Санкт-Петербургская, 2019/20, отборочный этап, 11 класс

Газ при неизменных давлении и температуре не меняет объём. Работа внешних сил при опускании поршня идёт на плавление льда. Сравните объём, который освободится при плавлении, с изменением объёма системы.

\(p=\dfrac{\lambda\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}\).

Пусть искомое давление газа равно \(p_0\). При опускании поршня на малую величину \(\Delta V>0\) внешние силы совершают над системой работу \(\Delta A'=p_0\,\Delta V\). Сосуд теплоизолирован, а внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, которая не изменилась. Значит, работа идёт на плавление льда массой \(\Delta m\): \[p_0\,\Delta V=\lambda\,\Delta m.\] Давление и температура газа не меняются, поэтому его объём не меняется. Объём расплавленного льда \(\Delta m/\rho_{\text{л}}\) превращается в объём воды \(\Delta m/\rho_{\text{в}}\). Так как плотность льда меньше плотности воды, суммарный объём уменьшается, и по условию \[\Delta V=\Delta m\left(\frac{1}{\rho_{\text{л}}}-\frac{1}{\rho_{\text{в}}}\right).\] Подставляя это в предыдущее равенство, получаем \[p_0=\frac{\lambda\,\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}.\]

Постройте изображения предмета и источника в плоском зеркале, лежащем на стене. Луч от наблюдателя к изображению предмета и луч от источника к изображению предмета должны пройти через зеркало.

В первом случае \(\dfrac{a+b}{2}\); во втором случае \(\dfrac{a}{2}\).

Построим изображения предмета и источника в зеркале \(\Pi'\) и \(\text{И}'\). Чтобы наблюдатель увидел предмет, прямая \(\text{Н}\Pi'\) должна проходить через зеркало, то есть точка \(A\) должна лежать на зеркале. Чтобы изображение предмета было освещённым, прямая \(\Pi\text{И}'\) тоже должна проходить через зеркало, то есть через точку \(B\). Минимальный размер зеркала равен длине отрезка \(AB\).

Отрезки \(OA\) и \(OB\) являются средними линиями треугольников \(\text{П}\text{Н}\Pi'\) и \(\Pi\text{И}'\Pi'\), поэтому \(|OA|=a/2\) и \(|OB|=b/2\), а \(|AB|=(a+b)/2\).

Если предмет и источник поменять местами, то \(|AB|=|OA|-|OB|=(a+b)/2-b/2=a/2\).

В магнитном поле частица движется по дуге окружности, а в электрическом — по параболе. Вычислите смещение вдоль плоскости и время за один период; средняя скорость — отношение смещения к времени за период.

\(v_{\text{ср}}=\dfrac{v\sin\alpha\,(E+Bv\cos\alpha)}{\alpha E+Bv\sin\alpha}\). Траектория замкнута при \(\alpha=\pi\) (окружность) и при \(\alpha=\pi-\arccos\dfrac{E}{Bv}\), если \(E<Bv\).

В магнитном поле радиус дуги \(R=\dfrac{mv}{qB}\), время движения по дуге \(T_B=\dfrac{2m\alpha}{qB}\), смещение вдоль плоскости \(L_B=2R\sin\alpha=\dfrac{2mv\sin\alpha}{qB}\).

Скорость при входе в электрическое поле остаётся равна \(v\) и составляет тот же угол \(\alpha\). Ускорение \(a=\dfrac{qE}{m}\) направлено к плоскости; время движения по параболе \(T_E=\dfrac{2v\sin\alpha}{a}=\dfrac{2mv\sin\alpha}{qE}\), смещение \(L_E=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{a}=\dfrac{mv^2\sin2\alpha}{qE}\).

