Санкт-Петербургская, 2020/21, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Мощности теплопередачи в верхней и нижней точках трубы одинаковы: запишите их через разности температур, а затем поделите одно равенство на другое.

Ответ

\(T_4 = T_1 + \dfrac{(T_3 - T_2)(T_1 - T_0)}{T_2 - T_0}\).

Решение

Рассмотрим внешнюю поверхность трубы в верхней точке. Её температура не меняется, значит, мощность теплопередачи от пара равна мощности теплоотдачи в окружающую среду: \(P_1 = P_2\). Так как мощность пропорциональна разности температур, \[\alpha\,(T_3 - T_2) = \beta\,(T_2 - T_0) ,\] где \(\alpha\) и \(\beta\) — коэффициенты пропорциональности. Аналогично для точки у основания, где \(T_4\) — температура пара на входе в трубу: \[\alpha\,(T_4 - T_1) = \beta\,(T_1 - T_0) .\] Поделив одно уравнение на другое, получим \[\frac{T_3 - T_2}{T_4 - T_1} = \frac{T_2 - T_0}{T_1 - T_0} ,\] откуда \[T_4 = T_1 + \frac{(T_3 - T_2)(T_1 - T_0)}{T_2 - T_0} .\]

Подсказка

Разложите ускорение свободного падения на компоненту перпендикулярно склону (она даёт время полёта) и вдоль склона (она даёт дальность). Сравните дальности прыжков вверх, вниз и по основанию.

Ответ

\(N_3 = \dfrac{4\pi N_1 N_2}{N_1 + N_2}\) прыжков.

Решение

Рассмотрим прыжок со скоростью \(v\) под углом \(45^\circ\) к наклонной поверхности с углом наклона \(\alpha\). Направим ось \(y\) перпендикулярно плоскости, ось \(x\) — вдоль неё. Перпендикулярная компонента ускорения \(g_y = g\cos\alpha\) даёт время полёта \[t = \frac{2v_y}{g_y} = \frac{\sqrt2\,v}{g\cos\alpha} .\] Компонента \(g_x = g\sin\alpha\) вдоль плоскости даёт дальность полёта \[\ell = v_x t - \frac{g_x t^2}{2} = \frac{v^2}{g\cos\alpha}\,(1 - \operatorname{tg}\alpha) .\] Эта формула годится и для подъёма, и для спуска (надо изменить знак угла). Для прыжков по горизонтальному основанию (\(\alpha = 0\)) дальность \(\ell_3 = \dfrac{v^2}{g}\). Тогда \[\ell_1 = \frac{v^2}{g\cos\alpha}(1 - \operatorname{tg}\alpha) , \qquad \ell_2 = \frac{v^2}{g\cos\alpha}(1 + \operatorname{tg}\alpha) .\] Пусть \(L\) — длина образующей конуса, \(R\) — радиус основания, \(N_3\) — число прыжков вокруг основания. Тогда \[\ell_1 = \frac{L}{N_1}, \qquad \ell_2 = \frac{L}{N_2}, \qquad \ell_3 = \frac{2\pi R}{N_3} .\] Заметим, что \(\ell_1 + \ell_2 = \dfrac{2v^2}{g\cos\alpha} = \dfrac{2\ell_3}{\cos\alpha}\). Используя \(\cos\alpha = R/L\), получаем \[\frac{L}{N_1} + \frac{L}{N_2} = \frac{4\pi L}{N_3} ,\] откуда \[N_3 = \frac{4\pi N_1 N_2}{N_1 + N_2} .\]

Подсказка

Представьте деформированную полусферу с воздухом внутри, окружённую водой: сила Архимеда на неё равна разности сил давления снизу и сверху. Объём её выемки найдите через массу полусферы.

Ответ

\(F = \pi\rho g r^2\left(h - \dfrac{2}{3}r\right) + 2mg\).

