Санкт-Петербургская, 2019/20, заключительный этап, 9 класс

В каждый момент канатоходец находится в равновесии: его вес уравновешивается натяжениями двух частей жгута. Сравните горизонтальные составляющие натяжения и выразите удлинения через \(x\) и \(L-x\).

\(h(x) = \dfrac{mg\,x(L-x)}{kL^2}\); канатоходец движется по параболе.

Пусть натяжение правой части жгута \(T_1\) и левой \(T_2\); в проекции на горизонталь \(T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta\). Жёсткости правой и левой частей обозначим \(k_1\) и \(k_2\), их растянутые длины \(\ell_1\) и \(\ell_2\). Тогда \(T_1\cos\alpha = k_1 x\) и \(T_2\cos\beta = k_2 (L-x)\), откуда \(k_1 x = k_2 (L-x)\). Это равенство верно и при \(m = 0\), когда натяжение жгута равно \(T = kL\), поэтому \(k_1 x = k_2(L-x) = kL\).

В проекции на вертикаль \(mg = T_1\sin\alpha + T_2\sin\beta = (k_1+k_2)h\). Выражая \(k_1 = \dfrac{kL}{x}\) и \(k_2 = \dfrac{kL}{L-x}\), получаем \[h = \frac{mg}{k_1+k_2} = \frac{mg\,x(L-x)}{kL^2}.\]

Сопротивление зависит только от удельного сопротивления и геометрии; подумайте, какой размерной величиной можно описать конус, если его форма не меняется.

Омметр покажет \(256\) Ом.

Сопротивление конуса \(R\) (в Ом) выражается через удельное сопротивление \(\rho\) (в Ом\(\cdot\)м) и высоту усечённого конуса \(H\) (в м), так как форма конуса от размера не зависит. Размерность требует \(R = C\dfrac{\rho}{H}\), где \(C\) — безразмерная константа формы. Сопротивление обратно пропорционально линейным размерам, значит у маленького конуса сопротивление в \(4\) раза больше, чем у большого. Четыре маленьких конуса соединены последовательно, поэтому сопротивление второй конструкции в \(4\cdot 4 = 16\) раз больше: \(16\cdot 16\) Ом \(= 256\) Ом.

Найдите угловую частоту, с которой меридиан полуночи обходит Землю, и потребуйте, чтобы Санта двигался с такой же угловой скоростью вокруг оси. Затем разложите его скорость на составляющие вдоль параллели и вдоль меридиана.

Обратный перелёт занял \(9\) ч \(48\) мин.

Орбитальным движением Земли можно пренебречь. Меридиан полуночи обходит планету за сутки, его угловая частота \(\Omega = \dfrac{2\pi}{T}\), где \(T = 24\) ч. Чтобы оставаться на этом меридиане, Санта должен двигаться вдоль параллели \(30^\circ\) со скоростью \(v_\text{п} = \Omega r = \Omega R\cos 30^\circ = \sqrt3\,\dfrac{\pi R}{T}\), где \(R\) — радиус Земли. Скорость пересекает параллель под углом \(45^\circ\), поэтому полная скорость \(v = \dfrac{v_\text{п}}{\cos 45^\circ} = \sqrt6\,\dfrac{\pi R}{T}\).

Обратный перелёт по кратчайшему пути — полуокружность длиной \(\pi R\), значит \[t = \frac{\pi R}{v} = \frac{T}{\sqrt6} = \frac{24\text{ ч}}{\sqrt6} \approx 9\text{ ч }48\text{ мин}.\]

Подъём возможен, если за один прыжок кузнечик может подняться выше нуля, то есть если максимальная высота прыжка положительна. Найдите её как функцию угла прыжка и максимизируйте по углу.

Подъём возможен при скорости прыжка больше \(2\) м/с.

Пусть расстояние между стенами \(\ell\), скорость прыжка \(v\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Время полёта от одной стены до другой \(t = \dfrac{\ell}{v\cos\alpha}\), высота подъёма \[h = v\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2} = \ell\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{g\ell^2}{2v^2}\left(1+\mathrm{tg}^2\alpha\right).\] Это парабола относительно \(\mathrm{tg}\,\alpha\) с ветвями вниз. Её максимум при \(\mathrm{tg}\,\alpha_\text{max} = \dfrac{v^2}{g\ell}\) даёт \[h_\text{max} = \frac{\ell}{2}\left(\frac{v^2}{g\ell} - \frac{g\ell}{v^2}\right).\] Подъём возможен, если \(h_\text{max} > 0\), то есть \(v^2 > g\ell\).

Чтобы найти \(\ell\), рассмотрим подъём на стену высотой \(H\) за \(20\) прыжков, считая, что все прыжки на максимальную высоту \(h_\text{max} = H/20\). Отсюда \[\ell = \frac{v^2}{g}\sqrt{1-\frac{Hg}{10v^2}} = \frac{(4\text{ м/с})^2}{10\text{ м/с}^2}\sqrt{1-\frac{15\text{ м}\cdot 10\text{ м/с}^2}{10\cdot(4\text{ м/с})^2}} = 0{,}4\text{ м}.\] Тогда \(v > \sqrt{g\ell} = \sqrt{10\text{ м/с}^2\cdot 0{,}4\text{ м}} = 2\) м/с.

Нагреватель включается при \(T_1\) и работает \(60\) с, затем \(80\) с остывает обратно до \(T_1\). Запишите баланс мощностей за оба промежутка и сравните с мощностью, при которой без термодатчика установится постоянная температура.

Максимальная температура равна \(55^\circ\)C.

В установившемся режиме нагреватель включается, когда температура воды равна \(T_1\), и работает \(t_\text{нагр} = 60\) с, затем выключен \(t_\text{ост} = 80\) с, пока вода остывает обратно до \(T_1\). Мощность теплопотерь \(P_\text{пот} = \alpha(T-T_0)\) за время цикла почти не меняется, так как колебания температуры малы по сравнению с \(T_1-T_0\), и её можно считать равной значению при \(T_1\).

Баланс тепла за включённый и выключенный промежуток даёт \((P-P_\text{пот})\,t_\text{нагр} = P_\text{пот}\,t_\text{ост}\), откуда \[\frac{P}{P_\text{пот}} = 1 + \frac{t_\text{ост}}{t_\text{нагр}} = 1+\frac{80}{60} = \frac{7}{3}.\] Пусть без термодатчика нагреватель поддерживает температуру \(T_3\). Тогда \(P = \alpha(T_3-T_0)\) и \(P = \dfrac{7}{3}\alpha(T_1-T_0)\). Приравнивая, получаем \[T_3 = \frac{7T_1 - 4T_0}{3} = 55^\circ\text{C}.\]