зад 1 Кафельный цветок
Эдуард занимался ремонтом в ванной, когда ему в голову пришла идея: собрать «цветок» из кафельной плитки. Для этого он положил на пол одну плитку, на неё ещё четыре, которые образуют квадрат, повёрнутый относительно первой на \(45^\circ\), и придавил эту конструкцию сверху стопкой плиток, которые расположены так же, как и самая первая (см. рис.). Какое минимальное количество плиток должно быть в стопке, чтобы система была устойчива? Считайте, что все плитки одинаковы, и масса плитки равномерно распределена по площади.
▶ПодсказкаСкрыть
Какие силы действуют на одну плитку «цветка», если сверху ничего нет? Где проходит ось рычага и где находится центр масс плитки? Запишите правило рычага относительно точки опоры для одной плитки.
▶ОтветСкрыть
Потребуется \(N_{\min}=2\) плитки: из \(N\ge 4(\sqrt2-1)\approx 1{,}7\) следует, что в стопке должно быть не меньше двух плиток.
▶РешениеСкрыть
Плитка, входящая в «цветок», представляет собой рычаг с точкой опоры в \(A\). Когда сверху ничего нет, на плитку действует лишь сила тяжести, приложенная к центру масс \(O\), который находится в центре квадрата. Это единственная сила, действующая на плитку, а раз точка её приложения находится вне опоры, «цветок» разваливается.
Пусть сверху положена стопка из \(N\) плиток, масса одной плитки \(m\). Запишем правило рычага относительно точки \(A\) для одной из плиток «цветка» (из симметрии следует, что каждую плитку «цветка» уравновешивает четверть суммарной силы тяжести стопки): \[l_1\cdot\tfrac14 Nmg \ge l_2\cdot mg .\] Отсюда \(N\ge 4\,\dfrac{l_2}{l_1}\). Из геометрии: \(l_1+l_2=\dfrac{\sqrt2}{2}L\) (половина диагонали квадрата), \(l_1=\dfrac12 L\), поэтому \(l_2=\dfrac12(\sqrt2-1)L\), где \(L\) — сторона плитки. Таким образом \(N\ge 4(\sqrt2-1)\approx 1{,}7\), значит, чтобы уравновесить систему, потребуется как минимум две плитки.
Ответ: потребуется хотя бы 2 плитки.
зад 2 Нанороботы
Ткань сделана из белых ниток, которые образуют треугольную сетку (см. рис.), с длиной ребра \(0{,}5\) мм. Из некоторой точки в начальный момент времени начинает движение во все стороны очень большое количество нанороботов. Наноробот движется вдоль нитки до точки пересечения с другой ниткой со скоростью \(0{,}1\) мм/с. В каждой точке пересечения наноробот случайным образом меняет направление и продолжает движение. При движении наноробот перекрашивает нить в чёрный цвет. Наблюдатель не видит отдельных нитей, но видит, как расползается тёмное пятно на ткани. Какова форма этого пятна и какова его площадь через 3 часа после начала расползания? Считайте, что нанороботы в процессе движения не мешают друг другу.
Примечание: площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac{\sqrt3}{4}a^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пятно растёт каждые 5 с, когда роботы доходят до узлов сетки. Какую фигуру образуют самые удалённые роботы? На сколько увеличивается её сторона за каждый такой шаг?
▶ОтветСкрыть
Пятно имеет форму шестиугольника; через 3 часа его сторона \(L\approx 1\) м, площадь \(S\approx 3\) м\(^2\).
▶РешениеСкрыть
Так как длина стороны треугольника равна \(0{,}5\) мм, а скорость роботов \(0{,}1\) мм/с, то «картинка» будет меняться каждые 5 с, когда роботы доходят до узлов сетки. Рассмотрим положение роботов в начальный момент времени, через 5 с и через 10 с после начала движения. Важно заметить, что следует рассматривать только «максимально удалённых роботов»: по любому из возможных путей пройдёт хотя бы один робот, то есть все рёбра на этом пути окажутся покрашенными.
