Санкт-Петербургская, 2021/22, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Продолжите параболу осколка за точку взрыва до земли: она совпадает с траекторией тела, брошенного с земли со скоростью \(V_1\) под углом \(\beta\). Энергию взрыва найдите в системе отсчёта снаряда непосредственно до разрыва.

Ответ

1) \(L_{\max} = \dfrac{V_0^2\,(\sin 2\alpha + 4\sin 2\beta)}{g}\);  2) \(E = mV_0^2\,\bigl(5 - 4\cos(\alpha + \beta)\bigr)\).

Решение

До взрыва снаряд движется по параболе \[y = \operatorname{tg}\alpha \, x - \frac{g x^2}{2 V_0^2 \cos^2\alpha}.\] Мысленно продолжив эту параболу за точку взрыва до земли, введём дальность полёта по ней, если бы взрыва не было: \[l_0 = \frac{V_0^2 \sin 2\alpha}{g}.\] Аналогично для осколка, отлетевшего на большее расстояние, траектория определяется параметрами \(V_1\) и \(\beta\), и \[l_1 = \frac{V_1^2 \sin 2\beta}{g}.\] Если обозначить через \(d\) расстояние от точки взрыва до земли по параболе, то полная дальность \(L = l_0 + l_1 - d\). Она максимальна, когда \(d = 0\), т.е. когда взрыв произошёл у поверхности земли: \[L_{\max} = l_0 + l_1 = \frac{V_0^2 \left(\sin 2\alpha + 4 \sin 2\beta\right)}{g}.\]

Теперь найдём энергию взрыва \(E\). Непосредственно до взрыва снаряд движется со скоростью \(V_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Скорость рассматриваемого осколка сразу после взрыва равна \(V_1\) и направлена от земли под углом \(\beta\). Перейдём в систему отсчёта, связанную со снарядом непосредственно до взрыва. В ней осколки разлетаются после взрыва с одинаковыми по модулю скоростями \(u\) и противоположными по направлению (закон сохранения импульса выполняется благодаря мгновенности взрыва). Эта скорость обеспечивается энергией взрыва: \[E = 2 \cdot \frac{m u^2}{2} = m u^2.\] По правилу перехода из одной системы отсчёта в другую \(\vec u = \vec V_1 - \vec V_0\), поэтому \[E = m u^2 = m \left(V_1^2 + V_0^2 - 2 V_1 V_0 \cos(\alpha + \beta)\right) = m V_0^2 \left(5 - 4\cos(\alpha + \beta)\right).\]

Подсказка

Запишите условия равновесия верхней детали: равнодействующую сил и суммарный момент относительно точки \(A\). Оцените, при каком натяжении одной из нитей остальные разгружаются.

Ответ

\(T = \dfrac{Mg\,(a + 2b)}{a + b}\).

Решение

Обозначим силы натяжения нитей \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) согласно рисунку. Условие равенства нулю равнодействующей силы для верхней детали: \[T_2 + T_3 + Mg - T_1 = 0.\] Из этого уравнения следует, в частности, что максимальное натяжение испытывает центральная нить. Суммарный момент внешних сил относительно точки \(A\) также должен обращаться в нуль: \[bT_1 + aT_3 - (a + 2b)T_2 = 0.\] Система уравнений определяет силы \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) неоднозначно. Выразим силу \(T_1\) через \(Mg\) и \(T_3\): \[T_1 = 2T_3 + \frac{a + 2b}{a + b}\, Mg.\] Из этого уравнения видно, что, ослабляя натяжение \(T_3\) левой нити, можно уменьшать нагрузку на центральную нить. Наиболее оптимальная ситуация реализуется, когда левая нить вообще не натянута, \(T_3 = 0\), и имеет только «декоративное» назначение. При этом минимальная сила, которую должны выдерживать нити, равна \[T = T_1\big|_{T_3 = 0} = \frac{Mg\,(a + 2b)}{a + b}.\]

Подсказка

Полная кинетическая энергия пули складывается из поступательной и вращательной частей. Связь угловой скорости с поступательной найдите через шаг спирали, а время полёта до мишени — через скорость вылета.

