Санкт-Петербургская, 2021/22, отборочный этап, 7 класс

Средняя плотность всей детали равна суммарной массе, делённой на суммарный объём. Массы частей при нагреве не меняются, меняются только объёмы.

\(\dfrac{V_1}{V_2}=0{,}57\) или \(\dfrac{V_2}{V_1}=1{,}74\).

Средняя плотность детали равна \(\rho=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\). До нагрева \(\rho_\text{хол}=\dfrac{m_1+m_2}{V_1+V_2}\), после нагрева \(\rho_\text{нагр}=\dfrac{m_1+m_2}{1{,}05\,V_1+1{,}02\,V_2}\), причём \(\rho_\text{нагр}=0{,}97\,\rho_\text{хол}\). Приравнивая массы \(m_1+m_2=(V_1+V_2)\rho_\text{хол}=(1{,}05\,V_1+1{,}02\,V_2)\,0{,}97\,\rho_\text{хол}\), получаем уравнение \[0{,}97\,(1{,}05\,V_1+1{,}02\,V_2)=V_1+V_2.\] Отсюда \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{1-0{,}97\cdot1{,}02}{0{,}97\cdot1{,}05-1}\approx0{,}57, \qquad \frac{V_2}{V_1}\approx1{,}74.\]

После встречи каждый друг доезжает до конца, стоит в очереди и снова едет навстречу. Сравните полное время, которое каждый из них затратил с момента первой встречи до второй.

\(\dfrac14\) подъёма.

Пусть друг, ехавший вниз, за время до следующей встречи преодолел долю \(x\) подъёма. Тогда он затратил время \(\dfrac{T}{2}+T_1+xT\): сначала доехал до конца в исходном направлении, отстоял очередь у подножия и проехал \(x\) подъёма. Второй друг после разворота проедет \(1-x\) подъёма и затратит время \(\dfrac{T}{2}+T_2+(1-x)T\). Так как друзья встретились, эти времена равны: \[\frac{T}{2}+T_1+xT=\frac{T}{2}+T_2+(1-x)T.\] Отсюда \[x=\frac{T_2-T_1+T}{2T}=\frac{4-9+10}{20}=\frac14.\]

За один оборот педалей цепь провернётся на одну и ту же длину для передней и задней шестерёнки. Сравните, сколько оборотов педалей нужно, чтобы проехать одинаковое расстояние.

В \(1{,}23\) раза.

Пусть \(L\) — длина окружности колеса, \(\ell\) — длина цепи, на которую она провернётся при одном обороте задней шестерёнки, \(s\) — длина окружности передней шестерёнки. Тогда при пути \(D\) число оборотов педалей равно \[N=\frac{D}{L}\cdot\frac{\ell}{s}.\] При одинаковой скорости пути \(D\) за одно и то же время совпадают, а величины \(L\), \(\ell\), \(s\) пропорциональны росту: \(\dfrac{L_С}{L_П}=\dfrac{\ell_С}{\ell_П}=\dfrac{s_С}{s_П}=\dfrac{1{,}40}{1{,}50}\). Отношение числа оборотов до обмена шестерёнками \[\frac{N_С}{N_П}=\frac{L_П}{L_С}\cdot\frac{\ell_С}{\ell_П}\cdot\frac{s_П}{s_С}.\] После обмена задними шестерёнками \(\ell_С\) и \(\ell_П\) меняются местами, и отношение становится \[\frac{N_С}{N_П}=\frac{L_П}{L_С}\cdot\frac{\ell_П}{\ell_С}\cdot\frac{s_П}{s_С} =\left(\frac{1{,}50}{1{,}40}\right)^3\approx1{,}23.\]

Постройте график координаты от времени для отрыва и для второй группы. Время отрыва — это горизонтальный отрезок между графиками. На каждом участке, где время отрыва меняется линейно, скорость отрыва постоянна.

Максимальная скорость \(45{,}5\) км/ч, минимальная \(27{,}3\) км/ч.

На графике координаты от времени время отрыва соответствует горизонтальному отрезку между графиками отрыва и второй группы. Так как время отрыва сначала росло равномерно, а затем равномерно уменьшалось, график отрыва состоит из трёх отрезков с постоянными скоростями \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\). Максимальное время отрыва \(\tau=3\) мин.

Первый участок (за \(30\) мин от начала, где отрыв опережает вторую группу на \(\tau\)): \[u_1=\frac{x_1}{30\text{~мин}-\tau}=\frac{30\text{~км/ч}\cdot30\text{~мин}}{30\text{~мин}-3\text{~мин}}\approx33{,}3\text{~км/ч}.\] Второй участок (за \(15\) мин, с изменением времени отрыва от \(\tau\) до \(\tau/2\)): \[u_2=\frac{x_2-x_1}{15\text{~мин}+\tau-\tau/2}=\frac{30\text{~км/ч}\cdot15\text{~мин}}{15\text{~мин}+1{,}5\text{~мин}}\approx27{,}3\text{~км/ч}.\] Третий участок (за \(15\) мин, с изменением времени отрыва от \(\tau/2\) до нуля): \[u_3=\frac{x_3-x_2}{15\text{~мин}+\tau/2}=\frac{50\text{~км/ч}\cdot15\text{~мин}}{15\text{~мин}+1{,}5\text{~мин}}\approx45{,}5\text{~км/ч}.\] Таким образом, максимальная скорость отрыва \(45{,}5\) км/ч, минимальная \(27{,}3\) км/ч.

Если бы темп \(\tau\) был постоянным на пути \(s\), то время равнялось бы \(\tau s\). Что тогда изображает площадь под графиком \(\tau(x)\)?

\(26\) км.

Если Гриша двигался бы с постоянным темпом \(\tau\) на пути \(s\), то он потратил бы время \(t=\tau s\). Это равно площади под графиком зависимости темпа от пути. Поскольку времена на участках складываются, полное время тренировки равно площади под всем графиком.

По клеточкам находим времена участков: \(56\), \(72\), \(112\), \(108\), \(76\), \(30\), \(36\), \(80\) мин. Полное время \(570\) мин, половина — \(285\) мин. Первые три участка дают \(240\) мин, поэтому на четвёртом участке (темп \(9\) мин/км, от \(21\) км) нужно отсечь \(45\) мин, то есть \(45/9=5\) км. Значит, середина тренировки по времени приходится на отметку \(26\) км, и за первую половину времени Гриша преодолел \(26\) км.