Санкт-Петербургская, 2020/21, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Сначала найдите общее время движения по Диме: он бежал четверть времени и шёл три четверти. Затем вычтите из общего времени время бега и время ходьбы Саши.

Ответ

\(5\) мин \(15\) с.

Решение

Пусть общее время движения равно \(t_0\). Дима три четверти времени шёл, а четверть бежал, значит \[3~\text{км} = \frac14 t_0\cdot 12~\text{км/ч} + \frac34 t_0\cdot 6~\text{км/ч} \quad\Rightarrow\quad t_0 = \frac{3~\text{км}}{7{,}5~\text{км/ч}} = 24~\text{мин} .\] Саша бежал \(\frac34\) пути со скоростью \(12\) км/ч: \[t_{\text{бег}} = \frac{\frac34\cdot 3~\text{км}}{12~\text{км/ч}} = 11~\text{мин}\;15~\text{с} .\] Шёл он \(\frac14\) пути со скоростью \(6\) км/ч: \[t_{\text{шаг}} = \frac{\frac14\cdot 3~\text{км}}{6~\text{км/ч}} = 7~\text{мин}\;30~\text{с} .\] Время отдыха: \[t_{\text{отдых}} = t_0 - t_{\text{шаг}} - t_{\text{бег}} = 24~\text{мин} - 11~\text{мин}\;15~\text{с} - 7~\text{мин}\;30~\text{с} = 5~\text{мин}\;15~\text{с} .\]

Подсказка

После четвёртого хода доска в равновесии, значит, фигуры расположены симметрично относительно центра, кроме короля и ферзя. Затем запишите правило рычага по двум диагоналям доски.

Ответ

\(m_{\text{пешка}} = \dfrac{8}{3}\,m_{\text{король}}\), то есть пешка тяжелее короля в \(8/3\) раза.

Решение

После четвёртого хода доска в равновесии, все остальные фигуры расположены симметрично относительно центра, значит, массы короля и ферзя равны: \(m_{\text{король}} = m_{\text{ферзь}}\).

Рассмотрим расположение после шестого хода. Оставим только несимметричные относительно центра фигуры. Так как массы ферзя и короля равны, король на e8 уравновешивается ферзём на d1. Запишем правило рычага по диагональным осям (a1–h8 и a8–h1), считая, что диагональ клетки равна \(\ell\): \[\begin{cases} m_{\text{пешка}}\cdot\dfrac{1}{2}\ell + m_{\text{король}}\cdot\dfrac{3}{2}\ell = m_{\text{конь}}\cdot\dfrac{1}{2}\ell + m_{\text{ферзь}}\cdot\dfrac{3}{2}\ell , \\[2mm] m_{\text{конь}}\cdot\dfrac{3}{2}\ell = m_{\text{ферзь}}\cdot 2\ell + m_{\text{король}}\cdot 2\ell . \end{cases}\] Отсюда с учётом равенства масс короля и ферзя \(m_{\text{пешка}} = m_{\text{конь}}\) и \(m_{\text{конь}} = \dfrac{8}{3}\,m_{\text{король}}\), то есть \(m_{\text{пешка}} = \dfrac{8}{3}\,m_{\text{король}}\).

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для всей конструкции: сила тяжести, сила давления воды на пробку и сила Архимеда на поплавок. Силы упругости пружин внутренние.

Ответ

\(90\) г.

Решение

На конструкцию действуют сила тяжести, сила давления столба жидкости на пробку и сила Архимеда, действующая на поплавок. Второй закон Ньютона: \[F_{\text{тяж}} + p\,S_{\text{пр.}} - F_{\text{Арх.}} = 0 ,\] то есть \[Mg + \rho g H\,S_{\text{пр.}} - \rho S_{\text{попл.}}\,h\,g = 0 .\] Откуда \[M = \rho\,(S_{\text{попл.}}\,h - S_{\text{пр.}}\,H) = 1~\text{г/см}^3\cdot(25~\text{см}^2\cdot 10~\text{см} - 4~\text{см}^2\cdot 40~\text{см}) = 90~\text{г} .\] Сила Гука внутренняя, поэтому во второй закон Ньютона для конструкции не входит.