Решение

Когда полусфера плавает, сила тяжести равна силе Архимеда: \(mg = \rho g V\), где \(V\) — объём погружённой части (шарового сегмента высоты \(r/2\)). Отсюда \[V = \frac{m}{\rho} .\] Силу давления воды на деформированную полусферу найдём так. Если бы фигура такой же формы и с воздухом внутри была окружена водой со всех сторон, сила Архимеда складывалась бы из сил давления воды на верхнюю и нижнюю части: \(F_A = F' - F\), где \(F\) — сила давления на верхнюю часть (части сфер), \(F'\) — на нижнюю (круг). Сила давления на нижнюю часть на глубине \(h\): \[F' = p\,S = \rho g h\,\pi r^2 .\] Объём деформированной полусферы с воздухом равен объёму полусферы, из которого вычли \(2V\) (касание возможно только при высоте выгнутой части \(r/2\)). Поэтому \[F_A = \rho g\left(\frac23\pi r^3 - 2V\right) = g\left(\frac23\pi\rho r^3 - 2m\right) .\] Искомая сила \[F = F' - F_A = \rho g h\pi r^2 - g\left(\frac23\pi\rho r^3 - 2m\right) = \pi\rho g r^2\left(h - \frac23 r\right) + 2mg .\]

Подсказка

Ток через амперметр можно выразить двумя способами — через левые и через правые вертикальные резисторы. Сложите напряжения на левых и правых резисторах.

Ответ

\(I = \dfrac{\mathcal{E} + U}{2r}\).

Решение

Пусть токи через вертикальные резисторы равны \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) и \(I_4\), а искомый ток \(I\) можно записать двумя способами: \[I = I_1 + I_3 = I_2 + I_4 .\] Напряжение источника выражается через падение напряжения на левых резисторах: \(\mathcal{E} = I_1 r + I_2 r\). Напряжение на вольтметре — через падение на правых: \(U = I_3 r + I_4 r\). Складывая, \[\mathcal{E} + U = r\,(I_1 + I_2 + I_3 + I_4) = 2rI ,\] откуда \(I = \dfrac{\mathcal{E} + U}{2r}\).

Подсказка

Правый рабочий может тянуть верёвку вправо с силой не больше силы трения. Для левого запишите равновесие по вертикали и горизонтали и ограничения на силу трения и реакцию пола.

Ответ

\(\alpha \in [0;\,180^\circ - 3\beta] \cup \{\beta\}\), где \(\beta = \arcsin\dfrac45\). Приближённо: \([0;\,20{,}6^\circ] \cup \{53{,}1^\circ\}\).

Решение

Правый рабочий может тянуть верёвку вправо с силой \(F_п\), причём \[0 \le F_п \le \mu m g = \frac34 m g .\] Левого рабочего тянет сила \(T = \frac54 m g\) под углом \(\alpha\). Равновесие по вертикали: \[\frac54 mg\sin\alpha = mg - N ,\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(0 \le N \le mg\). Равновесие по горизонтали: \[\frac54 mg\cos\alpha = F_п + F_л ,\] где \(F_л\) — сила трения левого рабочего о пол, \(|F_л| \le \frac34 N = \frac34 mg\left(1 - \frac54\sin\alpha\right)\).

Объединяя эти соотношения, \[-\frac34 N \le \frac54 mg\cos\alpha \le \frac34 mg\left(2 - \frac54\sin\alpha\right) .\] Для углов \(0 \le \alpha \le 90^\circ\) нижнюю границу можно отбросить. Тогда \[\frac45\cos\alpha + \frac35\sin\alpha \le \frac{24}{25} .\] Введём угол \(\beta\) так, что \(\sin\beta = \frac45\), \(\cos\beta = \frac35\). Тогда \(\sin(\alpha + \beta) \le \dfrac{24}{25}\). С другой стороны, из условия \(N \ge 0\) получаем \(\sin\alpha \le \dfrac45\), что в нашем диапазоне углов равносильно \(\alpha \le \beta\).

Так как \(\sin 2\beta = \dfrac{24}{25}\) и \(90^\circ < 2\beta < 120^\circ\), из тригонометрической окружности получаем, что решение состоит из промежутка \([0;\,180^\circ - 3\beta]\) и изолированной точки \(\{\beta\}\). Приближённо \([0;\,20{,}6^\circ]\cup\{53{,}1^\circ\}\).

Подсказка

Сравните высоту, с которой роняют шарик, с высотой отскока: скорости связаны законом сохранения энергии.