Когда частица возвращается к плоскости, её скорость снова равна \(v\) под тем же углом \(\alpha\), поэтому движение периодично с периодом \(T_B+T_E\) и смещением \(L_B+L_E\) за период. Средняя скорость \[v_{\text{ср}}=\frac{L_B+L_E}{T_B+T_E}=\frac{v\sin\alpha\,(E+Bv\cos\alpha)}{\alpha E+Bv\sin\alpha}.\] При \(\alpha\to 0\) числитель и знаменатель стремятся к нулю, но с учётом \(\sin\alpha\approx\alpha\), \(\cos\alpha\approx 1\) получаем \(v_{\text{ср}}=v\): частица летит вдоль плоскости. При \(\alpha=\pi\) средняя скорость равна нулю: частица вращается по окружности радиуса \(R\) и не попадает в электрическое поле. Если \(E<Bv\), средняя скорость обращается в ноль при \(\cos\alpha=-E/(Bv)\), то есть при \(\alpha=\pi-\arccos(E/Bv)\); в этом случае траектория замкнута.

Импульс сохраняется, так как внешних сил вдоль нити нет. Магнитная сила совершает работу при притяжении и при отталкивании, поэтому механическая энергия не сохраняется. Работа равна разности площадей под графиками \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\).

\(u=\dfrac{v}{4}\left(1+\sqrt{24k+9}\right)\approx 1{,}6\,v\), где \(k\approx 0{,}93\) (см. решение).

На бусины не действуют внешние силы вдоль нити, поэтому выполняется закон сохранения импульса. Удары абсолютно упругие, но магнитная сила совершает ненулевую работу: она разгоняет правую бусину при притяжении и затем замедляет отлетающую влево. Работа \(A\) равна разности площадей под графиками \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\). Подсчёт по клеткам даёт \(93\) клетки (погрешность около \(\pm 5\) клеток), то есть \(A=kmv^2\), где \(k=0{,}93\pm 0{,}05\).

Пусть в конце скорость крайней левой бусины \(u\), а остальной системы \(u'\). Тогда \[mv=mu-3mu', \qquad \frac{mv^2}{2}+A=\frac{mu^2}{2}+\frac{3mu'^2}{2}.\] Сокращая массу и подставляя \(A\), получаем \[v=u-3u', \qquad (1+2k)v^2=u^2+3u'^2.\] Решая систему и отбрасывая отрицательный корень (он соответствует налёту бусины слева, а не справа), получаем \[u=\frac{v}{4}\left(1+\sqrt{24k+9}\right)\approx 1{,}6\,v.\]

Нить передаёт только растяжение, поэтому заменять можно только стержни, которые в равновесии растянуты. Определите направления сил со стороны стержней на шарниры, затем сравните сопротивления разных вариантов замены.

Заменить стержни \(3\), \(4\) и \(7\); сопротивление \(\dfrac{258}{313}\,r\).

Силы со стороны стержней на шарниры направлены вдоль стержней, так как моменты сил должны компенсироваться. Последовательно рассматривая равновесие шарниров \(C\), \(D\), \(B\), \(E\), \(A\), находим, что стержни, на которые действуют силы, работающие на сжатие, заменить нитью нельзя; заменить можно только стержни \(3\), \(4\), \(6\) и \(7\). Остаётся рассмотреть четыре схемы. Нити вместо стержней \(3\), \(4\), \(6\): \(R_{\text{общ}}=\dfrac{203}{313}\,r\); вместо стержней \(3\), \(4\), \(7\): \(R_{\text{общ}}=\dfrac{258}{313}\,r\); вместо стержней \(3\), \(6\), \(7\): \(R_{\text{общ}}=\dfrac{26}{33}\,r\); вместо стержней \(4\), \(6\), \(7\): \(R_{\text{общ}}=\dfrac{27}{33}\,r\). Сравнивая \(\dfrac{258}{313}\) и \(\dfrac{27}{33}\): \(258\cdot 33=8514>27\cdot 313=8451\), значит первая дробь больше. Максимальное сопротивление достигается при замене стержней \(3\), \(4\) и \(7\) и равно \(\dfrac{258}{313}\,r\).