Санкт-Петербургская, 2019/20, отборочный этап, 9 класс

Запишите тепловой баланс смесителя: температура смеси — средневзвешенная по расходам воды. Из двух данных режимов удобно найти сумму температур, а не каждую температуру отдельно.

\(45\,^\circ\text{C}\).

Пусть из трубы с холодной водой поступает поток \(m_{\text{х}}\) кг/с с температурой \(T_{\text{х}}\), а из трубы с горячей — \(m_{\text{г}}\) кг/с с температурой \(T_{\text{г}}\). Уравнение теплового баланса для промежутка времени \(\Delta t\) даёт температуру вытекающей воды: \[T = \frac{m_{\text{х}}T_{\text{х}} + m_{\text{г}}T_{\text{г}}}{m_{\text{х}} + m_{\text{г}}}.\] В первом режиме \(m_1 = \frac{2}{3}M\) и \(m_2 = \frac{1}{4}M\), где \(M\) — максимальный поток воды в трубе; получаем систему \[\frac{m_1T_{\text{х}} + m_2T_{\text{г}}}{m_1+m_2} = 30\,^\circ\text{C}, \qquad \frac{m_2T_{\text{х}} + m_1T_{\text{г}}}{m_1+m_2} = 60\,^\circ\text{C}.\] Сложим левые и правые части этих уравнений: в сумме получаем \(T_{\text{х}}+T_{\text{г}} = 2T_*\), где \(T_*\) — искомая температура при полностью открытых кранах (в этом случае \(T_* = \dfrac{T_{\text{х}}+T_{\text{г}}}{2}\)). Поэтому \[T_* = \frac{1}{2}\left(30\,^\circ\text{C}+60\,^\circ\text{C}\right) = 45\,^\circ\text{C}.\]

Время полёта мяча определяется высотой скалы. За это время платформа и мяч проходят одинаковое расстояние по горизонтали: выразите ускорение платформы через это время.

Запишите условие равновесия отдельно для кубика и для сосуда с водой. Сила Архимеда действует на кубик вверх, а на сосуд с водой — вниз с той же величиной.

\(V=\dfrac{m-M}{\rho}\).

Пусть натяжение нити, пропущенной через все три блока, равно \(T\). Для кубика, на который действуют сила тяжести \(mg\) вниз, сила натяжения \(2T\) от подвижного блока вверх и сила Архимеда \(\rho g V/2\) вверх, условие равновесия: \[mg - \frac{\rho g V}{2} = 2T.\] Для сосуда с водой (сила тяжести \(Mg\) вниз, сила натяжения \(2T\) от боковых нитей вверх и сила, противодействующая силе Архимеда, вниз) условие равновесия: \[Mg + \frac{\rho g V}{2} = 2T.\] Приравнивая левые части, получаем \(mg - Mg = \rho g V\), откуда \[V = \frac{m-M}{\rho}.\]

Деформируйте схему так, чтобы у неё появилась ось симметрии. Какие точки при отражении переходят друг в друга, а какие остаются на месте?

\(R\).

Немного деформируем схему так, чтобы она обладала явной осью симметрии. При отражении относительно этой оси точка \(B\) переходит в точку \(C\), а точка \(A\) лежит на оси. Поэтому сопротивление между \(A\) и \(C\) не отличается от сопротивления между \(A\) и \(B\), которое по условию равно \(R\).

Зонд выгоднее выпускать непосредственно перед изменением скорости корабля, а не после него. Для каждого такого момента найдите время прилёта зонда: оно равно моменту выпуска плюс оставшееся расстояние, делённое на скорость зонда. Расстояние — площадь под графиком.

\(7\dfrac{1}{3}\) года.

Зонд, выпущенный в момент \(t\) со скоростью \(v\) корабля в этот момент, прилетит к системе в момент \(T = t + \dfrac{L}{v}\), где \(L\) — оставшееся расстояние до системы, равное площади под графиком. Перед увеличением скорости выпускать зонд не имеет смысла, поэтому рассматриваются три точки: \(A\) (перед переходом со скорости \(3\) на скорость \(1\) тыс. км/с), \(B\) (перед переходом со скорости \(5\) на \(1\)) и \(C\) (в конце полёта).

Для точки \(A\): \(t_A = 3\) года, \(v_A = 3\) тыс. км/с, \(L_A = 13\) тыс. км/с\(\cdot\)год, поэтому \[T_A = 3~\text{года} + \frac{13}{3}~\text{года} = 7\dfrac{1}{3}~\text{года}.\] Для точки \(B\): \(t_B = 8\) лет, \(v_B = 5\) тыс. км/с, \(L_B = 2\) тыс. км/с\(\cdot\)год, поэтому \(T_B = 8 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{42}{5}\) года. Для точки \(C\): \(T_C = 10\) лет.

Самый ранний момент — \(T_A = 7\dfrac{1}{3}\) года после начала полёта.