Санкт-Петербургская, 2019/20, заключительный этап, 8 класс

Сравните пути, которые Вася проехал вверх и вниз: если они равны, то и времена связаны простым отношением.

Паша спустится в два раза быстрее, чем Вася.

Пусть Вася за время \(T\) проехал вверх путь \(S_\uparrow\) со скоростью \(v\) и вниз путь \(S_\downarrow\) со скоростью \(3v\). Из условия \(S_\uparrow = \tfrac34 T\cdot v\), \(S_\downarrow = \tfrac14 T\cdot 3v\), значит \(S_\uparrow = S_\downarrow\). Поэтому на обратный путь Васе нужно такое же время, как и на подъём. Паша всю дорогу поднимался вверх, поэтому спускается в два раза быстрее, чем поднимается, и на обратный путь тратит в два раза меньше времени, чем на подъём. То есть Паша спустится в два раза быстрее, чем Вася.

Оцените, как масса человека и жёсткость матраса зависят от линейного размера, и сравните относительные прогибы.

Жёсткость пружин, из которых состоит маленький матрас, следует увеличить в \(12\) раз.

Лилипут массы \(m\) продавливает маленький матрас жёсткости \(k\) на \(\Delta h \sim \dfrac{mg}{k}\), а доля высоты \(\dfrac{\Delta h}{h} \sim \dfrac{mg}{kh}\).

Большой матрас такой же формы, но в \(12\) раз больше, значит он состоит из \(12^3\) маленьких. Слой из \(12^2\) маленьких матрасов имеет жёсткость \(12^2 k\); \(12\) таких слоёв, соединённых последовательно, имеют жёсткость \(\dfrac{1}{12}\cdot 12^2 k = 12k\). Итак, \(K = 12k\).

Для большого матраса высотой \(H = 12h\) и массы Гулливера \(M = 12^3 m\): \[\frac{\Delta H}{H} \sim \frac{Mg}{KH} = \frac{12^3 mg}{12k\cdot 12h} = 12\,\frac{mg}{kh}.\] Чтобы доля высоты была такой же, как у лилипута, жёсткость пружин маленького матраса должна быть в \(12\) раз больше.

Центр треугольника неподвижен из соображений симметрии. Какое расстояние от центра до каждой стороны?

Треугольник перевернётся через \(t = \dfrac{1}{\sqrt3}\dfrac{a}{v}\).

Центральная точка треугольника неподвижна из соображений симметрии. Когда треугольник перевернулся, каждый из стержней прошёл удвоенное расстояние до центра \(r\). В равностороннем треугольнике расстояние от центра до стороны равно \(r = \dfrac{\sqrt3}{6}a\), значит \[t = \frac{2r}{v} = \frac{1}{\sqrt3}\,\frac{a}{v}.\] Расстояние \(r\) найдём из прямоугольного треугольника \(AOH\), где \(O\) — центр, \(H\) — середина стороны \(AB\), \(AH = \dfrac{a}{2}\), а угол \(\angle OAH = 30^\circ\): \(OH = \dfrac12 OA\), и по теореме Пифагора \(\dfrac{a^2}{4} + OH^2 = 4\,OH^2\), откуда \(OH = \dfrac{a}{2\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{6}a = r\).

Переведите производительность канализации в миллиметры осадков в минуту и постройте прямую для максимально допустимого уровня воды в канале.

Исправная система канализации справилась бы с таким дождём.

Система отводит от квадратного метра \(1\) л в минуту, что соответствует уровню осадков \(1\) мм в минуту. Неисправная система отводит вдвое меньше, то есть \(0{,}5\) мм в минуту (красная прямая). Канал переполняется через \(10\) минут, когда в нём оказывается \(30\) мм воды. Через эту точку можно провести прямую, которая соответствует максимально допустимому уровню воды при исправной канализации (синяя прямая): она начинается с \(30\) мм при \(t = 0\) и растёт со скоростью \(1\) мм в минуту. График осадков целиком лежит ниже этой прямой, значит переполнения не произойдёт.

Каждый безмен — это две пружины, а неизвестно, какая из них сверху. Перебрать все варианты соединения и приравнять удлинения.