Получившаяся фигура — шестиугольник, длина стороны которого за каждые 5 с увеличивается на \(a=0{,}5\) мм. Таким образом, длина ребра шестиугольника \[L=\frac{a\cdot t}{5\ \text{с}} .\] Через 3 часа (\(t=10\,800\) с) \[L=\frac{0{,}1\ \text{мм}}{\text{с}}\cdot 10\,800\ \text{с}\approx 1\ \text{м}.\] Площадь шестиугольника со стороной \(L\) можно найти, разбив его на шесть равносторонних треугольников: \[S=6\cdot\frac{\sqrt3 L^2}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}L^2\approx 3\ \text{м}^2 .\] Заметим, что на самом деле рёбра, находящиеся на сторонах шестиугольника, не будут покрашены. Однако нас интересует столь большое время, что этим фактом можно пренебречь.
Ответ: площадь пятна составит \(3\) м\(^2\).
зад 3 Масло и вода
Сосуд разделён на два одинаковых колена, правое заполнено водой, а левое — маслом и водой. На поверхность воды в правом колене аккуратно кладут тонкий массивный поршень, и масло начинает переливаться в правое колено. Какая масса должна быть у поршня, чтобы после достижения равновесия он оказался ровно посередине между нижней и верхней границами масла в левом колене? Объём масла \(1\) л, плотность воды \(1\) г/см\(^3\), плотность масла \(0{,}8\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала найдите, как соотносятся высоты масла и воды в левом колене до опускания поршня. Потом учтите, что объём жидкости сохраняется, и запишите равенство давлений на уровне границы масло—вода.
▶ОтветСкрыть
\(M=\dfrac{3\rho_м-2\rho_в}{5}\,HS=80\) г.
▶РешениеСкрыть
Пусть высота столба масла в левом колене до того, как положили поршень, равна \(H\), а разность высот в левой и правой частях сосуда — \(h\). Запишем равенство давлений в левом и правом колене на уровне раздела масло—вода: \[\rho_м gH=\rho_в g(H-h),\] отсюда уровни масла и воды соотносятся как плотности: \[\frac{H-h}{H}=\frac{\rho_м}{\rho_в}=\frac45,\qquad h=\frac15 H .\]
Поршень создаёт дополнительное давление на воду, поэтому масло начнёт переливаться через перегородку и в итоге окажется справа над поршнем. Поршень кладут медленно, значит, можно считать, что в течение всего времени масло в левом колене доходит до края. Суммарный объём жидкости в системе не изменился, поэтому разность высот между левым и правым коленами по-прежнему равна \(h\). Так как поршень находится посередине уровня масла, высота масла в правом колене равна \(\dfrac{l}{2}-h\). Так как левая и правая части сосуда имеют одинаковую площадь, из сохранения объёма масла: \[l+\Bigl(\frac{l}{2}-h\Bigr)=H .\] Подставив \(h=\frac15H\), получим \(\frac32 l=\frac65 H\), откуда \(l=\frac45 H\).
Пусть масса поршня равна \(M\), а площадь сечения левой (а значит, и правой) части сосуда равна \(S\). Тогда равенство давлений на уровне \(A\) записывается как: \[\rho_м gl=\rho_в g\frac{l}{2}+\rho_м g\Bigl(\frac{l}{2}-h\Bigr)+\frac{Mg}{S}.\] Выразив \(l\) и \(h\) через \(H\), получим \[\frac{M}{S}=\rho_м\Bigl(\frac45H-\frac25H+\frac15H\Bigr)-\rho_в\cdot\frac25H =\frac{3\rho_м-2\rho_в}{5}\,H,\] откуда \[M=\frac{3\rho_м-2\rho_в}{5}\,HS .\] Величина \(HS\) — объём всего масла в системе, \(1\) л. Подставив численные значения, \[M=\frac{3\cdot 0{,}8\ \text{г/см}^3-2\cdot 1\ \text{г/см}^3}{5}\cdot 1\ \text{л}=80\ \text{г}.\] Ответ: масса поршня должна быть равна \(80\) г. Масло переливается — да.
зад 4 Снежок и фонарь
Федя хотел попасть снежком в лампу уличного фонаря, но недокинул, и снежок приземлился у самого основания фонарного столба. Пока снежок летел, Федя успел заметить, что максимальная высота подъёма снежка во столько же раз меньше высоты столба, во сколько раз дальность полёта снежка меньше пути его тени. Считая, что Федя бросает снежки почти от уровня земли, определите место на столбе, где находится лампа фонаря.
▶ПодсказкаСкрыть
Тень движется сначала от столба, потом к нему; точка разворота соответствует моменту, когда лучи идут по касательной к траектории снежка. Где в этот момент находится тень относительно точки броска?
