Санкт-Петербургская, 2020/21, отборочный этап, 7 класс

Объём ягод найдите по объёму банки и объёму воды, плотность воды возьмите равной \(1\) г/см\(^3\). Затем найдите плотность ягод и массу протёртых ягод в банке.

\(670\) г.

Плотность воды равна \(1\) г/см\(^3\), поэтому вода занимает \(700\) мл. Тогда \(200\) г ягод занимают оставшиеся \[V_{\text{ягод}} = V_{\text{банки}} - V_{\text{воды}} = 1000~\text{мл} - 700~\text{мл} = 300~\text{мл},\] и их плотность равна \[\rho_{\text{ягод}} = \frac{m_{\text{ягод}}}{V_{\text{ягод}}} = 0{,}67~\text{г/см}^3.\] Плотность протёртых ягод имеет такое же значение по условию. Поэтому масса протёртых ягод в банке равна \[m = \rho_{\text{ягод}} \cdot V_{\text{банки}} = 0{,}67~\text{г/см}^3 \cdot 1~\text{л} = 670~\text{г}.\]

Как меняются объём и площадь поверхности фигуры при увеличении всех её линейных размеров вдвое? Отдельно учтите стоимость повидла и теста, которые зависят от объёма, и стоимость глазури, которая зависит от площади поверхности.

\(228\) р.

Для фигур одинаковой формы площадь поверхности пропорциональна квадрату линейного размера, а объём — кубу. Поэтому при увеличении размера пончика вдвое объёмы повидла и теста увеличатся в \(2^3 = 8\) раз, а количество глазури увеличится пропорционально площади, то есть в \(2^2 = 4\) раза.

Так как количество повидла и количество теста увеличиваются в одинаковое число раз, стоимость большого пончика с повидлом, но без глазури равна \[25~\text{р} \cdot 8 = 200~\text{р}.\] Стоимость глазури на пончике обычного размера равна \(27~\text{р} - 20~\text{р} = 7~\text{р}\). Для большого пончика на глазурь потребуется \[7~\text{р} \cdot 4 = 28~\text{р}.\] Тогда общая стоимость большого пончика равна \(200~\text{р} + 28~\text{р} = 228~\text{р}\).

Средняя высота одинакова каждый год, значит, одинакова и сумма высот всех деревьев сразу после «омолаживания». Как за год меняется эта сумма?

\(21\) м.

Среднее значение высоты деревьев равно сумме всех высот, делённой на количество деревьев. Количество деревьев не меняется, а средняя высота каждый год одинакова, поэтому сумма высот всех деревьев сразу после «омолаживания» \(S_{\text{после}}\) одинакова каждый год.

Прямо перед очередным «омолаживанием» сумма всех высот равна \[S_{\text{до}} = S_{\text{после}} + 200 \cdot 10~\text{см}.\] Пусть высота самого высокого дерева в момент выпиливания равна \(H\). При выпиливании сумма высот уменьшается на \(H\), а при высадке нового дерева увеличивается на \(1\) м. За весь год сумма высот не должна измениться, поэтому \[S_{\text{после}} + 200 \cdot 10~\text{см} + 1~\text{м} - H = S_{\text{после}},\] откуда \(H = 20~\text{м} + 1~\text{м} = 21~\text{м}\).

Перейдите в систему отсчёта одного из людей колонны, которые движутся с постоянной скоростью. Как в ней будет двигаться рассматриваемый человек?

\(179{,}5\) м.

В системе отсчёта одного из людей колонны сама колонна покоится, а рассматриваемый человек движется с постоянной по величине скоростью \(v = 0{,}1\) м/с либо вперёд, либо назад. Он ходит между двумя ближайшими покоящимися людьми, расстояние между которыми равно \(3\) м. Так как он разворачивается на расстоянии \(0{,}25\) м от каждого из них, он ходит по отрезку длиной \(2{,}5\) м. От разворота до разворота он проходит его за \(25\) с, а от начала движения до первого разворота — за \(12{,}5\) с.

За \(180\) с человек успеет пройти расстояние до первого разворота за \(12{,}5\) с, затем \(6\) полных отрезков от разворота до разворота и ещё \(180~\text{с} - 25~\text{с} \cdot 6 - 12{,}5~\text{с} = 17{,}5\) с в направлении от впереди идущего к позади идущему. За это время он пройдёт \(1{,}75\) м и окажется на расстоянии \(0{,}5\) м позади своего изначального положения на отрезке.

Отсюда в исходной системе отсчёта человек прошёл путь \[S = 1~\text{м/с} \cdot 180~\text{с} - 0{,}5~\text{м} = 179{,}5~\text{м}.\]

Перестройте график в зависимость скорости от времени. Затем сравните пути за одну минуту: удобно построить график пути и сдвинуть его на одну минуту.

\(275\) м.

Для решения график времени на километр перестраивается в график скорости: на каждом участке скорость равна \(1000\) м, делённым на показание прибора в минутах. Получаются значения скорости (в м/мин) на семи участках: \(133\), \(100\), \(667\), \(200\), \(400\), \(267\), \(100\).

По этим скоростям строится график пути \(x(t)\). Сдвинув его на одну минуту, получаем вспомогательную линию: вертикальное расстояние между исходным графиком и сдвинутым в любой момент равно расстоянию, пройденному за предшествующую минуту. Максимум этого расстояния равен \(\ell_{\max} = 275\) м.