Санкт-Петербургская, 2020/21, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Перемещения за равные промежутки времени при равноускоренном движении образуют арифметическую прогрессию. Найдите её первый член и шаг через начальную скорость и ускорение.

Ответ

Модули начальных скоростей относятся как \(3 : 1\). Скорость первого тела направлена по ускорению, а скорость второго — против.

Решение

Перемещения за \(n\)-й промежуток времени \(t\) равны \(\Delta x_n = (vt + \tfrac{at^2}{2}) + at^2(n-1)\): они образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(vt + \tfrac{at^2}{2}\) и шагом \(at^2\).

Для первого тела шаг совпадает с первым членом: \(at^2 = v_1 t + \tfrac{at^2}{2}\), откуда \(v_1 = \tfrac{at}{2}\).

Для второго тела шаг в \(3\) раза больше первого члена: \(at^2 = 3\left(v_2 t + \tfrac{at^2}{2}\right)\), откуда \(v_2 = -\tfrac{at}{6}\).

Модули начальных скоростей относятся как \(3 : 1\). Скорость первого тела направлена по ускорению (знаки совпадают), а скорость второго — против.

Подсказка

Объём надводной части пропорционален объёму растопленного льда. Сравните надводную часть при полностью растопленном льду, заполненном керосином, с исходной и найдите, сколько тепла понадобилось бы на всё.

Ответ

Пиратам потребуется \(40\) ТДж тепла.

Решение

Пусть \(V_0\) — полный объём айсберга, а \(V\) — объём растопленной части. Надводная часть объёма \(V' = V_0\left(1 - \dfrac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}\right) + \dfrac{\rho_\text{л} - \rho_\text{к}}{\rho_\text{в}} V\). Исходный надводный объём \(V'_1 = V_0\left(1 - \dfrac{\rho_\text{л}}{\rho_\text{в}}\right) = \dfrac{V_0}{10}\).

Если бы почти весь айсберг растопили и заполнили керосином, надводная часть имела бы объём \(V'_2 = V_0\left(1 - \dfrac{\rho_\text{к}}{\rho_\text{в}}\right) = \dfrac{V_0}{5} = 2V'_1\), то есть увеличение на \(100\%\). Тепло пропорционально растопленному объёму, а увеличению на \(20\%\) отвечает теплота \(Q\), увеличению на \(100\%\) — теплота \(5Q\). Значит, для растапливания оставшейся части потребуется \[5Q - Q = 4Q = 40~\text{ТДж}.\]

Подсказка

Вольтметр в положении \(b\) показывает ноль: подумайте, какое сопротивление участков может давать такой результат. Затем запишите закон Ома для положений \(a\) и \(c\).

Ответ

\(I_b = 3\) А, \(U_a = 8\) В, \(U_c = 6\) В.

Решение

Внутри ящика схема «звезда» из резисторов \(R_a\), \(R_b\), \(R_c\). Показание вольтметра в положении \(b\) равно нулю, значит, выполняется одно из условий: \(R_a = \infty\) (вольтметр ни к чему не подключён), \(R_c = \infty\) (в схеме нет тока) или \(R_b = 0\). Поскольку в положениях \(a\) и \(c\) амперметр показывает ненулевой ток, первые два варианта невозможны, и \(R_b = 0\). (Схема «треугольник» приводит к тому же результату, так как любую схему из трёх выводов можно свести к рассмотренным.)

Закон Ома для положения \(a\): \(4~\text{А} = \dfrac{12~\text{В}}{1~\text{Ом} + R_a}\), откуда \(R_a = 2\) Ом.

Закон Ома для положения \(c\): \(2~\text{А} = \dfrac{12~\text{В}}{1~\text{Ом} + R_a + R_c}\), откуда \(R_c = 3\) Ом.

Ток в положении \(b\): \(I_b = \dfrac{12~\text{В}}{1~\text{Ом} + R_c} = 3\) А.

Напряжения: \(U_a = I_a R_a = 4~\text{А} \cdot 2~\text{Ом} = 8\) В, \(U_c = I_c R_c = 2~\text{А} \cdot 3~\text{Ом} = 6\) В.

Подсказка

Перегородка покоится, значит, силы давления жидкостей на неё равны. Сила давления на стенку высоты \(H\) пропорциональна \(\rho H^2\). Затем запишите правило рычага для коромысла.

Ответ

Плотность левой жидкости равна \(\dfrac{16}{13}\) г/см\(^3\), а правой — \(\dfrac{25}{13}\) г/см\(^3\).

Решение

Объёмы жидкостей равны и сосуд прямоугольный, поэтому \(4a\cdot D\cdot H_l = 5a\cdot D\cdot H_r\), то есть \(\dfrac{H_l}{H_r} = \dfrac54\), где \(D\) — ширина сосуда, \(H_l\) и \(H_r\) — уровни жидкостей.

Сила давления жидкости плотности \(\rho\) на стенку высоты \(H\) и ширины \(D\) имеет вид \(F = C\rho g D H^2\) (из соображений размерности; мысленный эксперимент даёт \(\alpha = 1\)). Перегородка неподвижна, силы давления равны: \[\rho_l H_l^2 = \rho_r H_r^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\rho_l}{\rho_r} = \left(\frac{H_r}{H_l}\right)^2 = \frac{16}{25}.\]

Правило рычага для коромысла с плечами \(2b\) и \(b\) (объём поплавка \(V\)): \[2b\left(V\cdot 1~\text{г/см}^3 - \tfrac23 V\rho_l\right)g = b\left(V\cdot 1~\text{г/см}^3 - \tfrac13 V\rho_r\right)g \quad\Rightarrow\quad 4\rho_l - \rho_r = 3~\text{г/см}^3 .\]

Решая систему, получаем \(\rho_l = \dfrac{16}{13}\) г/см\(^3\) и \(\rho_r = \dfrac{25}{13}\) г/см\(^3\).

Подсказка

Вертикальные линии карты — меридианы, горизонтальные — параллели. Длина дуги параллели меньше длины дуги меридиана той же угловой меры: найдите радиусы этих окружностей на Земле.

Ответ

Полёт обратно займёт приблизительно \(23\) ч \(40\) мин.

Решение

Пусть радиус Земли \(R\). Вертикальные стороны карты (меридианы) — дуги больших окружностей радиуса \(R\); горизонтальные (параллели) — окружности радиуса \(R\cos\varphi\), где \(\varphi\) — широта.

Маршрут \(AB\) — меридиан между широтами \(60^\circ\)N и \(30^\circ\)S, угловая мера \(90^\circ\), длина \(\ell_{AB} = \dfrac{\pi R}{2}\). Маршрут \(BCDA\) состоит из четырёх дуг: \(BC\) — параллель \(30^\circ\)S, радиус \(\dfrac{\sqrt3}{2}R\), угловая мера \(90^\circ\), длина \(\dfrac{\sqrt3\pi R}{4}\); \(CD\) — меридиан, длина \(\dfrac{\pi R}{2}\); \(DA\) — параллель \(60^\circ\)N, радиус \(\dfrac R2\), угловая мера \(90^\circ\), длина \(\dfrac{\pi R}{4}\). Итого \[\ell_{BCDA} = \frac{(3+\sqrt3)\pi R}{4}.\] Скорость постоянна, поэтому \[T = 10~\text{ч}\cdot\frac{\ell_{BCDA}}{\ell_{AB}} = 10~\text{ч}\cdot\frac{3+\sqrt3}{2} = 5\left(3+\sqrt3\right)~\text{ч} \approx 23~\text{ч}~40~\text{мин}.\]