Ответ

\(L = \dfrac{2\pi N R}{\sqrt{h_2/h_1 - 1}}\).

Решение

Рассмотрим первый случай, когда выстрел производится из гладкоствольного ружья. Энергия выстрела \(E\) равна кинетической энергии пули при вылете из ствола: \[E = \frac{m v_1^2}{2},\] где \(m\) — масса пули, \(v_1\) — скорость пули при вылете из ствола. Обозначим через \(D\) расстояние между стволом ружья и мишенью. Время полёта пули \(\tau = D / v_1\). Тогда для отклонения по вертикали \[h_1 = \frac{g \tau^2}{2} = \frac{g D^2}{2 v_1^2}.\]

Во втором случае, когда на внутреннюю поверхность ствола нанесены бороздки, пуля вылетает из ствола с поступательной скоростью \(v_2\), а угловая скорость её вращения равна \(\omega\). Модуль полной скорости каждой точки пули равен \(\sqrt{v_2^2 + (\omega R)^2}\), поскольку компоненты скорости, связанные с поступательным движением и вращением, перпендикулярны друг другу. Тогда полная кинетическая энергия пули \[E = \frac{m}{2}\left(v_2^2 + (\omega R)^2\right).\] По условию дано число витков резьбы \(N\), что позволяет связать \(v_2\) и \(\omega\). Рассмотрим малый промежуток времени \(\Delta t\) перед вылетом пули из ствола. За это время пуля проходит расстояние \(\Delta x = v_2 \Delta t\). Если длина ствола \(L\), то на расстоянии \(\Delta x\) угол поворота пули составляет \(\Delta\varphi = (\Delta x / L) \cdot 2\pi N\). Отсюда \(\omega = \Delta\varphi / \Delta t = 2\pi N v_2 / L\). Скорость поступательного движения и угловая скорость пули не обязаны быть постоянными в процессе движения пули в стволе. Теперь выражение для энергии можно записать в виде \[E = \frac{m v_2^2}{2}\left[1 + \left(\frac{2\pi N R}{L}\right)^2\right].\] Поскольку пуля движется в вакууме, её угловая скорость постоянна, а связь вертикального отклонения \(h_2\) и скорости \(v_2\) полностью аналогична предыдущему случаю: \[h_2 = \frac{g D^2}{2 v_2^2}.\] Приравнивая выражения для энергии в обоих случаях и используя выражения для \(h_1\) и \(h_2\), получаем \[\frac{h_2}{h_1} = 1 + \left(\frac{2\pi N R}{L}\right)^2.\] Отсюда длина ствола \[L = \frac{2\pi N R}{\sqrt{h_2/h_1 - 1}}.\]

Подсказка

Сначала найдите неизвестное сопротивление из первого условия, затем упростите схему во втором положении ползунков: сгруппируйте параллельные и последовательные участки.

Ответ

1) \(r = 3R\);  2) \(R_{AC} = \dfrac{21}{64}\,R\).

Решение

Рассмотрим первую конфигурацию, когда ползунок реостата \(P_1\) находится посередине, а ползунок \(P_2\) в крайнем правом положении. Эквивалентная схема при подключении напряжения к точкам \(B\) и \(C\) состоит из параллельного соединения ветвей \(2R\), \(R/2\) и \(R\) и последовательного с ним участка из параллельных \(r\) и \(R/2\). Полное сопротивление такой цепи: \[R_{BC} = \frac{1}{\dfrac{1}{2R} + \dfrac{2}{R} + \dfrac{1}{R}} + \frac{r \cdot (R/2)}{r + R/2} = \frac{2}{7}R + \frac{rR}{R + 2r}.\] Приравнивая эту величину к \(5R/7\), находим \(r = 3R\).

