Санкт-Петербургская, 2018/19, заключительный этап, 11 класс

Сравните цикл с набором обратных циклов Карно: каждый участок изотермы \(T_0\) между адиабатами соответствует маленькому циклу с одним резервуаром.

\(T_0<\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{N}{\sum_i 1/T_i}\Bigr)=\dfrac{\overline{T}_{\text{гарм}}}{2}\), где \(\overline{T}_{\text{гарм}}\) — среднее гармоническое температур всех резервуаров.

Если бы был один резервуар, цикл был бы обратным циклом Карно. Для прямого цикла Карно \(Q_Н=A+Q_Х\) и \(Q_Х=Q_Н T_Х/T_Н\). В обратном цикле соотношения сохраняются. Продлим все адиабаты до изотермы \(T_0\): она делится на \(N\) частей \(A_1A_0,\ldots,A_NA_{N-1}\), и каждая часть соответствует маленькому циклу Карно с одним резервуаром. Пусть каждому резервуару передано тепло \(Q\), тогда полное тепло резервуарам \(Q_п=NQ\). Тепло, отобранное у окружающей среды на участке под изотермой \(T_i\), равно \(Q_i=QT_0/T_i\), а полное \[Q_о=QT_0\sum_i\frac{1}{T_i}.\] Условие \(Q_п>2Q_о\) даёт \[T_0<\frac{1}{2}\,\frac{N}{\sum_i 1/T_i}=\frac{\overline{T}_{\text{гарм}}}{2}.\]

Оптическая сила системы \(D=-2/R\) (система эквивалентна рассеивающей линзе с \(F=-R/2\), не зависящей от \(|n|\)). Изображение квадрата — трапеция, основания которой находятся на расстояниях \(|g_1|=R/3\) и \(|g_2|=\dfrac{R(R+a)}{3R+2a}\) от линз (мнимое изображение слева от линз), длины оснований \(l_1=a/3\) и \(l_2=\dfrac{aR}{3R+2a}\).

Для обычной тонкой линзы с \(n>1\) при слабых углах \(1/F=(n-1)/R\). Для линзы из метаматериала с \(n<-1\) по закону Снеллиуса получается рассеивающая линза с \[\frac{1}{|F|}=\frac{|n|+1}{R}.\] Пусть источник слева на расстоянии \(d>0\). Первая (рассеивающая) линза даёт мнимое изображение на расстоянии \(f>0\) слева от неё: \[\frac{1}{d}-\frac{1}{f}=-\frac{|n|+1}{R}.\] Вторая линза (собирающая, \(n>1\)) для этого изображения даёт \[\frac{1}{f}+\frac{1}{g}=\frac{n-1}{R}.\] Складывая, получаем \(\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{g}=-\dfrac{2}{R}\): система эквивалентна рассеивающей линзе с \(F=-R/2\) и оптической силой \(D=-2/R\), а \(g<0\) — изображение мнимое.

Изображение квадрата: для ближней стороны \(BC\) (\(d=R\)) получаем \(|g_1|=R/3\) и увеличение \(1/3\), для дальней стороны \(AD\) (\(d=R+a\)) получаем \(|g_2|=\dfrac{R(R+a)}{3R+2a}\); длины оснований \(l_1=a/3\) и \(l_2=\dfrac{aR}{3R+2a}\).

\(\beta=\dfrac{\pi^2B^2a^2\omega}{2mR}\); второе полукольцо начнёт вращаться в направлении, противоположном вращению первого полукольца.

