зад 1 Липкость скотча
Петя исследовал свойства скотча и ввёл его характеристику «липкость» — минимальную силу \(N\), с которой ленту скотча надо тянуть перпендикулярно поверхности рулона, чтобы лента отклеивалась (см. верхний рисунок). При этом рулон со скотчем надёжно закреплён и не может вращаться вокруг оси. Петя прочно склеил две ленты скотча, как показано на среднем рисунке, и стал медленно тянуть рулоны в разные стороны вдоль линии, соединяющей оси. Оба скотча стали разматываться. При этом оба рулона держат так, чтобы они не вращались вокруг своих осей. В некоторый момент скотчи образовали конфигурацию, показанную на нижнем рисунке: \(\alpha=35^\circ\), \(\beta=40^\circ\), \(\gamma=5^\circ\). Петя знает, что липкость левого рулона со скотчем \(N_1\). Чему равна липкость правого рулона?
Радиусы рулонов одинаковы. Все углы отсчитываются от направления, соединяющего оси рулонов.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила натяжения ленты одна и та же во всей ленте. Разложите её по нормали к каждому рулону: на каждом рулоне проекция силы на нормаль и есть его липкость.
▶ОтветСкрыть
\(N_2=N_1\,\dfrac{\cos(\beta+\gamma)}{\cos(\alpha-\gamma)}=N_1\sqrt{\dfrac23}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(T\) — сила натяжения ленты скотча. Так как рулоны тянут медленно, \(T\) постоянна. Сила, с которой лента действует на каждый рулон, проецируется на нормаль к рулону; эти проекции и есть липкости \(N_1\) и \(N_2\). Углы между \(T\) и нормалями, с учётом вертикальных углов \(\gamma\), равны \(\alpha-\gamma\) для левого рулона и \(\beta+\gamma\) для правого. Поэтому \[N_1=T\cos(\alpha-\gamma),\qquad N_2=T\cos(\beta+\gamma).\] Деля одно равенство на другое, получаем \[N_2=N_1\,\frac{\cos(\beta+\gamma)}{\cos(\alpha-\gamma)}=N_1\,\frac{\cos45^\circ}{\cos30^\circ}=N_1\sqrt{\frac23}.\]
зад 2 Линза и зеркало
Тонкая собирающая линза имеет фокусное расстояние \(F\). На оптической оси линзы, на расстоянии \(a\) от её оптического центра расположена маленькая лампочка (\(a>F\)). Где следует расположить плоское зеркало, чтобы изображение лампочки попало в точку, лежащую на главной оптической оси линзы на расстоянии \(2a\) от её оптического центра?
▶ПодсказкаСкрыть
Точка назначения может лежать с любой стороны от линзы. Изображение в плоском зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом, как предмет перед ним. Рассмотрите оба порядка: сначала зеркало, потом линза, и наоборот.
▶ОтветСкрыть
Существует четыре варианта. С той же стороны от линзы, что и лампочка, на расстоянии \(\dfrac{3a}{2}\) или \(\dfrac{Fa}{2a-F}+\dfrac a2\). С противоположной стороны от линзы на расстоянии \(\dfrac{Fa}{2a-2F}+a\) или \(\dfrac{Fa}{2a-F}+\dfrac{Fa}{2a-2F}\).
▶РешениеСкрыть
Задача решается для произвольного расстояния \(L>a\) до точки назначения, и лишь в ответе берётся \(L=2a\).
Первый способ: свет от лампочки попадает на зеркало, не проходя через линзу. Зеркало ставится перпендикулярно оптической оси посередине между лампочкой и точкой назначения, на расстоянии \(a+\dfrac{L-a}{2}=\dfrac{a+L}{2}=\dfrac{3a}{2}\) от линзы, с той же стороны, что и лампочка.
Второй способ: линза сначала даёт изображение на расстоянии \(b=\dfrac{Fa}{a-F}\) от себя, и зеркало ставится посередине между этим изображением и точкой назначения, с противоположной стороны линзы, на расстоянии \(\dfrac{L+b}{2}=a+\dfrac{Fa}{2(a-F)}\).
