Санкт-Петербургская, 2018/19, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Постройте графики координат бегунов и тренера от времени. Тренер на каждом интервале \(\Delta t\) бежит со скоростью, в \(\alpha\) раз меньшей скорости последнего стартовавшего бегуна.

Ответ

\(\alpha = \dfrac{137}{60} \approx 2{,}28\).

Решение

Обозначим длину дистанции за \(L\). Построим зависимости координат бегунов от времени. Точка \(O\) соответствует старту первого бегуна и тренера, а точка \(F\) — одновременному финишу всех спортсменов. Запишем скорости бегунов: \[v_1 = \frac{L}{5\Delta t},\quad v_2 = \frac{L}{4\Delta t},\quad v_3 = \frac{L}{3\Delta t},\quad v_4 = \frac{L}{2\Delta t},\quad v_5 = \frac{L}{\Delta t}.\] На графике показано, как двигался тренер относительно остальных бегунов. Его скорость в каждый момент времени была в \(\alpha\) раз меньше скорости последнего из уже стартовавших бегунов, значит первый промежуток времени \(\Delta t\) он бежал со скоростью \(v_1/\alpha\), второй — со скоростью \(v_2/\alpha\) и так далее. По условию тренер пробежал дистанцию \(L\): \[L = \frac{v_1}{\alpha}\Delta t + \frac{v_2}{\alpha}\Delta t + \frac{v_3}{\alpha}\Delta t + \frac{v_4}{\alpha}\Delta t + \frac{v_5}{\alpha}\Delta t = \frac{L}{5\alpha} + \frac{L}{4\alpha} + \frac{L}{3\alpha} + \frac{L}{2\alpha} + \frac{L}{\alpha}.\] Откуда находим \(\alpha\): \[\alpha = \frac15 + \frac14 + \frac13 + \frac12 + 1 = \frac{137}{60}.\]

Ответ: \(\alpha = \dfrac{137}{60} = 2{,}28\).

Подсказка

Правило рычага для линейки с грузами даёт отношение масс через отношение плеч. Плечи меняются, потому что точка касания смещается вдоль линейки на длину дуги цилиндра, по которой линейка покатилась без проскальзывания.

Ответ

\(M/m = 1{,}134\). Если найдено отношение массы меньшего груза к массе большего, то ответ \(0{,}882\).

Решение

Когда линейку с разными закреплёнными грузами ставят так, что её середина соприкасается с верхней точкой цилиндра, система не находится в равновесии. По правилу рычага более тяжёлый груз (массы \(M\)) не может быть уравновешен менее тяжёлым (массы \(m\)), потому что у обоих сил тяжести плечи равны половине длины линейки (\(L/2\)). Система будет в равновесии, когда линейка отклонится на некоторый угол \(\alpha\), и при этом точка соприкосновения линейки с цилиндром сместится на некоторое расстояние \(\Delta\) вдоль линейки. Тогда длина отрезка от точки соприкосновения до меньшего груза будет равна \(L/2 + \Delta\), а для большего — \(L/2 - \Delta\). По условию линейка лёгкая, поэтому по правилу рычага в равновесии \[\frac{Mg}{mg} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta} \quad\Rightarrow\quad \frac{M}{m} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta},\] где \(g\) — ускорение свободного падения. Для нахождения отношения масс осталось найти \(\Delta\).

По условию проскальзывания нет, а значит, при отклонении линейка не проскальзывает в точке соприкосновения с цилиндром. Тогда вдоль линейки точка соприкосновения переместится на то же расстояние, что и вдоль поверхности цилиндра. Это расстояние равно длине дуги сечения цилиндра, которую легко найти, зная из условия угол \(\alpha = 18^\circ\): \[\Delta = \frac{\alpha}{180^\circ}\,\pi r \approx 0{,}314~\text{см}.\] Теперь подставим полученное значение \(\Delta\) в уравнение для отношения масс и получим ответ \[\frac{M}{m} = \frac{5 + 0{,}314}{5 - 0{,}314} = 1{,}134.\] Примечание: более строго правило рычага для этой ситуации можно получить, введя ось \(OX\) вдоль линейки и ось \(OY\) перпендикулярно ей. Проекции сил тяжести грузов на ось \(OX\) действуют вдоль линейки и не могут приводить её к вращению вокруг точки соприкосновения с цилиндром. Тогда линейку можно рассмотреть как обычный рычаг, на который действуют проекции сил тяжести на ось \(OY\), с плечами \(L/2 + \Delta\) и \(L/2 - \Delta\). По правилу рычага \[\frac{Mg_y}{mg_y} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta} \quad\Rightarrow\quad \frac{M}{m} = \frac{L/2 + \Delta}{L/2 - \Delta},\] это выражение равносильно записанному выше, так как силы тяжести сонаправлены и \(\dfrac{Mg}{mg} = \dfrac{Mg_y}{mg_y}\).

