Санкт-Петербургская, 2020/21, заключительный этап, 7 класс

Средняя плотность плавающего тела не больше плотности воды. Сначала найдите плотность плавающей половинки из условия равновесия.

\(\rho_{\max} = 1{,}5\) г/см\(^3\).

Пусть объёмы половинок равны \(V_1\) и \(V_2\), масса каждой половинки \(m\). Тело плавает, значит его средняя плотность не больше плотности воды: \[\frac{2m}{V_1+V_2} \leqslant \rho_в .\] Плавающая половинка находится в равновесии: \(mg = \rho_в \cdot \tfrac34 V_1 g\), откуда \[\frac{m}{V_1} = \frac34\,\rho_в .\] Обозначим \(\rho = m/V_2\) — искомую плотность утонувшей половинки. Подставив \(V_1\) и \(V_2\) в неравенство, получим \[\frac{4}{3\rho_в}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2\rho} \geqslant \frac{1}{\rho_в} \quad\Rightarrow\quad \rho \leqslant \frac{3}{2}\,\rho_в = 1{,}5~\text{г/см}^3 .\]

Когда переднее колесо находится на неровности, высота пассажира равна половине высоты неровности. Подобие треугольников даёт высоту водителя через расстояние до переднего колеса; по графику найдите длину автобуса.

\(3{,}5\) м.

Пусть расстояние между колёсами автобуса равно \(L\), расстояние от переднего колеса до водителя равно \(\ell\), высота неровности равна \(h\). Когда переднее колесо переезжает неровность, оно находится на высоте \(h\) над задним. Из подобия треугольников и того, что пассажир стоит посередине между колёсами, \[H_п^{(1)} = \frac{L/2}{L}\,h = \frac{h}{2}, \qquad H_в^{(1)} = \frac{L+\ell}{L}\,h .\] Когда неровность переезжает заднее колесо, аналогично \[H_п^{(2)} = \frac{h}{2}, \qquad H_в^{(2)} = -\frac{\ell}{L}\,h .\] Высота подъёма пассажира всегда вдвое меньше высоты неровности. Так как неровность невысокая, расстояние между пиками графика примерно равно расстоянию между колёсами: по графику \(H_п = 10\) см, \(H_в^{(1)} = 24\) см, \(L = 5\) м, \(H_в^{(2)} = -4\) см. Отсюда \(h = 20\) см и \(\ell = 1\) м. Расстояние между водителем и пассажиром \[D = \frac{L}{2} + \ell = 3{,}5~\text{м} .\]

Количество видимых бактерий пропорционально площади поля зрения, а время пробега деления пропорционально его длине. Выразите число бактерий через время пробега.

\(400\) бактерий.

Пусть ширина видимой области равна \(\ell\). Число видимых бактерий \(N\) пропорционально площади, то есть \(\ell^2\). Время пробега одного деления \(t\) пропорционально длине деления, а длина деления пропорциональна \(\ell\) (шкала не зависит от увеличения). Значит, \(N \propto t^2\), и \[\frac{N_К}{100} = \frac{(20~\text{с})^2}{(10~\text{с})^2} , \qquad N_К = 4 \cdot 100 = 400 .\]

Парашютисты выпрыгивают через равные промежутки времени, значит, за одно и то же время смещение самолёта по горизонтали и падение парашютиста связаны треугольниками на фотографии. Сравните два таких треугольника.

\(u/v = 8/3\).

Обозначим скорость самолёта \(w\). Рассмотрим два прямоугольных треугольника (см. рис.). Из левого треугольника: падение парашютиста со скоростью \(u\) на две клетки вниз и смещение самолёта со скоростью \(w\) на три клетки влево заняли одно и то же время. Значит, \[\frac{u}{w} = \frac{2}{3} .\] Из правого треугольника: спуск парашютиста со скоростью \(v\) на одну клетку и смещение самолёта со скоростью \(w\) на пять клеток влево также заняли одинаковое время. Значит, \[\frac{w}{v} = 4 .\]

Перемножая дроби, \[\frac{u}{v} = \frac{u}{w}\cdot\frac{w}{v} = \frac{2}{3}\cdot 4 = \frac{8}{3} .\]

Резинка без проскальзывания работает как качение колеса: за один оборот карандаш протягивает резинку на свой периметр. Сравните периметры карандашей.

\(2000\) оборотов.

Относительное движение карандашей и резинок аналогично качению колеса без проскальзывания. Если колесо проходит расстояние \(s\), то число его оборотов равно \(s/P\), где \(P\) — периметр. Периметры карандашей: \(3a\) (треугольник), \(4a\) (квадрат) и \(2a\) (шестиугольник). Расстояние между карандашами не меняется, поэтому соседние карандаши проходят одинаковые расстояния вдоль резинок, и числа оборотов обратно пропорциональны периметрам: \[N_2 = N_1\frac{P_1}{P_2}, \qquad N_3 = N_2\frac{P_2}{P_3} = N_1\frac{P_1}{P_3} .\] Чтобы \(N_3\) было наибольшим, нужно взять \(P_1 = 4a\) (квадрат слева) и \(P_3 = 2a\) (шестиугольник справа). Тогда самый правый карандаш совершит \(N_3 = 1000\cdot 4a/2a = 2000\) оборотов.

Сложите длины верёвок и резинок с обеих сторон блока: их разности связаны соотношением. Затем приравняйте массы верёвок с обеих сторон.

\(\rho_1/\rho_2 = 4/7\).

Пусть \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности верхней и нижней верёвки, \(s\) — их площадь сечения. Обозначим длины верхней верёвки, нижней верёвки и резинки на левой стороне \(x_1\), \(y_1\), \(\ell_1\), а на правой — \(x_2\), \(y_2\), \(\ell_2\). Длины закруглений пренебрежимо малы. Из равенства полных длин с обеих сторон \[x_1 + y_1 + \ell_1 = x_2 + y_2 + \ell_2\] получаем соотношение для разностей \[\Delta x + \Delta y + \Delta\ell = 0 .\] Силы упругости в резинках внутренние, и их можно не учитывать. Блок не начинает вращаться, если массы участков верёвок с обеих сторон равны: \[\rho_1 x_1 s + \rho_2 y_1 s = \rho_1 x_2 s + \rho_2 y_2 s ,\] откуда \(\rho_1\Delta x + \rho_2\Delta y = 0\). Из первого соотношения при \(\Delta y = 4\) см и \(\Delta\ell = 3\) см получаем \(\Delta x = -7\) см. Тогда \[\frac{\rho_1}{\rho_2} = -\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{7} .\]

Рост сдвигает график вправо на одну клетку в день, а срезание снижает каждую ступеньку на \(100\) растений в день. Подумайте, какая точка графика срезается последней.

\(22\) м.

Если растения не срезаются, то график каждый день сдвигается вправо на одну клетку, так как все растения вырастают на \(1\) м. Если растения не растут, а только срезаются, то график опускается на две клетки в день, что соответствует уменьшению количества растений на \(100\).

Когда есть и рост, и срезание, график движется вправо и вниз одновременно, за исключением части слева от отметки \(10\) м, которая движется только горизонтально. Удобно поднять все точки левой части так, чтобы каждая точка пересекала отметку \(10\) м на правильной высоте. Тогда все точки графика можно рассматривать одинаково.

Последними будут срезаны растения, которых больше всего, то есть соответствующие самой высокой точке графика. Эти растения срезаются \(18\) дней; в последний день срезается всего \(50\) растений. За это время их высота меняется с \(4\) до \(22\) м.