▶ОтветСкрыть
Фонарь находится на высоте \(4\) м от земли.
▶РешениеСкрыть
Поймём, как движется тень. Закрепим фонарь в некоторой точке столба, но выше верхней точки траектории снежка, иначе тень уйдёт на бесконечность. Будем отмечать положения тени при различных положениях снежка. Сначала тень движется от столба, затем — к нему. Точке разворота соответствует момент, когда снежок летит прямо на фонарь, т.е. когда лучи света идут по касательной к траектории снежка.
Пусть \(H\) — высота столба, \(h\) — максимальная высота подъёма снежка, \(L\) — дальность полёта снежка, а \(l\) — путь тени при её движении от столба. Путь тени складывается из двух частей: \[s=L+2l .\] По условию \[\frac{L}{s}=\frac{h}{H}=\frac{2{,}5\ \text{м}}{5\ \text{м}}=\frac12 .\] Подставляем \(s=L+2l\) и находим \(l\): \[\frac{L}{L+2l}=\frac12\ \Rightarrow\ l=\frac{L}{2}=\frac{5\ \text{м}}{2}=2{,}5\ \text{м}.\] Отмечаем точку разворота тени на расстоянии \(l\) справа от точки броска и проводим через неё касательную к траектории снежка. Касательная пересечёт столб в точке крепления фонаря. Получаем, что высота крепления фонаря равна \(4\) м.
Ответ: фонарь находится на высоте \(4\) м от земли.
зад 5 Ледовая арена
Для проведения концерта на ледовой арене на поверхность льда кладут специальный ковёр. Перед началом концерта температура на стадионе была равна \(+10\,^\circ\text{C}\), и организаторы решили её повысить. Оказалось, что поднять температуру выше \(+15\,^\circ\text{C}\) не получается — лёд начинает таять. Во сколько раз толще следует сделать ковёр, чтобы температуру в зале можно было поднять до \(20\,^\circ\text{C}\) и лёд бы при этом не растаял? Считайте, что лёд охлаждают с постоянной мощностью, и что поток тепла через ковёр пропорционален разности температур на его границах.
▶ПодсказкаСкрыть
Какую максимальную разность температур выдерживает ковёр без таяния льда? Что произойдёт с разностью температур, если ковёр сделать в \(k\) раз толще при том же потоке тепла?
▶ОтветСкрыть
Ковёр нужно сделать толще в \(\dfrac43\) раза.
▶РешениеСкрыть
Пусть исходно ковёр имел толщину \(d\). По условию при достижении температуры в помещении \(t_1=15\,^\circ\)C лёд под ковром начал таять, а значит, в этот момент его температура достигла \(t_0=0\,^\circ\)C. Мощность потока тепла через ковёр (толщины \(d\)) пропорциональна разности температур на поверхностях. Пусть коэффициент пропорциональности равен \(\alpha\), тогда мощность потока \[P=\alpha\,\Delta t_1=\alpha\,(t_1-t_0).\] Посмотрим, как изменится разность температур между верхней и нижней поверхностями ковра, если увеличить его толщину в \(k\) раз, а поток оставить таким же. Мысленно разделим новый «толстый» ковёр на \(k\) слоёв. Каждый такой слой имеет толщину \(d\) и коэффициент \(\alpha\). Любой слой пропускает фиксированный поток тепла \(P\), иначе температура менялась бы и равновесия не было. Значит, на границах каждого слоя разность температур равна \(\Delta t_1=15\,^\circ\)C, а для всего ковра \[\Delta t_2=k\,\Delta t_1 .\] Минимальная толщина ковра будет при условии, что разность температур между границами минимальна. Так как в помещении температура должна быть \(t_2=20\,^\circ\)C, а у льда температура не больше \(t_0=0\,^\circ\)C, минимальная разность \(\Delta t_2=t_2-t_0\). Тогда \[k=\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{20\,^\circ\text{C}}{15\,^\circ\text{C}}=\frac43 .\] Нецелое число решается так: разделить исходный ковёр на три слоя, на каждом из которых температура падает на \(5\,^\circ\)C, и мысленно положить четыре слоя толщины \(d/3\).
Ответ: нужно увеличить толщину ковра в \(\dfrac43\) раза.
