вычтите его из полного объёма.

На электронных весах измеряют массу целой шоколадки. Отрезают от неё длинный кусок, который свободно входит в измерительный цилиндр, и измеряют его массу. Наливают в цилиндр холодную воду, помещают кусок в цилиндр; так как пористая шоколадка плавает, палочкой аккуратно погружают её под воду и измеряют объём куска вместе с пузырьками. Зная массу и объём куска, находят объём всей шоколадки.

Растапливают шоколад на водяной бане и из растопленного шоколада делают кусочек без пузырьков. Измеряют его массу, погружают в воду на нитке и измеряют объём по величине силы Архимеда (можно также измерить объём напрямую цилиндром, но этот способ менее точен). Получают плотность шоколада без пузырьков, приблизительно равную \(1{,}2\) г/см\(^3\).

Далее по плотности шоколада без пузырьков и массе целой шоколадки вычисляют чистый объём шоколада и объём пузырьков как разность между объёмом всей шоколадки и чистым объёмом шоколада.