Поворот первого полукольца на малый угол \(\Delta\alpha\) меняет поток через контур: \(\Delta\Phi=\tfrac12\pi a^2B\sin\Delta\alpha\approx\tfrac12\pi a^2B\,\Delta\alpha\), поэтому \(\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\tfrac12\pi a^2B\omega\). Ток в контуре (в начальный момент) \[I=\frac{1}{R}\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{\pi a^2B\omega}{2R}.\] Сила Ампера на элемент \(\Delta l=R\Delta\varphi\) второго полукольца равна \(IBa\sin\varphi\,\Delta\varphi\), её момент относительно \(OO'\) равен \(IBa^2\sin^2\varphi\,\Delta\varphi\). Момент инерции элемента массы \(\Delta m=\dfrac{\Delta\varphi}{\pi}m\) равен \(\dfrac{m}{\pi}a^2\sin^2\varphi\,\Delta\varphi\). Вклады пропорциональны, поэтому суммы сокращаются: \[\beta=\frac{\sum\Delta M}{\sum\Delta J}=\frac{\pi IB}{m}=\frac{\pi^2B^2a^2\omega}{2mR}.\] По правилу Ленца второе полукольцо начнёт вращаться в направлении, противоположном вращению первого.

\(|T-mg\sin\alpha|\leqslant\xi\,mg\cos\alpha\), где \(\xi=\min\{\mu,\,f/R\}\). При скатывании без проскальзывания \(\mu\geqslant\dfrac12\bigl(\operatorname{tg}\alpha+\dfrac{f}{R}\bigr)\), ускорение оси \(a=\dfrac12 g\cos\alpha\bigl(\operatorname{tg}\alpha-\dfrac{f}{R}\bigr)\).

Пока труба удерживается, из равновесия: \(N=mg\cos\alpha\), \(T=mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}\), \(F_{\text{тр}}R=M\), где \(|M|\leqslant fN\) и \(|F_{\text{тр}}|\leqslant\mu N\). Отсюда два условия \(|T-mg\sin\alpha|\leqslant\mu mg\cos\alpha\) и \(|T-mg\sin\alpha|\leqslant\dfrac{f}{R}mg\cos\alpha\), которые вместе дают \(|T-mg\sin\alpha|\leqslant\xi\,mg\cos\alpha\), \(\xi=\min\{\mu,f/R\}\).

При качении момент трения качения максимален, \(M=fN\), но \(F_{\text{тр}}=\mu N\) уже нельзя считать, так как проскальзывания нет. Используем \(ma=mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}\), \(mR^2\beta=F_{\text{тр}}R-fN\) и кинематическую связь \(a=\beta R\). Решая, получаем \[F_{\text{тр}}=\frac12 mg\cos\alpha\Bigl(\operatorname{tg}\alpha+\frac{f}{R}\Bigr),\qquad a=\frac12 g\cos\alpha\Bigl(\operatorname{tg}\alpha-\frac{f}{R}\Bigr).\] Условие \(|F_{\text{тр}}|\leqslant\mu N\) даёт \(\mu\geqslant\dfrac12\bigl(\operatorname{tg}\alpha+\dfrac{f}{R}\bigr)\).

\(\dfrac{2}{3}\) времени.

Пусть сетка делает оборот за \(T\), траектория замыкается за \(2T\). Сетка создаёт однородное поле, поэтому на шарик действует сила постоянной модуля \(F\), а её направление вращается вместе с сеткой. Вектор ускорения \(a=F/m\) имеет постоянный модуль и вращается с угловой скоростью \(\omega=2\pi/T\), как у равномерного движения по окружности радиуса \(a/\omega^2\) со скоростью \(V=a/\omega\). Переходя в систему, движущуюся вдоль оси \(y\) со скоростью \(V\), видим, что шарик вращается по окружности со скоростью \(V\), поэтому в исходной системе его траектория — дуга циклоиды. Вторая встреча с сеткой — через время \(T\) в точке, симметричной \(C\) относительно \(O\), \(|OC|=|OD|=\pi R\).

Скорость шарика \(v\) — векторная сумма \(V\) (вращение) и \(V\) (смещение центра), угол между ними \(\varphi=\omega t\). Максимальная скорость \(v_{\max}=2V\) при \(\varphi=0\). Кинетическая энергия больше четверти максимальной, когда \(v>V\), то есть \(\varphi\in[\pi/3,\,5\pi/3]\). Доля времени \[\frac{(5\pi/3-\pi/3)}{2\pi}=\frac{2}{3}.\] Явно: \(v_x=\dfrac{a}{\omega}\sin\omega t\), \(v_y=\dfrac{a}{\omega}(1-\cos\omega t)\), что даёт ту же долю времени.