Третий способ: сначала изображение лампочки в зеркале на расстоянии \(x=\dfrac{FL}{L-F}\) от линзы, затем линза переносит его в точку назначения. Зеркало стоит с той же стороны, что и лампочка, на расстоянии \(\dfrac{x+a}{2}=\dfrac{Fa}{2a-F}+\dfrac a2\).
Четвёртый способ: свет проходит линзу, отражается от зеркала и проходит линзу ещё раз. Зеркало стоит посередине между \(x\) и \(b\), с противоположной стороны линзы, на расстоянии \(\dfrac{x+b}{2}=\dfrac{Fa}{2a-F}+\dfrac{Fa}{2a-2F}\).
зад 3 Бусинка на нити
В точках \(A\) и \(B\) закреплены точечные заряды \(Q_1\) и \(Q_2\). Расстояние \(AB\) известно и равно \(a\). К точкам \(A\) и \(B\) привязана лёгкая нерастяжимая гибкая нить длиной \(2a\), по которой может свободно скользить маленькая бусинка с зарядом \(q\). На каком расстоянии от прямой \(AB\) расположится бусинка в равновесии? Силой тяжести пренебречь. Все заряды одноимённые.
▶ПодсказкаСкрыть
Бусинка на гибкой нити в равновесии подвержена с двух сторон силам натяжения одной и той же нити. Сравните силы кулоновского отталкивания от \(A\) и от \(B\). Сумма расстояний от бусинки до \(A\) и до \(B\) равна длине нити.
▶ОтветСкрыть
\(H=\dfrac{2aw}{w+1}\sin\!\left(\arccos\dfrac{5w^2+2w-3}{4w(w+1)}\right)\), где \(w=\sqrt{Q_1/Q_2}\).
▶РешениеСкрыть
Пусть нить натянута с силой \(T\). На бусинку действуют две силы отталкивания от зарядов \(Q_1\) и \(Q_2\) и две силы натяжения нити, по одной с каждой стороны. Каждая сила уравновешивается противоположной парой, поэтому равновесие возможно только при равенстве модулей пар сил: \[\frac{kQ_1}{l_1^2}=\frac{kQ_2}{l_2^2}\quad\Rightarrow\quad\frac{l_1}{l_2}=\sqrt{\frac{Q_1}{Q_2}}=w,\] где \(l_1\) и \(l_2\) — расстояния от бусинки до зарядов \(Q_1\) и \(Q_2\). С учётом \(l_1+l_2=2a\): \[l_1=\frac{2aw}{w+1},\qquad l_2=\frac{2a}{w+1}.\] Угол \(\alpha\) при заряде \(Q_1\) найдём по теореме косинусов для треугольника \(A\)–\(B\)–бусинка: \[\cos\alpha=\frac{a^2+l_1^2-l_2^2}{2al_1}=\frac{5w^2+2w-3}{4w(w+1)}.\] Высота бусинки над прямой \(AB\) равна \(H=l_1\sin\alpha\), то есть \[H=\frac{2aw}{w+1}\sin\!\left(\arccos\frac{5w^2+2w-3}{4w(w+1)}\right).\]
зад 4 Распад частицы в магнитном поле
Составная частица состоит из \(N=7\) одинаковых частиц-компонентов, каждая из которых обладает массой \(m\) и зарядом \(q\). Первоначально составная частица покоилась в однородном магнитном поле индукции \(B\). Затем она распалась на два осколка. Каждый осколок содержал целое число частиц-компонентов. Оказалось, что осколки столкнулись. Через какое время это могло произойти? Каково минимальное отношение путей, пройденных осколками до столкновения (отношение большего пути к меньшему)?
Силой тяжести и силой кулоновского отталкивания осколков пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Импульс системы до распада равен нулю. Радиус окружности заряженной частицы в поле равен \(mv/(qB)\). Сравните отношение заряда к массе у осколков.
▶ОтветСкрыть
Столкновение произойдёт через время \(\dfrac{2\pi m}{qB}\). Минимальное отношение большего пути к меньшему равно \(\dfrac43\).
