Санкт-Петербургская, 2019/20, отборочный этап, 7 класс

Сравните плотность припоя по ГОСТу (известны массовые доли) и плотность припоя с той же долей по объёму. Выразите каждую через плотности олова и свинца.

В \(1{,}05\) раза; плотность припоя больше стандартной.

Пусть масса всего припоя равна \(m\). По ГОСТу масса олова \(m_{\text{о}}=0{,}4\,m\), масса свинца \(m_{\text{с}}=0{,}6\,m\), их объёмы \(V_{\text{о}}=\dfrac{0{,}4\,m}{\rho_{\text{о}}}\), \(V_{\text{с}}=\dfrac{0{,}6\,m}{\rho_{\text{с}}}\). Стандартная плотность \[\rho_{\text{ст}}=\frac{m}{V_{\text{о}}+V_{\text{с}}}=\frac{\rho_{\text{о}}\rho_{\text{с}}}{0{,}4\,\rho_{\text{с}}+0{,}6\,\rho_{\text{о}}}.\] В полученном припое объём олова \(0{,}4\,V\), объём свинца \(0{,}6\,V\), масса \(m=0{,}4\,V\rho_{\text{о}}+0{,}6\,V\rho_{\text{с}}\), поэтому \[\rho_{\text{пол}}=\frac{m}{V}=0{,}4\,\rho_{\text{о}}+0{,}6\,\rho_{\text{с}}.\] Отношение плотностей \[\frac{\rho_{\text{пол}}}{\rho_{\text{ст}}}=\frac{(0{,}4\,\rho_{\text{с}}+0{,}6\,\rho_{\text{о}})(0{,}4\,\rho_{\text{о}}+0{,}6\,\rho_{\text{с}})}{\rho_{\text{о}}\rho_{\text{с}}}\approx 1{,}05.\]

Найдите перемещение робота за один «шаг» (когда точки \(A\) и \(B\) меняются местами) и сколько таких шагов понадобилось. Траектория точки \(B\) состоит из полуокружностей.

\(31{,}4\) м.

Пусть длина отрезка \(AB\) равна \(l\). За один цикл, после которого порядок точек \(A\) и \(B\) впервые снова такой же, как в начале, робот смещается на \(2l\), а точка \(B\) проходит половину окружности радиуса \(l\). Если всего было \(N\) таких циклов, то общее перемещение робота \(L=2lN\), а траектория точки \(B\) состоит из \(N\) полуокружностей, то есть её длина \[S=N\cdot\pi l=\pi\,lN=\frac{\pi L}{2}.\] Длина окружности радиуса \(l=10\) см равна \(62{,}8\) см, поэтому \(\pi\approx 3{,}14\) и \[S=3{,}14\cdot\frac{L}{2}=3{,}14\cdot 10\ \text{м}=31{,}4\ \text{м}.\]

Число машин в минуту, проходящих через сечение дороги, пропорционально скорости движения и обратно пропорционально расстоянию между машинами. Сравните сечения до переезда и после него.

\(60\) м.

Пусть до переезда расстояние между машинами \(l_1\), скорость движения \(v\), поток \(N_1=50\) машин в минуту. Время между проездами соседних машин через точку \(A\) равно \(t_1=\dfrac{l_1}{v}\), поэтому \[N_1=\frac{1\ \text{мин}}{t_1}=\frac{v}{l_1}\cdot 1\ \text{мин}.\] Значит произведение \(N_1l_1\) пропорционально скорости движения на первом участке, а \(N_2l_2\) — на втором. После переезда скорость машин не изменилась, поэтому \(N_2l_2=N_1l_1\). Отсюда \[l_2=\frac{N_1}{N_2}\,l_1=\frac{50}{20}\cdot 24\ \text{м}=60\ \text{м}.\]

Посчитайте, сколько частиц приходится на одну ячейку, если частицы стоят в вершинах: частица в вершине общая для восьми ячеек. Затем сравните число частиц на ячейку в двух решётках.

\(4{,}5\) г/см\(^3\).

Пусть всего ячеек \(N\), масса одной частицы \(m\), объём одной ячейки \(V\). Если частицы стоят только в вершинах, то каждая частица принадлежит восьми ячейкам, поэтому общее число частиц \(\dfrac{8N}{8}=N\), и плотность \[\rho_1=\frac{Nm}{NV}=\frac{m}{V}.\] В материале с дополнительными частицами в центрах ячеек добавляется по одной частице на ячейку, так что число частиц \(2N\) и \[\rho_2=\frac{2Nm}{NV}=\frac{2m}{V}.\] Поскольку \(\rho_2=9\) г/см\(^3\), получаем \(\rho_1=\dfrac{1}{2}\rho_2=4{,}5\) г/см\(^3\).

При таком решении не учтены частицы на границе материала, но их доля мала, и ими можно пренебречь. Можно также заметить, что дополнительные частицы образуют такую же решётку, сдвинутую относительно основной, так что число частиц в одном и том же объёме в двух материалах отличается в два раза.

Средняя скорость за промежуток времени равна пути, делённому на время. Если мальчики встретились, то за одно и то же время они прошли одинаковый путь. Что тогда можно сказать о средних скоростях в момент встречи?

\(456\) м.

Средняя скорость \(v_{\text{ср}}\) за промежуток времени \(t\) равна пройденному пути \(s\), делённому на \(t\). Если мальчики встретились, то пройденные ими пути за время от старта равны, а значит равны и их средние скорости в этот момент.

Павел бежит с постоянной скоростью, поэтому его средняя скорость равна \(v_{\text{ср}}=v=2\) м/с. Значит, момент встречи соответствует точке пересечения графика средней скорости Петра с горизонтальной прямой \(2\) м/с. По графику \(t\approx 3{,}8\) мин, а пройденное расстояние \[s=vt=2\ \text{м/с}\cdot 3{,}8\cdot 60\ \text{с}=456\ \text{м}.\]