Подсказка

Разверните конус в плоскость: получится сектор. Найдите его угол. Затем подумайте, когда окружность, по которой расползаются муравьи, коснётся границы сектора.

Ответ

\(6\) с.

Решение

Конус можно развернуть в плоскость: получится сектор круга радиуса \(L\), длина дуги которого равна периметру основания \(2\pi R\). Угол развёртки \[\alpha = \frac{2\pi R}{2\pi L}\cdot 360^\circ = \frac16\cdot 360^\circ = 60^\circ .\] Выберем развёртку так, чтобы точка A находилась посередине. Муравьи, расползаясь из A, образуют окружность радиуса \(vt\). Первая встреча произойдёт, когда эта окружность коснётся границ развёртки. Расстояние \(h\), которое при этом пройдут муравьи, найдём из прямоугольного треугольника: катет против угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы, значит \(h = \frac12\ell\). Тогда \[t = \frac{h}{v} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\ell}{v} = \frac12\cdot\frac{36~\text{см}}{3~\text{см/с}} = 6~\text{с} .\]

Подсказка

Постройте график пути от времени: он должен быть прямой линией. Отметьте на нём интервалы, когда светофоры разрешают движение на север, и подберите наклон прямой.

Ответ

\(5\) мин \(20\) с.

Решение

Введём координаты перекрёстков. Мистер Смит едет на восток или на север, поэтому, чтобы приехать на работу, он должен подъехать к перекрёстку, где светофор работает в режиме «север-юг». На его пути будет семь перекрёстков: после трёх из них нужно поехать на восток, после четырёх — на север, причём после последнего перекрёстка обязательно ехать на север.

Для решения построим график зависимости пути \(S\) от времени \(t\). Для каждого светофора проведём горизонтальные отрезки, соответствующие времени, когда он работает в режиме «север-юг» (двойная линия). Так как скорость постоянна, график \(S(t)\) — прямая. Она выходит из точки \((1;0)\) и должна пересекать \(4\) двойные линии, причём последняя пересекаемая линия обязательно должна быть двойной.

Первый возможный вариант (красный пунктир) не подходит, так как скорость получилась бы \(120\) км/ч. Следующая подходящая прямая проходит через точку \((6;\,3{,}5)\), ей соответствует скорость \[v = \frac{3{,}5~\text{км}}{5~\text{мин}} .\] Расстояние от дома до работы равно \(3\,750\) м, значит, Мистер Смит доедет до работы за время \[t = 3{,}75~\text{км}\cdot\frac{5~\text{мин}}{3{,}5~\text{км}} \approx 5~\text{мин}\;20~\text{с} .\]

Подсказка

Скорость остывания пропорциональна разности температур пирога и воздуха. Значит, сама разность температур меняется по одному и тому же закону в обоих случаях, и её можно масштабировать.

Ответ

\(10\) мин.

Решение

Мощность теплопотерь пропорциональна разности температур пирога \(T\) и воздуха \(T_к\): за время \(\Delta t\) пирог отдаёт тепло \(\Delta Q = \alpha(T - T_к)\Delta t\). Если теплоёмкость пирога \(C\), то \(\Delta Q = C\,\Delta T\), и \[\frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{\alpha}{C}\,(T - T_к) .\] Физический смысл имеет разность температур пирога и окружающей среды \(\tilde T = T - T_к\), при постоянной температуре воздуха \(\Delta\tilde T = \Delta T\): \[\frac{\Delta\tilde T}{\Delta t} = \frac{\alpha}{C}\,\tilde T .\] Это уравнение не меняется, если умножить \(\tilde T\) на произвольный постоянный коэффициент \(k\). Значит, \(\tilde T\) уменьшается с \(\tilde T_1\) до \(\tilde T_2\) за такое же время, что и \(k\tilde T\) с \(k\tilde T_1\) до \(k\tilde T_2\).