Для второго вопроса рассмотрим случай, когда ползунок \(P_1\) находится в крайнем правом положении, а ползунок \(P_2\) расположен посередине. Обозначим эквивалентное сопротивление трёх верхних резисторов \(2R\), \(R/2\) и \(R\) через \(R_*\) — оно состоит из параллельного соединения \(2R\) и \(R/2\), последовательно соединённого с \(R\): \[R_* = \frac{2R \cdot (R/2)}{2R + R/2} + R = \frac{7}{5}R.\] Тогда, с учётом параллельного резистора \(R/2\) и резистора \(r = 3R\), \[R_{AC} = \frac{1}{\dfrac{1}{R_*} + \dfrac{2}{R} + \dfrac{1}{3R}} = \frac{21}{64}\,R.\]

Подсказка

Рассмотрите два пути света: отражение от зеркала до прохождения линзы и после неё. Для каждого случая найдите изображение по формуле тонкой линзы и положите зеркало посередине между источником и точкой изображения.

Ответ

Существует 4 варианта расположения зеркала: с той же стороны от линзы, что и лампочка, перпендикулярно оси на расстоянии \(\dfrac{3a}{2}\) или \(\dfrac{Fa}{2a - F} + \dfrac{a}{2}\); с противоположной от лампочки стороны на расстоянии \(\dfrac{Fa}{2a - 2F} + a\) или \(\dfrac{Fa}{2a - F} + \dfrac{Fa}{2a - 2F}\).

Решение

По условию не сказано, с какой стороны от линзы должно попасть изображение, сказано лишь, что оно должно оказаться на главной оптической оси на расстоянии \(L = 2a\). Таких точек две. Решим задачу для произвольной величины \(L > a\), а в ответах положим \(L = 2a\).

Самое простое — расположить зеркало так, чтобы изображение лампочки в нём, минуя линзу, оказалось в нужной точке: свет от лампочки попадает на зеркало, не пройдя сквозь линзу. Мнимое изображение лампочки в плоском зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом, что и лампочка перед зеркалом. Зеркало надо поставить перпендикулярно главной оптической оси точно посередине между лампочкой и точкой, куда должно попасть изображение. Зеркало должно быть с той же стороны от линзы, что и лампочка, и располагаться на расстоянии \(a + \dfrac{L - a}{2} = \dfrac{a + L}{2} = \dfrac{3a}{2}\) от центра линзы.

Можно поступить и иначе. Предположим, что свет прошёл через линзу и образовал изображение на расстоянии \(b\) от неё. По формуле тонкой линзы \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{F a}{a - F}.\] Чтобы изображение попало в точку на расстоянии \(L\) от центра линзы, зеркало ставят посередине между промежуточным изображением и конечной точкой. Тогда лучи, прошедшие через линзу, после отражения от зеркала формируют изображение за зеркалом в нужном месте. Зеркало располагается с противоположной от линзы стороны, чем лампочка, на расстоянии \[b + \frac{L - b}{2} = \frac{L + b}{2} = a + \frac{Fa}{2(a - F)}.\]

Можно поступить наоборот. Сначала свет лампочки отражается от зеркала и формирует в нём изображение, а отражённый свет затем проходит линзу и образует изображение в точности на расстоянии \(L = 2a\) от линзы. Изображение лампочки в зеркале должно быть на расстоянии \(x\) от линзы, причём по формуле тонкой линзы \[\frac{1}{x} + \frac{1}{L} = \frac{1}{F} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{F L}{L - F}.\] При этом способе зеркало располагается с той же стороны от линзы, что и лампочка, на расстоянии \[a + \frac{x - a}{2} = \frac{x + a}{2} = \frac{F L}{2(L - F)} + \frac{a}{2} = \frac{Fa}{2a - F} + \frac{a}{2}.\]

Наконец, свет может пройти через линзу дважды: отразиться от зеркала, снова пройти линзу и сформировать изображение на расстоянии \(L\) от её центра. Тогда изображение лампочки после прохождения линзы и отражения от зеркала должно быть на расстоянии \(x\) правее центра линзы; после прохождения лучами только линзы изображение формируется на расстоянии \(b\). Значит, зеркало надо поставить посередине между \(x\) и \(b\), т.е. с противоположной от линзы стороны на расстоянии \[\frac{x + b}{2} = \frac{FL}{2(L - F)} + \frac{Fa}{2(a - F)} = \frac{Fa}{2a - F} + \frac{Fa}{2a - 2F}.\] При \(L = 2a\) получаем четыре варианта, перечисленные в ответе.