зад 6 О, капитан, мой капитан
После прибытия в порт капитан корабля обнаружил, что на графике зависимости расхода топлива от времени стёрлись оси (см. рис.). Однако в судовом журнале было указано, что расход не убывал на протяжении пути, и что за первую треть времени была использована одна шестая часть от всего потраченного топлива. Какая часть топлива была потрачена за последнюю треть времени?
Примечание: график состоит из 6 четвертей окружностей одинакового радиуса (жирная линия), точками на рисунке обозначены центры соответствующих окружностей.
▶ПодсказкаСкрыть
Любая прямая, параллельная оси расхода, пересекает график не более одного раза, и любая прямая, параллельная оси времени, тоже. Какое направление осей это однозначно задаёт? После этого определите положение нуля по оси расхода.
▶ОтветСкрыть
За последнюю треть времени было сожжено половина всего топлива.
▶РешениеСкрыть
Сначала восстановим оси на графике зависимости расхода \(Q\) от времени \(t\). В каждый момент расход топлива известен, значит, любая прямая, параллельная оси \(Q\), не может пересекать график более одного раза. Аналогично, раз расход при движении не убывал, любая прямая, параллельная оси времени, пересекает график не более чем в одной точке.
Эти условия однозначно задают направление осей (график составлен из четвертей окружностей): если хотя бы немного повернуть оси против часовой стрелки, ось времени пересечёт график второй раз; если повернуть по часовой стрелке, расход в точках, где кончается первая, третья или пятая четверть окружности, будет не определён.
После восстановления направления осей остаётся определить положение нуля. Количество топлива, израсходованное за некоторый промежуток времени, равно площади под графиком. Пусть площадь каждого из двух одинаковых кусочков из двух четвертей окружности («штрихованные» участки) равна \(S\); тогда площадь «квадратов» из двух таких кусочков равна \(2S\). Осталось три участка, характеризующих положение графика относительно нуля; пусть площадь каждого равна \(X\). Тогда полный расход \[Q_{\text{общ}}=3S+3\cdot 2S+3X=9S+3X .\] По условию за первую треть времени сожжена шестая часть топлива: \[\frac{S+X}{9S+3X}=\frac16 ,\] откуда \(X=S\). Тогда за последнюю треть времени сожжено \[\frac{5S+X}{9S+3X}=\frac{6S}{12S}=\frac12\] всего топлива.
Ответ: за последнюю треть времени была сожжена половина топлива.
зад 7 Курсор
Артём и Борис утащили папин ноутбук, но не смогли договориться, в какую игру будут играть. Чтобы довести курсор до иконки своей игры, Артём использует тачпад, а Борис — мышь, подключённую к ноутбуку. Если бы работал только тачпад, курсор бы дошёл до иконки А за \(2\) с, но мышь и тачпад работают одновременно, поэтому мальчики довели курсор до иконки Б за \(4\) с. До какой иконки дошёл бы курсор и за какое время, если бы работала только мышь? Считайте, что курсор доходит до иконки тогда, когда проходит через её центр, стартовое положение курсора указано на рисунке.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорости складываются векторно. Попробуйте найти вектор скорости от мыши за 2 с, если известны перемещения от тачпада за 2 с и суммарное перемещение за 2 с.
▶ОтветСкрыть
Курсор дойдёт до иконки В (точки, которой на рисунке условия нет, см. решение) за \(1\) с.
▶РешениеСкрыть
Скорость и перемещение связаны как \(\vec s=\vec v\,t\), поэтому дальше будем рассуждать в терминах скоростей. Скорость, которую сообщает курсору тачпад, направлена горизонтально вправо и равна \(\vec v_т\). Скорость курсора под действием мыши и тачпада направлена к иконке Б и равна \(\vec v_{м+т}\).
Чтобы понять, как складываются скорости курсора от мыши и тачпада, рассмотрим его перемещение за некоторый промежуток времени, например \(2\) с. С одной стороны, курсор переместился на 17 клеток по направлению к иконке Б в точку Б′ (на 15 клеток по горизонтали и на 8 клеток по вертикали). С другой стороны, это перемещение можно разложить на перемещение от мыши и перемещение от тачпада. Перемещение от тачпада составляет 21 клетку по горизонтали в точку А. Значит, за \(2\) с мышь должна переместить курсор из точки А в точку Б′, и скорость \(\vec v_м\), которую сообщает курсору мышь, определяется этим перемещением.
