Санкт-Петербургская, 2018/19, отборочный этап, 7 класс

Подсказка

Найдите минимальное время, за которое автомобиль может пройти каждый из двух участков между камерами, не нарушая ограничений скорости. Сравните его с измеренным интервалом.

Ответ

Автомобиль наверняка превышал скорость на отрезке между первой и второй камерами.

Решение

Минимальное время между первой и второй камерами достигается при движении с максимально разрешённой скоростью: \(60\) км/ч на отрезке \(AB\) (60 км) и \(90\) км/ч на половине отрезка \(BC\) (30 км): \[T_1 = \frac{60\text{ км}}{60\text{ км/ч}} + \frac{30\text{ км}}{90\text{ км/ч}} = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин}.\] Так как автомобиль проехал этот участок за 1 ч 10 мин, он наверняка нарушил правила на участке между первой и второй камерами.

Минимальное время между второй и третьей камерами: оставшиеся 30 км до точки \(C\) со скоростью \(90\) км/ч и 60 км до точки \(D\) со скоростью \(120\) км/ч: \[T_2 = \frac{30\text{ км}}{90\text{ км/ч}} + \frac{60\text{ км}}{120\text{ км/ч}} = 50 \text{ мин}.\] Так как автомобиль проехал участок между второй и третьей камерами за 60 мин, нельзя сказать, что он наверняка превышал скорость на этом отрезке.

Подсказка

Сравните, какой объём мыла тратится на один посетитель до первого разбавления и после каждого следующего разбавления.

Ответ

7 дней.

Решение

Изначально в бутылке только мыло, и каждый посетитель, выдавливая объём \(V\), тратит объём мыла \(V\). После первого разбавления смесь содержит мыло в доле \(1/3\), но посетители выдавливают втрое больший объём \(3V\). Значит, мыла они тратят снова \(V\), и расход мыла не изменился. После второго разбавления доля мыла равна \(1/9\), а выдавливаемый объём втрое больше предыдущего, то есть в 9 раз больше исходного; мыла снова тратится \(V\). Так же расход мыла не меняется и при любом числе разбавлений.

Значит, мыло закончится за то же время, что и без разбавления, то есть за неделю.

Подсказка

Сколько фонарей проходит через щель за одну секунду и сколько деревьев — за три секунды? Сравните эти числа.

Ответ

80 деревьев.

Решение

Мальчик всегда видит ровно три фонаря, поэтому, когда один фонарь исчезает из поля зрения, на его месте появляется следующий. Фонарь за одну секунду проходит щель, и за это время мальчик насчитывает 3 фонаря (не считая уже учтённого), то есть 3 фонаря в секунду.

Для деревьев картина та же, но процесс длится 3 секунды, а видно 4 дерева. Значит, мальчик насчитывает 4 дерева за 3 секунды.

Насчитав 180 фонарей, он затратил \(180/3 = 60\) секунд и за это время насчитал \(60 \cdot 4/3 = 80\) деревьев.

Подсказка

Пусть за время между выстрелами точка попадания сдвигается на \(x\), а поезд смещается на \(y\). Как расстояние между дырками зависит от \(x\) и \(y\) при движении в разные стороны?

Ответ

\(1{,}75\) м/с и \(3{,}25\) м/с.

Решение

Расстояние между всеми дырками одинаково, значит за время между выстрелами точка попадания сдвигается на постоянную величину \(x\). Тогда при стрельбе по неподвижному поезду расстояние между соседними дырками было бы равно \(x\).

Если поезд едет налево, расстояние между дырками складывается из \(x\) и пути \(y\), который проходит поезд за это время: \[x + y = 100~\text{см}.\] Если поезд едет направо, возможны два случая: \(y > x\) или \(y < x\). В первом случае \[x - y = 30~\text{см},\] во втором \[y - x = 30~\text{см}.\] В первом случае \(y = 35\) см, во втором \(y = 65\) см. Время между выстрелами \(t = 1/5\) с, поэтому скорость поезда \(v = y/t\) равна \(1{,}75\) м/с в первом случае и \(3{,}25\) м/с во втором.

Подсказка

Найдите скорость роста очереди на каждом участке графика, выразив её через число входящих и число спускающихся в минуту людей при каждом режиме.

Ответ

через \(2{,}5\) минуты.

Решение

Эскалатор можно рассматривать как два параллельных пути, по которым люди спускаются либо стоя, либо пешком. Пусть стоя спускается \(N\) человек в минуту, а пешком — \(M\) человек в минуту, причём \(M > N\). В стационарном режиме спускается \(N + M\) человек в минуту.

По графику скорость роста очереди на первом участке равна 10 человек в минуту, на втором — 40 человек в минуту. Если за минуту на станцию входит \(K\) человек, то на первом участке скорость роста очереди равна \(K - (N + M)\), а на втором, когда люди стоят с обеих сторон, — \(K - 2N\). Разность этих скоростей равна 30 человек в минуту, значит \(M - N = 30\) человек в минуту.

После двух минут люди идут пешком по обеим сторонам, спускается \(2M\) человек в минуту, и скорость роста очереди равна \(K - 2M\). Она на 30 человек в минуту меньше, чем на первом участке, поэтому равна \(-20\) человек в минуту.

По графику через 2 минуты в очереди 50 человек. Со скоростью 20 человек в минуту очередь сократится до нуля за \[t = \frac{50~\text{чел}}{20~\text{чел/мин}} = 2{,}5~\text{мин}.\]