Ответ: отношение массы большего груза к массе меньшего равно \(1{,}134\). Если найдено отношение массы меньшего груза к массе большего, то ответ \(0{,}882\).

Подсказка

Есть два режима работы котла: нагреватель работает постоянно, или он поддерживает предельную температуру. Выясните, какой из двух данных случаев относится к каждому режиму, прежде чем использовать зависимость температуры от числа людей.

Ответ

\(68{,}3^\circ\)C.

Решение

У котла есть два режима работы: 1) нагреватель работает постоянно, температура в котле меньше некоторого \(T_m\); 2) температура в котле равна \(T_m\), и нагреватель работает на поддержание этой температуры (непостоянно).

Рассмотрим работу котла в первом режиме. Мощность нагревателя \(P\) идёт на нагрев воды от температуры \(T_0\) до температуры \(T < T_m\). Если обозначить за \(\mu\) расход горячей воды в единицу времени на одного человека, то можно записать: \[P = N\mu c\,(T - T_0),\] где \(N\) — количество людей, одновременно принимающих душ, \(c\) — теплоёмкость воды. Выразим \(T\): \[T(N) = T_0 + \frac{P}{\mu c}\cdot\frac{1}{N} = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau}{N},\] где \(\tau\) — некоторая константа, не зависящая от количества людей. Теперь достаточно найти \(\tau\), чтобы определить температуру в котле, когда душ принимают 6 человек. Рассмотрим два случая, представленные в условии (\(N = 3\) и \(N = 7\)): \[T(3) = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau_1}{3} = 80^\circ\text{C} \quad\Rightarrow\quad \tau_1 = 210^\circ\text{C},\] \[T(7) = 10^\circ\text{C} + \frac{\tau_2}{7} = 60^\circ\text{C} \quad\Rightarrow\quad \tau_2 = 350^\circ\text{C}.\] Так как \(\tau_1 \ne \tau_2\), один из случаев соответствует режиму работы котла, при котором нагреватель поддерживает максимальную температуру (непостоянно). Ясно, что это случай \(N = 3\), так как ему соответствует бо́льшая температура: \[T_m = T(3) = 80^\circ\text{C}.\] Температура в случае \(N = 7\) меньше \(T_m\), значит этот случай соответствует режиму работы котла, при котором нагреватель работает постоянно. Следовательно, \(\tau = \tau_2 = 350^\circ\text{C}\).

Найдём температуру в котле, когда душ принимают 6 человек, считая, что нагреватель работает постоянно: \[T(6) = 10^\circ\text{C} + \frac{350^\circ\text{C}}{6} = 68\frac{1}{3}^\circ\text{C}.\] Это значение меньше \(T_m\), значит нагреватель действительно работает постоянно, и можно пользоваться полученной зависимостью \(T(N)\).

Ответ: когда душ принимают 6 человек, температура в котле равна \(68{,}3^\circ\)C.

Подсказка

Провода и кипятильник соединены последовательно. Через них течёт один и тот же ток, а напряжение на проводах — это разность напряжения станции и напряжения на кипятильнике.

Ответ

\(2\) Ом.

Решение

Эквивалентная электрическая схема: клеммы \(AD\) изображают подключение к электростанции, а отрезок \(BC\) соответствует кипятильнику. Кипятильник подключён к станции двумя проводами с равными сопротивлениями. Так как все отрезки цепи подключены последовательно, можно предложить эквивалентную схему, где провода представлены одним резистором с сопротивлением \(r\), равным суммарному сопротивлению проводов.

Из условия следует, что напряжение электростанции \(U_{AD} = 120\) В. Обозначим суммарное напряжение на проводах как \(U_L = U_{AB} + U_{CD}\). По закону о последовательном соединении напряжения на всех участках схемы складываются, то есть \[U_L + U_{BC} = U_{AD} \quad\Rightarrow\quad U_L = U_{AD} - U_{BC},\] где напряжение на кипятильнике \(U_{BC} = 100\) В. Данное выражение позволяет найти напряжение на проводах.

Из свойств последовательного соединения токи, текущие через провода и кипятильник, равны. Обозначим этот общий ток \(I\). Воспользуемся формулой для мощности \(P\), которая выделяется на кипятильнике: \[P = I\,U_{BC} \quad\Rightarrow\quad I = \frac{P}{U_{BC}}.\] Для определения сопротивления проводов воспользуемся законом Ома, так как известны ток \(I\) и напряжение \(U_L\): \[r = \frac{U_L}{I} = \frac{U_L\,U_{BC}}{P} = \frac{(U_{AD} - U_{BC})\,U_{BC}}{P} = 2~\text{Ом}.\] Примечание: сопротивление каждого из проводов равно \(1\) Ом, если они одинаковые, как это обычно и бывает. Ответ будет правильным в обоих случаях: два провода по \(1\) Ом или провода с суммарным сопротивлением \(2\) Ом. Примечание: правильное решение также может быть представлено только в виде численных расчётов, но с обоснованием приводимых действий.