Отложим эту скорость от начального положения курсора: под действием только мыши курсор дошёл бы до иконки В. Иконка оказывается ровно посередине перемещения, вызванного мышью, поэтому, чтобы её достичь, потребуется половина времени, в терминах которого рисовались векторы. Таким образом, курсор окажется на иконке В через \(1\) с.
Ответ: курсор дойдёт до иконки В за \(1\) с.
зад 8 Картофельная батарейка
Оборудование: картошка, медные и оцинкованные пластины, соль, лимонная кислота, мультиметр с проводами, светодиод, линейка, миллиметровка, тарелка и бумажные салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте, канцелярский нож (по требованию) и овощерезка для нарезания картошки кружочками заданной толщины (по требованию).
Часть 1 (12 баллов). Если подсоединить к картофелине два металлических электрода из разных материалов, между электродами возникает разность потенциалов. В первой части работы вам предлагается исследовать это явление.
Измерьте зависимость напряжения холостого хода и силы тока короткого замыкания для картофельной батарейки от расстояния между электродами (3–5 точек). В этом пункте площадь электродов должна оставаться постоянной.
При постоянном расстоянии между электродами измерьте зависимость напряжения холостого хода и силы тока короткого замыкания от площади электродов (3–5 точек).
Попробуйте объяснить полученные зависимости и постройте графики полученных зависимостей в удобных координатах.
Для фиксированных значений расстояния между электродами и площади электродов сравните параметры батарейки из обычной картошки, солёной картошки и картошки, натёртой лимонной кислотой.
Часть 2 (3 балла). При помощи выданного оборудования сделайте батарейку для питания светодиода. Подробно опишите конструкцию вашей батарейки. Убедитесь, что Ваша батарейка способна зажечь светодиод (достаточно, чтобы вы могли увидеть слабое свечение светодиода). Напишите в отчёте, каким цветом светится светодиод. Измерьте напряжение на светящемся светодиоде и протекающую через него силу тока.
Примечание. Выданный вам прибор (мультиметр) предназначен для измерения напряжения, силы тока и электрического сопротивления. Выбор измеряемой величины производится при помощи центральной ручки прибора, стрелочка на одном из концов ручки показывает на выбранный режим измерений. У мультиметра есть несколько режимов для измерения напряжения и силы тока, которые отличаются пределом измерений (то есть максимальным значением измеряемой величины). В режиме измерения напряжения величина предела измерений указана в вольтах, если предел обозначается просто числом, или в милливольтах, если после числа стоит символ m. Если мультиметр показывает 1 в левой части экрана, это означает, что измеряемая величина превышает предел измерений и нужно переключить прибор в режим с более высоким пределом. Провода должны быть подключены к нижнему гнезду мультиметра (клемма минус, обозначена значком заземления) и к среднему гнезду (клемма плюс). Верхнее гнездо предназначено для измерения больших токов и в настоящей работе не используется.
▶РешениеСкрыть
Нарезаем картошку тонкими ломтиками, используя овощерезку. Зажимаем ломтик картошки между медной и цинковой пластинами, измеряем напряжение и силу тока.
Для измерения зависимости от толщины складываем вместе несколько ломтиков. Для различного количества ломтиков картошки между электродами измеряем параметры батарейки. При этом напряжение холостого хода не меняется, сопротивление картошки растёт прямо пропорционально количеству ломтиков, поэтому сила тока изменяется обратно пропорционально количеству ломтиков.
Измеряем зависимость параметров батарейки от площади электрода: для этого берём один ломтик и разрезаем его, уменьшая площадь. Напряжение остаётся постоянным, сила тока пропорциональна площади ломтика.
Берём целый ломтик и натираем солью: сила тока оказывается значительно больше, напряжение практически не изменяется. Также натираем ломтик картошки лимонной кислотой и наблюдаем увеличение тока. Полезно немного подождать, чтобы картошка пропиталась солью или лимонной кислотой.
Нам выдано три пары электродов, поэтому делаем три батарейки из одного ломтика картошки с лимонной кислотой максимальной площади, соединяем батарейки разными пластинами, получаем батарейку с тройным напряжением. Реально напряжение меньше, но получить порядка \(1{,}8\)–\(2\) В и силу тока около \(10\)–\(15\) мА реально. От этой батарейки зажигаем светодиод, он светится красным светом.
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2017/18, заключительный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.