▶РешениеСкрыть
Пусть осколки содержат \(n_1\) и \(n_2\) компонентов, \(n_1+n_2=7\). Суммарный импульс осколков равен нулю: \(m_1V_1=m_2V_2\), где \(m_1=n_1m\), \(m_2=n_2m\). Если скорости осколков имеют составляющую вдоль поля, осколки движутся в разные стороны вдоль поля и не встретятся. Значит, скорости перпендикулярны полю и каждый осколок движется по окружности: \[q_1BV_1=\frac{m_1V_1^2}{R_1},\qquad q_2BV_2=\frac{m_2V_2^2}{R_2},\] где \(q_1=n_1q\), \(q_2=n_2q\). Отсюда \(\dfrac{q_1B}{m_1}=\dfrac{V_1}{R_1}=\dfrac{qB}{m}=\dfrac{V_2}{R_2}=\dfrac{q_2B}{m_2}\), так как отношение заряда к массе у обоих осколков равно \(q/m\). Значит, периоды обращения одинаковы: \[T_1=T_2=\frac{2\pi m}{qB}.\] Именно через это время осколки сталкиваются.
Пути до столкновения равны \(2\pi R_1\) и \(2\pi R_2\). Из \(R=\dfrac{mV}{qB}\) и равенства импульсов \(m_1V_1=m_2V_2\) получаем \[\frac{R_1}{R_2}=\frac{q_2}{q_1}=\frac{n_2}{n_1}.\] При \(n_1+n_2=7\) минимальное отношение большего к меньшему равно \(\dfrac{4}{3}\) (при \(n_1=3\), \(n_2=4\)).
зад 5 Баллон и шарик
В герметичном контейнере находится закрытый баллон объёма \(V_0\) с азотом \(\text{N}_2\) при давлении \(P_0\) и подсоединённый к баллону упругий шарик. Первоначально оболочка шарика пуста, не натянута и имеет объём \(V_1\), в контейнере вакуум.
Из баллона в шарик начинают выпускать азот, так что шарик медленно надувается. При этом температура контейнера и всего его содержимого остаётся равной температуре \(T_0\) окружающей среды вокруг контейнера.
По мере раздувания оболочки шарика давление в нём растёт. Зависимость давления внутри шарика от его объёма представлена на графике (\(P_1\) и \(P_2\) известны). В момент, когда объём шарика увеличился в два раза, \(V_2=2V_1\), шарик соскальзывает с баллона и падает на дно контейнера. Весь газ из баллона и шарика вытекает в контейнер. В системе быстро устанавливается равновесие. Какая температура установится внутри контейнера, если предположить, что за время установления этого равновесия контейнер не успел обменяться теплом с окружающей средой?
Теплоёмкостью оболочки шарика, теплоёмкостью пустого баллона и контейнера пренебречь. Газ считать идеальным.
▶ПодсказкаСкрыть
Работа по растяжению шарика совершается за счёт теплоты, поступающей из окружающей среды. Какова полная внутренняя энергия азота до и после надувания, и чему равна работа по растяжению оболочки (площадь под графиком)?
▶ОтветСкрыть
\(T'=T_0\left(1+\dfrac{(P_1+P_2)V_1}{5P_0V_0}\right)\).
▶РешениеСкрыть
Азот в начале имеет \(\nu=\dfrac{P_0V_0}{RT_0}\) моль и внутреннюю энергию \(E=\dfrac52\nu RT_0=\dfrac52P_0V_0\). Температура азота во время надувания постоянна, поэтому его внутренняя энергия не меняется. Работа по растяжению оболочки \(A\) численно равна площади под графиком: \(A=\dfrac{(P_1+P_2)(V_2-V_1)}{2}=\dfrac{(P_1+P_2)V_1}{2}\). Эта работа совершается за счёт тепла, которое медленно поступает из окружающей среды, и запасается в деформации оболочки.
К моменту, когда шарик сорвался с баллона, система имеет энергию \(E+A\). Далее азот распространяется по контейнеру (работы не совершает, так как там вакуум), а запасённая в оболочке энергия \(A\) выделяется в тепло, и вся энергия снова оказывается в тепловой форме. Теплоёмкость азота \(\dfrac52\nu R\), поэтому \[T'=\frac{E+A}{\frac52\nu R}=T_0\left(1+\frac{(P_1+P_2)V_1}{5P_0V_0}\right).\]
Источник: Санкт-Петербургская олимпиада школьников по физике, 2021/22, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.