Ответ

1) \(k = \sqrt{h_1/h_0} = v_1/v_0\), где \(h_0\) — высота падения, \(h_1\) — высота отскока;  2) \(\chi = 1 - k^2\).

Решение

Пусть шарик отпускают с высоты \(h_0\) и после удара он поднимается на высоту \(h_1\). По закону сохранения энергии \[v_0 = \sqrt{2gh_0} , \qquad v_1 = \sqrt{2gh_1} ,\] поэтому коэффициент восстановления \[k = \frac{v_1}{v_0} = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}} .\] Энергия, перешедшая в тепло при ударе: \[Q = mgh_0 - mgh_1 ,\] а доля этой энергии \[\chi = \frac{Q}{mgh_0} = 1 - \frac{h_1}{h_0} = 1 - k^2 .\] При уменьшении скорости налетания коэффициент \(k\) стремится к \(1\), и удар приближается к абсолютно упругому. С увеличением скорости доля энергии, переходящей в тепло, растёт, и удар постепенно приближается к абсолютно неупругому.

Подсказка

Пружина с предварительным сжатием: часть её витков не растягивается под собственным весом. Разбейте растянутую часть на равные участки с возрастающей силой натяжения.

Ответ

1) \(\Delta l = \dfrac{mg}{2k_{l-L}} = \dfrac{m_0 g\,(l-L)^2}{2kL_0^2}\);  3) \(k \approx 1{,}10\) Н/м;  4) \(F_0 \approx 0{,}19\) Н.

Решение

Выданная пружина имела предварительное сжатие, поэтому часть её не растягивалась под собственным весом. Обозначим массу всей пружины \(m_0\), её нерастянутую длину \(L_0\), длину подвешенной части \(l\), массу и длину нерастянутой части \(M\) и \(L\), массу и длину растянутой части \(m\) и \((l-L)\): \[M = \frac{m_0}{L_0}\,L , \qquad m = \frac{m_0}{L_0}\,(l - L) .\] Разобьём растянутую часть на \(N\) одинаковых участков, пронумеровав их снизу. Жёсткость одного участка \(k_1 = k_{l-L}N\). Сила натяжения и удлинение \((i+1)\)-го участка: \[F_{i+1} = \frac{mg\,i}{N} , \qquad \Delta l_{i+1} = \frac{F_{i+1}}{k_1} = \frac{mg\,i}{k_{l-L}N^2} .\] Суммируя по участкам, \[\Delta l = \sum_{i=0}^{N-1}\frac{mg\,i}{k_{l-L}N^2} = \frac{mg}{k_{l-L}N^2}\cdot\frac{N(N-1)}{2} .\] При \(N\to\infty\) получаем \[\Delta l = \frac{mg}{2k_{l-L}} .\] Учитывая влияние нерастянутой части, получаем \[\Delta l = \frac{mg}{2k_{l-L}} + \frac{Mg - F_0}{k_L} ,\] где \(k_{l-L}\) — жёсткость пружины длиной \(l - L\), \(F_0\) — сила предварительного сжатия. Поскольку \(F_0 = Mg\), второе слагаемое обращается в нуль. Жёсткость пружины обратно пропорциональна длине: \(k_{l-L} = \dfrac{kL_0}{l-L}\), поэтому \[\Delta l = \frac{m_0 g\,(l-L)^2}{2kL_0^2} .\]

Измерения: длина нерастянутой части \(L = 1{,}2\) см измеряется напрямую. Удлинение \(\Delta l\) измеряется при разных \(l\); данные — в таблице и на графике \(\Delta l\) от \((l-L)^2\) (официальные таблицы и график здесь не перенесены).

Если \(\Delta l(l) = a\,(l-L)^2\), то \(a = \dfrac{m_0 g}{2kL_0^2}\); из графика \(a = 1{,}387 \pm 0{,}023\). Тогда \[k = \frac{m_0 g}{2aL_0^2} = 1{,}103 \pm 0{,}018~\text{Н/м} .\] Сила предварительного натяга \(F_0 = Mg = m_0 g\,\dfrac{L}{L_0}\approx 0{,}19 \pm 0{,}02\) Н.