В комнате \(\tilde T\) уменьшилось с \(60^\circ\)C до \(30^\circ\)C за \(5\) мин. Выбрав \(k = \frac43\), получим, что на балконе \(\tilde T\) (где \(\tilde T = T\)) падает с \(80^\circ\)C до \(40^\circ\)C за \(5\) мин. При \(k = \frac23\) получаем, что \(\tilde T\) падает с \(40^\circ\)C до \(20^\circ\)C тоже за \(5\) мин. Значит, с \(80^\circ\)C до \(20^\circ\)C пирог на балконе остынет за \(10\) мин.

Подсказка

Методом размерностей найдите среднюю плотность заготовки через \(H\). Затем сравните положения равновесия бруска, лежащего на боку: квадратное и «ромбом» (повёрнутое на \(45^\circ\)).

Ответ

1) \(4{,}5\) см;  2) \(3{,}5\) см.

Решение

Среднюю плотность заготовки найдём методом размерностей. Масса заготовки зависит от \(a\), \(H\) и \(k\); при удвоении \(a\) масса растёт в четыре раза, значит, \(m \sim a^2 k^{\alpha} H^{\beta}\). Размерности: \([m] = \text{кг}\), \([k] = \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^4}\), \([H] = \text{м}\). Единственная комбинация с размерностью массы — \(m \sim a^2 k H^2\). Средняя плотность \[\rho_{\text{ср}} = \frac{m}{a^2 H} \sim kH .\] Поэтому средние плотности заготовки, стачиваемой до \(\frac{9}{10}H\) и до \(\frac12 H\), равны \(\rho_1 = 0{,}9\) г/см\(^3\) и \(\rho_2 = 0{,}5\) г/см\(^3\) соответственно.

Брусок легче воды, и устойчивым будет положение, при котором центр масс системы «брусок + вода» ниже. Поэтому брусок ложится на бок. При горизонтальном плавании квадратного бруска есть два положения равновесия: «квадрат» (грань вниз) и «ромб» (ребро вниз).

Для \(\rho = 0{,}9\) г/см\(^3\) над водой находится одна десятая часть объёма. В положении «квадрат» брусок выступает из воды на \(h = \frac{a}{10}\). В положении «ромб» выступающая часть — два треугольника с катетами \(h\), и \(\frac12 h^2 = \frac{1}{10}a^2\), откуда \(h = \sqrt{\frac15}\,a\). Глубина центра масс заготовки: \[H_{\text{з}}^{\,\text{I}} = \frac{a}{2} - \frac{a}{10} = 0{,}40\,a , \qquad H_{\text{з}}^{\,\text{II}} = \frac{a}{\sqrt2} - \frac{a}{\sqrt5} \approx 0{,}26\,a .\] Глубина центра масс вытесненной воды в положении «квадрат»: \[H_{\text{в}}^{\,\text{I}} = \frac12\cdot\frac{9}{10}\,a = 0{,}45\,a .\] В положении «ромб» фигуру можно представить как наложение квадрата массой \(m\) и треугольника массой \(-m/10\). Центр масс квадрата лежит на глубине \(\frac{\sqrt2}{2}a - h\), а треугольника — на высоте \(h/3\) над уровнем воды. Значит, \[H_{\text{в}}^{\,\text{II}} = \frac{1}{3}h\cdot\frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt2}{2}a - h\right) \approx 0{,}27\,a .\] Центр масс заготовки и центр масс вытесненной воды в первом положении ниже, чем во втором, значит, устойчиво положение «квадрат», и брусок погружён на \(0{,}9\,a = 4{,}5\) см.

Для \(\rho = 0{,}5\) г/см\(^3\) центр масс заготовки в обоих положениях находится на уровне воды, и важна только глубина центра масс вытесненной воды: \[H_{\text{в}}^{\,\text{I}} = \frac{a}{4} , \qquad H_{\text{в}}^{\,\text{II}} = \frac{\sqrt2}{6}\,a \approx 0{,}23\,a .\] Так как \(H_{\text{в}}^{\,\text{I}} > H_{\text{в}}^{\,\text{II}}\), устойчивым будет положение «ромб». Глубина погружения равна половине диагонали: \(\dfrac{a}{\sqrt2} \approx 3{,}5\) см.