Санкт-Петербургская, 2019/20, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Объём шара пропорционален кубу диаметра, а объём тонкой сферы пропорционален площади её поверхности и толщине стенки. Сравните диаметры больших и маленьких сфер по первому условию.

Ответ

\(48\) кг.

Решение

Объём шара выражается через диаметр \(d\) как \(V_{\text{шара}}=\alpha d^3\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент. Если объёмы шаров относятся как \(1\!:\!64\), то их диаметры относятся как \(1\!:\!4\).

Объём тонкой сферы толщины \(h\) с диаметром \(d\) равен разности объёмов двух шаров, диаметры которых отличаются на \(2h\): \[V_{\text{сферы}} = \alpha\bigl((d+2h)^3-d^3\bigr) \approx 6\alpha\, h d^2,\] так как стенки тонкие, то есть \(h/d \ll 1\), и слагаемыми высших порядков по \(h/d\) можно пренебречь.

Значит, материала на сферу пропорционально квадрату диаметра. Для большой сферы диаметр в \(4\) раза больше, поэтому материала нужно в \(4^2=16\) раз больше, то есть \(16\) кг. Остаётся \(64-16=48\) кг материала.

Подсказка

Для каждой порции найдите количество теплоты, нужное на нагрев до \(20\,^\circ\text{C}\): сравните произведения объёма и разности температур. Что получится для всех трёх вёдер вместе?

Ответ

\(210\) кДж.

Решение

Проследим за жидкостью из первого ведра. Её температура после переливания и нагрева стала \(20\,^\circ\text{C}\), значит, на её нагрев потребовалась теплота \[Q_1 = c\rho\cdot 1~\text{л}\cdot(20\,^\circ\text{C}-4\,^\circ\text{C}) = c\rho\cdot 16\,^\circ\text{C}\cdot\text{л}.\] Аналогично, для жидкости из второго ведра \(Q_2 = c\rho\cdot 2~\text{л}\cdot(20\,^\circ\text{C}-8\,^\circ\text{C}) = c\rho\cdot 16\,^\circ\text{C}\cdot\text{л}\), а для жидкости из третьего \(Q_3 = c\rho\cdot 4~\text{л}\cdot(20\,^\circ\text{C}-16\,^\circ\text{C}) = c\rho\cdot 16\,^\circ\text{C}\cdot\text{л}\).

Видно, что \(Q_1=Q_2=Q_3\), поэтому всего потребуется теплоты \[Q_\Sigma = Q_1+Q_2+Q_3 = 3Q_3.\] По условию \(Q_3 = 70\) кДж, значит, \(Q_\Sigma = 210\) кДж.

Подсказка

Перечислите все возможные маршруты с ошибкой на перекрёстке для утра и для вечера. Сравните их времена с обычным временем поездки; вечером время больше обычного, значит, подходит только один вариант. Подставьте его в уравнение для утра.

Ответ

в \(\dfrac{5}{3}\) раза.

Решение

Пусть длина одного участка дороги равна \(\ell\), обычная скорость мистера Смита \(v\). Тогда обычно поездка от дома до работы занимает время \(T_{\text{обычно}} = \dfrac{3\ell}{v}\).

Утром на центральном перекрёстке Смит мог проехать с увеличенной скоростью \(nv\) либо участок \(3\ell\), либо участок \(5\ell\). Поэтому время поездки на работу могло быть \[T^{\text{I}}_{\text{утро}} = \frac{2\ell}{v}+\frac{3\ell}{nv}, \qquad T^{\text{II}}_{\text{утро}} = \frac{2\ell}{v}+\frac{5\ell}{nv}.\] Вечером с обычной скоростью Смит проезжал либо \(5\ell\), либо \(3\ell\): \(T^{\text{I}}_{\text{вечер}} = \dfrac{5\ell}{v}\), \(T^{\text{II}}_{\text{вечер}} = \dfrac{3\ell}{v}\).

По условию вечерняя поездка заняла больше времени, чем обычно, значит, подходит только \(T_{\text{вечер}} = \dfrac{5\ell}{v}\).

Приравняем времена утром и вечером. В первом варианте получаем \(\dfrac{3\ell}{nv}=\dfrac{3\ell}{v}\), откуда \(n=1\): скорость не увеличивалась, это не подходит по условию. Во втором варианте \(\dfrac{5\ell}{nv}=\dfrac{3\ell}{v}\), откуда \(n=\dfrac{5}{3}\).

Значит, мистер Смит увеличил скорость в \(\dfrac{5}{3}\) раза.

Подсказка

Если жук не на краю линейки, его можно сдвинуть, переклеив линейку, без нарушения равновесия, поэтому рассмотрите только края линейки. Относительно какой точки удобнее записать правило рычага, когда жук стоит над краем стола?

Ответ

\(1\) г.

Решение

Жук не на краю линейки: можно переклеить линейку и сместить жука так, чтобы центр масс системы остался на месте; при этом жук удаляется от края стола, а равновесие не нарушается. Значит, достаточно рассмотреть жука на краю линейки.

Если жук стоит на правом (дальнем от стола) краю линейки, то силы тяжести жука и линейки закручивают систему относительно края стола и ничем не уравновешены, поэтому система опрокидывается. Значит, при нарушении равновесия вращение начинается относительно угла кубика, и жук находится на левом краю линейки.

Запишем правило рычага относительно угла кубика \(O_2\) для жука над столом: \[M\cdot\frac{a}{2} = m_{\text{ж}}\left(l-\frac{a}{2}\right) + m_{\text{л}}\left(l-\frac{L}{2}-\frac{a}{2}\right).\] Отсюда \[m_{\text{ж}} = \frac{M a - m_{\text{л}}(2l-L-a)}{2l-a} = \frac{22~\text{г}\cdot 5~\text{см} - 15~\text{г}\cdot(40~\text{см}-30~\text{см}-5~\text{см})}{35~\text{см}} = 1~\text{г}.\]

Подсказка

Общее время равно сумме времён поездок, а каждая поездка даёт массу \(m\) за время \(t\). Какое отношение \(m/t\) нужно сделать наибольшим? Как оно выглядит на графике?

Ответ

около \(34\) ч.

Решение

Нас интересует минимальное время, за которое мальчик может перевезти весь мусор. Время будет минимальным, когда отношение \(m/t\), то есть «скорость» вывоза мусора, максимально. На графике это соответствует самой пологой прямой, выходящей из нуля и имеющей общую точку с графиком.

Из графика видно, что оптимальное отношение \[\frac{t}{m}\approx\frac{82}{80}~\frac{\text{мин}}{\text{кг}},\] поэтому на то, чтобы перевезти весь мусор, потребуется время \[T \approx 2000~\text{кг}\cdot\frac{82}{80}~\frac{\text{мин}}{\text{кг}} \approx 2050~\text{мин}\approx 34~\text{ч}.\]