Жёсткости пружин относятся как \(1 : 2\).

Обозначим жёсткости пружинок \(k_1\) и \(k_2\). Безмены внешне одинаковы, поэтому каждая конструкция имеет два варианта расположения пружинок. Для каждого варианта по закону Гука найдём удлинение \(\Delta x\) и приравняем удлинения первой конструкции (груз \(m\)) и второй (груз \(2m\)). Возможны четыре пары вариантов; три из них приводят к противоречию: Пары (I, А): \(\dfrac{1}{k_1+k_2}=0\); (I, Б): \((k_1-k_2)^2+k_1k_2=0\); (II, Б): \((2k_2-k_1)^2+k_1k_2=0\) — все три невозможны при положительных жёсткостях. Остаётся пара (II, А):\(\dfrac{1}{k_1}-\dfrac{1}{2k_2}=0\), то есть \(k_1 = 2k_2\). Жёсткости пружинок относятся как \(1 : 2\).

Выразите изменение давления на дно через подъём уровня и через растяжение пружины, и приравняйте давления в сообщающихся сосудах на одной высоте.

Уровень воды в центральном сосуде изменится на \(\Delta h_2 = \dfrac{2m_2g}{3\rho gS+k}\), а в боковых на \(\Delta h_1 = \Delta h_3 = \dfrac12\Delta h_2 = \dfrac{m_2 g}{3\rho g S+k}\).

Пусть после того, как на средний поршень положили грузик массой \(m_2\), он опустился на \(\Delta h_2\), а боковые поршни поднялись на \(\Delta h_1\) и \(\Delta h_3\). Объём воды не изменился, поэтому \(\Delta h_1 + \Delta h_3 = \Delta h_2\).

Давление на дно в левом сосуде изменилось на \(\Delta P_1 = \rho g\Delta h_1 + \dfrac{k\Delta h_1}{S}\) (подъём уровня и дополнительное растяжение пружины; силу тяжести поршня уже учли в равновесии), в правом сосуде аналогично \(\Delta P_3 = \rho g\Delta h_3 + \dfrac{k\Delta h_3}{S}\). На одной высоте давления в жидкости одинаковы, поэтому \(\Delta P_1 = \Delta P_2\), откуда \(\Delta h_1 = \Delta h_3 = \tfrac12 \Delta h_2\).

В среднем сосуде \(\Delta P_2 = -\rho g\Delta h_2 + \dfrac{m_2 g}{S}\). Приравнивая, получаем \(\rho g\dfrac{\Delta h_2}{2} + \dfrac{k\Delta h_2}{2S} + \rho g\Delta h_2 = \dfrac{m_2 g}{S}\), откуда \[\Delta h_2 = \frac{2m_2 g}{3\rho g S + k}, \qquad \Delta h_1 = \Delta h_3 = \frac{m_2 g}{3\rho g S + k}.\]

Если все стороны нагреть на одну и ту же величину, температура внутри изменится на ту же величину. Пятиугольник с одной нагретой стороной можно повернуть в пять одинаковых положений.

Температура в центре пластины \(30\,^\circ\)C.

Если все стороны пластины нагреть на \(\Delta T\), то и в установившемся режиме температура в любой точке тоже увеличится на \(\Delta T\), поэтому внутри зависит только от разности температур на сторонах. Вклады от разных сторон складываются независимо. Рассмотрим пять ситуаций, в каждой из которых одна сторона поддерживается при \(50\,^\circ\)C, а остальные при \(0\,^\circ\)C. Эти системы симметричны с точностью до поворота, значит температуры \(T_x\) в центрах одинаковы. Наложив их друг на друга, получаем пластину, все стороны которой имеют \(50\,^\circ\)C, а значит и в центре \(50\,^\circ\)C. С другой стороны, в центре \(5T_x\), откуда \(T_x = 10\,^\circ\)C.

Для системы из условия стороны нужно увеличить на \(20\,^\circ\)C: пятая сторона \(70\,^\circ\)C — это \(50\,^\circ\)C сверх \(20\,^\circ\)C. Значит в центре \(20 + 10 = 30\,^\circ\)C.