Санкт-Петербургская, 2020/21, отборочный этап, 8 класс

Сила тяжести пирамидки не меняется при переворачивании. Сравните объём погружённой части в обоих положениях и вычислите, сколько высоты большого кубика оказалось под водой.

Пирамидка будет погружена на \(5a\).

На систему из трёх кубиков действуют сила тяжести и сила Архимеда, и в равновесии они равны. Объём погружённой части в исходном положении равен объёму кубика со стороной \(3a\): \(F_\text{Арх.} = (3a)^3\rho g\).

После переворачивания сила тяжести не меняется, поэтому объём погружённой части снова равен \(27a^3\). Объём двух маленьких кубиков равен \(a^3 + (2a)^3 = 9a^3\). Значит, большой кубик погружён на \(27a^3 - 9a^3 = 18a^3\), то есть на \(2/3\) своего объёма, а значит и на \(2/3\) высоты. Следовательно, пирамидка погрузится на \[a + 2a + \tfrac23 \cdot 3a = 5a .\]

Рассмотрите систему из двух нижних грузиков: что растягивает среднюю пружинку в воздухе и что добавляется при погружении в воду?

Удлинение пружинки в воде равно \(1\) см.

Запишем условие равновесия для системы из двух нижних грузиков. В воздухе на неё действуют сила тяжести и сила упругости средней пружинки, и они равны: \[k\Delta x = (m_3 + m_4)g = \rho(V_3 + V_4)g .\] Если систему погрузить в воду, добавится сила Архимеда, и сила упругости уменьшится: \[k\Delta x' = \rho(V_3 + V_4)g - \rho_\text{в}(V_3 + V_4)g .\] Отсюда \[\frac{\Delta x'}{\Delta x} = \frac{\rho - \rho_\text{в}}{\rho} = 1 - \frac{\rho_\text{в}}{\rho} = \frac12 ,\] значит, в воде удлинение пружинки равно \(\Delta x' = \tfrac12 \cdot 2\) см \(= 1\) см.

Перейдите в систему отсчёта стены: там шарик после отскока летит с удвоенной по сравнению с исходной скоростью относительно наблюдателя. Скорость стены найдите по клеткам на фото, а затем переберите, какой кадр какой момент времени соответствует.

Скорость шарика в 3 раза больше скорости стены.

Пусть скорость шарика равна \(v\), а скорость стенки \(u\). В системе отсчёта стенки шарик до удара летит со скоростью \(v + u\); после отскока его скорость меняется на противоположную и равна \(u + v\), направлена влево. В системе наблюдателя скорость шарика после удара равна \(v + 2u\).

По фотографии стенка за секунду проходит \(2\) клетки, значит \(u = 2\) кл/с.

Проверяем варианты, какой из снимков соответствует какому положению шарика. Шесть вариантов сводятся к четырём: два не подходят, так как по условию шарик летит вправо. Подходит только вариант, в котором столкновение произошло между вторым и третьим кадром, а скорость шарика \(v = 6\) кл/с. Тогда до удара, который случился через \(0{,}5\) с после второго кадра, шарик проехал \(4\) кл, и после отскока за оставшиеся \(0{,}5\) с со скоростью \(10\) кл/с сместился ещё на \(5\) кл влево, что совпадает с фотографией. Скорость шарика \(v = 6\) кл/с, скорость стены \(u = 2\) кл/с, то есть шарик быстрее в \(3\) раза.

Количество теплоты пропорционально массе, то есть объёму. Объём конуса пропорционален кубу его высоты, и тогда объёмы частей выражаются через отношение \(h/L\) расстояния до вершины.

Чтобы нагреть большой пудинг на \(12\,^\circ\text{C}\), потребуется \(4\) кДж.

Количество теплоты \(Q = c\rho V\Delta T\). Конус однозначно задаётся углом раствора и высотой; из соображений размерности объём конуса \(V = kH^3\), где \(k\) — безразмерный коэффициент, зависящий от угла раствора.

Пусть расстояние от верхней части пудинга до вершины конуса равно \(L\). Тогда объёмы частей \[V_1 = k(h+L)^3 - kL^3, \quad V_2 = k(2h+L)^3 - k(h+L)^3, \quad V_3 = k(3h+L)^3 - k(2h+L)^3 .\] Одинаковое тепло нагревает верхнюю часть на \(3\,^\circ\)C, а среднюю на \(1\,^\circ\)C, значит, объём средней части втрое больше объёма верхней: \(V_2 = 3V_1\). Отсюда \[\frac{V_1}{V_2} = \frac{3hL^2 + 3h^2L + h^3}{3hL^2 + 9h^2L + 7h^3} = \frac13 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac hL\right)^2 = \frac32 .\]

Доля верхней части в объёме всего пудинга \[\frac{V_1}{V_1+V_2+V_3} = \frac{(h+L)^3 - L^3}{(3h+L)^3 - L^3} \approx 0{,}1 .\] Значит, чтобы нагреть большой пудинг на \(1\,^\circ\)C, нужно в \(10\) раз больше тепла, чем для верхней части, то есть \(10 \cdot \tfrac{100~\text{Дж}}{3}\). Для нагрева на \(12\,^\circ\)C требуется \[Q = 10 \cdot 100~\text{Дж} \cdot \frac{12\,^\circ\text{C}}{3\,^\circ\text{C}} = 4~\text{кДж}.\]

Сравните средние значения за соседние моменты времени: в их разности остаётся только одно слагаемое из каждого окна восьми измерений.

23 октября в 03:00 на улице было \(10\,^\circ\text{C}\).

Средняя температура, посчитанная прибором 24 октября в 03:00, и средняя температура, посчитанная в 00:00, отличаются только первым и последним слагаемыми окна: \[T_\text{ср, 24.10 03} - T_\text{ср, 24.10 00} = \tfrac18\left(T_\text{24.10 03} - T_\text{23.10 03}\right).\] Отсюда \[T_\text{23.10 03} = T_\text{24.10 03} - 8\left(T_\text{ср, 24.10 03} - T_\text{ср, 24.10 00}\right).\] Величины в правой части снимаем с графиков: \(T_\text{24.10 03} = 2\,^\circ\text{C}\), \(T_\text{ср, 24.10 03} = 8{,}375\,^\circ\text{C}\), \(T_\text{ср, 24.10 00} = 9{,}375\,^\circ\text{C}\). В результате \[T_\text{23.10 03} = 2\,^\circ\text{C} - 8\,(8{,}375 - 9{,}375)\,^\circ\text{C} = 10\,^\circ\text{C}.\]