Ответ: суммарное сопротивление проводов, которыми подключён дом Эдиссона, равно \(2\) Ом.

Подсказка

Сравните расстояния между соседними дырками. Разность расстояний между последовательными дырками одинакова и равна \(a\tau^2\), где \(\tau\) — интервал между выстрелами. По этому признаку восстановите порядок, в котором пули попали в стенку.

Ответ

\(1{,}5\) м/с\(^2\).

Решение

Будем следить за порядком появления дырок от пуль на поезде. Назовём дырки «последовательными», если они появились на поезде подряд, от двух последовательных выстрелов пулемёта.

Рассмотрим три последовательные дырки и расстояния между ними. Введём ось \(x\) слева направо вдоль поезда. По условию, если бы поезд не двигался, то расстояние между всеми парами последовательных дырок было бы одинаковым (обозначим его \(l\)). Но поезд движется. Пусть между выстрелами проходит время \(\tau\), за которое поезд (а потому и все готовые дырки) проезжает \(v\tau + \dfrac{a\tau^2}{2}\), где \(a\) — проекция ускорения поезда на ось \(x\), а \(v\) — проекция скорости. Из рисунка видно, что для последовательных дырок \[\Delta x = l - v\tau - \frac{a\tau^2}{2}.\] Рассмотрим три последовательные дырки. Обозначим разность координат первой и второй дырки за \(\Delta x_1\), второй и третьей — за \(\Delta x_2\), а скорости поезда в моменты появления первой и второй дырки — \(v_1\) и \(v_2\) соответственно. Тогда \[\Delta x_1 = l - v_1\tau - \frac{a\tau^2}{2}, \qquad \Delta x_2 = l - v_2\tau - \frac{a\tau^2}{2},\] \[\Delta x_1 - \Delta x_2 = (v_2 - v_1)\tau = a\tau^2.\] Значит, разность координат между последовательными дырками каждый раз уменьшается на одну и ту же величину \(a\tau^2\). Однако три крайних правых отверстия из условия имеют равные расстояния между собой, а потому данные нам дырки не могут быть последовательными слева направо. Поэтому поезд в какой-то момент стал ехать слишком быстро, и пулемёт стал «отставать»: часть дырок была сделана им при движении слева направо относительно поезда, а часть — справа налево. Значит, нужно восстановить порядок, в котором эти отверстия были оставлены пулемётом. Для удобства обозначим дырки буквами \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) слева направо.

Поймём, в каком порядке могли быть сделаны эти отверстия. Заметим, что \(D\) и \(E\) не могут быть последовательными (так как между \(E\) и \(F\) пусто, а в случае последовательных \(D\), \(E\) следующая пуля была бы после \(E\), но на расстоянии меньше двух клеток). По аналогичной причине не могли быть последовательными \(A\) и \(B\). Итак, если \(E\) и \(D\) не последовательные, то последовательны либо \(E\), \(F\), либо \(D\), \(F\).

1 случай. Последовательны \(E\), \(F\). Какой тогда другой сосед у отверстия \(E\)? Либо \(A\), либо \(B\), либо \(C\) (сосед \(E\) не может быть левее \(A\), так как \(A\), \(B\) не последовательны). Если \(A\), то \(a\tau^2 = 20\) кл., а тогда \(D\) быть не может (оно слишком близко). Если \(B\), то \(a\tau^2 = 14\) кл., и снова отверстие \(D\) не получается. Значит, \(C\); тогда \(a\tau^2 = 6\) кл., и получается правильная последовательность \(A\)–\(C\)–\(E\)–\(F\)–\(D\)–\(B\).

2 случай. Последовательны \(D\), \(F\). Какой тогда другой сосед у отверстия \(D\)? Либо \(A\), либо \(B\), либо \(C\). Если \(A\), то \(a\tau^2 = 16\) кл., а тогда \(E\) быть не может (опять же, слишком близко). Если \(C\), то \(a\tau^2 = 2\) кл., и справа от \(F\) должно быть отверстие на расстоянии двух клеток. Значит, \(B\); тогда \(a\tau^2 = 6\) кл., и получается правильная последовательность \(B\)–\(D\)–\(F\)–\(E\)–\(C\)–\(A\).

Осталось найти \(a\). По условию пулемёт делает 300 выстрелов в минуту, а потому \(\tau = \dfrac{60}{300} = 0{,}2\) с. Клетка имеет сторону 1 см, а потому \(a\tau^2 = 6\) см. Тогда \[a = \frac{0{,}06~\text{м}}{(0{,}2~\text{с})^2} = 1{,}5~\text{м/с}^2.\]

Ответ: ускорение равно \(1{,}5\) м/с\(^2\).