Для рассеивающей плёнки интенсивность падает по закону Ламберта–Бугера–Бера \(I=I_0e^{-kl}\). Угол отклонения луча при двух шероховатостях, наклонённых навстречу, выражается через \(\alpha\) и \(n\).

Закон \(I=I_0e^{-kl}\), для плёнок \(k=2\kappa/d\) по наклону линеаризованной зависимости; максимальный угол наклона шероховатостей \(\alpha\approx0{,}11\); показатель преломления \(n\approx1{,}64\) по основному методу (по критериям \(n=1{,}67\pm0{,}15\), в том числе по углу Брюстера).

Фотодиод градуируют по расстоянию \(r\) до рассеивателя: \(\dfrac{I}{I_0}=\dfrac{r_{\min}^2}{r(U)^2}\), строят \(U(r_{\min}^2/r^2)=U(I/I_0)\). Для анализа логарифмируют: \(\ln\dfrac{I}{I_0}=2\ln r_{\min}-2\ln r(U_i)\). Зависимость \(\ln r(U_i)\) от \(\ln i\) нелинейна, а от числа плёнок \(i\) — линейна с угловым коэффициентом \(\kappa\): \(r(U_i)=Ae^{\kappa i}\). Тогда \[I=I_0\frac{r_{\min}^2}{A^2}e^{-2\kappa i}=Be^{-kl},\qquad k=\frac{2\kappa}{d},\] где толщина одной плёнки \(d=d_5/5\) измеряется по пяти плёнкам. Это закон Ламберта–Бугера–Бера.

Угол наклона: при \(R_1\) — радиус пятна на экране, \(l_1\) — расстояние от плёнки до экрана, отражённый луч отклоняется на \(2\alpha\), откуда \(2\alpha\approx R_1/l_1\). В тестовом эксперименте \(R_1=1\) см, \(l_1=4{,}5\) см, отсюда \(\alpha\approx0{,}11\).

Преломление: при двух шероховатостях, наклонённых навстречу, отклонение луча \(\theta=2\alpha(n-1)\), откуда \(n=1+\dfrac{\theta}{2\alpha}\). Измерено \(\theta\approx1/7\), \(\alpha\approx0{,}11\), \(n\approx1{,}64\). Альтернатива — угол Брюстера \(\operatorname{tg}\theta_Б=n\), по которому получено \(n\approx1{,}67\) (менее точный способ).

Резонанс в трубе с одним закрытым концом: на длине \(h\) укладывается целое число полуволн с поправкой \(a\) на конец. Сравните частоты соседних максимумов при изменении высоты \(h\).

Скорость звука \(c=\nu_р\,\Delta h_р\) (по критериям — \(c\approx340\) м/с); коэффициент затухания \(\beta\) определяется по наклону линеаризованной зависимости \((A_р/A(\nu_р))^2\) от \((\nu-\nu_р)^2\): \(\beta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}\).

Длина волны \(\lambda=c/\nu\). На длине резонатора при резонансе укладывается целое число полуволн: \[h_р=n\frac{\lambda_р}{2}+a,\] где \(n\) — номер моды, \(a=\lambda/4\), если резонатор закрыт с одной стороны, и \(a=0\), если оба конца закрыты (для частично закрытого конца \(0<a<\lambda/4\)). Тогда \[h_р=\frac{nc}{2\nu_р}+a.\] Для соседних максимумов \(\Delta h_р=\dfrac{c}{2\nu_р}\), откуда \(c=\nu_р\,\Delta h_р\).

Для коэффициента затухания преобразуем формулу для амплитуды вблизи резонанса: \[\Bigl(\frac{A_р}{A(\nu_р)}\Bigr)^2=1+\frac{4\pi^2}{\beta^2}(\nu-\nu_р)^2.\] Строя зависимость \(\bigl(A_р/A(\nu_р)\bigr)^2\) от \((\nu-\nu_р)^2\) и находя угловой коэффициент \(k\) аппроксимирующей прямой, получаем \(\beta=\dfrac{2\pi}{\sqrt{k}}\).