Санкт-Петербургская, 2021/22, отборочный этап, 8 класс

Запишите полное время, которое каждый мальчик тратит от одной встречи до следующей, включая очереди. Учтите, что в каждой встрече оба мальчика находятся в одной точке в один и тот же момент.

Третья встреча произойдёт там же, где и первая.

Пусть \(T_\text{низ}\) и \(T_\text{верх}\) — времена ожидания в очередях внизу и вверху, \(T_0\) — время подъёма (равное времени спуска). После первой встречи Петя за \(\frac23 T_0\) доехал до вершины, отстоял очередь \(T_\text{верх}\) и спустился до середины за \(\frac12 T_0\). Вася за \(\frac13 T_0\) спустился к подножию, отстоял очередь \(T_\text{низ}\) и поднялся до середины за \(\frac12 T_0\). Встреча посередине означает равенство времён: \[\tfrac23 T_0+T_\text{верх}+\tfrac12 T_0=\tfrac13 T_0+T_\text{низ}+\tfrac12 T_0, \qquad T_\text{низ}-T_\text{верх}=\tfrac13 T_0.\] Пусть после второй встречи (в середине) Петя едет вниз и проходит до следующей встречи долю \(x\) подъёма после подножия, а Вася едет вверх и проходит \(1-x\) по пути вниз. Тогда \[\tfrac12 T_0+T_\text{низ}+xT_0=\tfrac12 T_0+T_\text{верх}+(1-x)T_0,\] откуда \((1-2x)T_0=T_\text{низ}-T_\text{верх}=\tfrac13 T_0\), то есть \(x=\tfrac13\). Третья встреча произойдёт на расстоянии \(\tfrac13\) подъёма от подножия, там же, где и первая.

Сила тяжести и сила Архимеда для каждого тела приложены к его центру. Для равновесия суммарный момент этих сил относительно точки подвеса должен быть равен нулю. Сравните плотности цилиндра, шайбы и воды: какое тело всплывает, а какое тонет?

Гантель надо закрепить на расстоянии \(6{,}5\) см от правого края.

Плотность цилиндра больше плотности воды, поэтому он тонет, а плотность шайбы меньше, поэтому она всплывает. Значит, чтобы горизонтальное положение было равновесием, точку крепления верёвки надо взять правее центра масс цилиндра. Обозначим расстояние от правой границы цилиндра до точки крепления за \(x\). Правило рычага относительно точки крепления: \[\pi d R^2(\rho_\text{ш}-\rho_\text{в})g\left(\ell-x+\frac d2\right) +\pi\ell r^2(\rho_\text{ц}-\rho_\text{в})g\left(\frac\ell2-x\right)=0.\] Отсюда \[x=\frac{dR^2(\rho_\text{ш}-\rho_\text{в})\left(\ell+\frac d2\right)+\ell r^2(\rho_\text{ц}-\rho_\text{в})\,\frac{\ell}{2}} {dR^2(\rho_\text{ш}-\rho_\text{в})+\ell r^2(\rho_\text{ц}-\rho_\text{в})}.\] Подставляя числа, получаем \[x=\frac{-200\cdot0{,}2\cdot16+375\cdot1\cdot7{,}5}{-200\cdot0{,}2+375\cdot1}\approx6{,}5~\text{см}.\]

Тепло, которое отдаёт тело, пропорционально площади поверхности, через которую оно уходит, а изменение температуры — теплу, делённому на массу. Что это значит для скорости остывания, если геометрически подобные тела отличаются только размером?

Левая половинка остынет на \(1\) \(^\circ\)C за \(5\) с, правая — за \(11{,}3\) с.

За малое время \(\Delta t\) тело с площадью поверхности \(S\) и массой \(m\) теряет тепло \(\Delta Q=\kappa S(T-T_\text{возд})\Delta t\), и это тепло равно \(c\,m\,\Delta T\). Значит, скорость остывания пропорциональна \(S/m\). Пусть \(S_\text{бок}\) и \(S_\text{осн}\) — боковая поверхность и площадь основания конуса. Стоящий на полу конус теряет тепло только с боковой поверхности, а подвешенный — и с боковой, и с основания: \[\frac{10\text{~с}}{9\text{~с}}=\frac{S_\text{бок}+S_\text{осн}}{S_\text{бок}} \quad\Rightarrow\quad \frac{S_\text{осн}}{S_\text{бок}}=\frac19.\] Меньший конус имеет вдвое меньшую высоту, поэтому его боковая поверхность в 4 раза меньше, а масса в 8 раз меньше. Его скорость остывания в 2 раза больше, чем у целого конуса, и он остынет на \(1\) \(^\circ\)C за \(5\) с.

Правая половинка (усечённый конус) теряет тепло через свою боковую поверхность \(\frac34 S_\text{бок}\) и через верхнее сечение площади \(\frac14 S_\text{осн}=\frac1{36}S_\text{бок}\). Её масса равна \(\frac78 m\). Скорость остывания \[k_2=\frac{\frac34 S_\text{бок}+\frac1{36}S_\text{бок}}{\frac78 m} =\frac89\cdot\frac{S_\text{бок}}{m},\] что в \(\frac89\) раза больше, чем у целого конуса на полу. Поэтому время остывания \(10\text{~с}\cdot\frac98=11{,}3\) с.

Разность давлений воды на уровнях левого и правого поршней определяется разностью высот и не меняется при обоих опытах. Запишите давление под каждым поршнем как силу, делённую на площадь.

В \(4\) раза.

Сила, с которой вода действует на поршень площади \(S\), равна \(pS\), где \(p\) — давление на уровне центра поршня. Поршень в равновесии, если внешняя сила равна этой силе. Давления на уровнях поршней связаны гидростатикой: \(p_R-p_L=\rho g\Delta h\). Поэтому \[\frac{F_L}{S_L}-\frac{F_R}{S_R}=\rho g\,\Delta h\] есть постоянная величина. Для двух опытов: \[\frac{2{,}6\text{~Н}}{S_L}-\frac{30\text{~Н}}{S_R}=\frac{5{,}1\text{~Н}}{S_L}-\frac{40\text{~Н}}{S_R}.\] Отсюда \(\dfrac{10\text{~Н}}{S_R}=\dfrac{2{,}5\text{~Н}}{S_L}\), и \(\dfrac{S_R}{S_L}=\dfrac{10}{2{,}5}=4\).

Перейдите в систему отсчёта одной из машин: оставшиеся машины там движутся равномерно. Скорость гонщика меняется ровно в той точке, где он оказывается посередине между соседними машинами.

\(\approx130\) с.

Перейдём в систему отсчёта первой машины. Машины двигаются с постоянными скоростями \(v_2=5\) м/с и \(v_3=10\) м/с. Гонщик меняет скорость, когда оказывается ровно посередине между машинами. Скорость гонщика \(v_0=72\) км/ч\(=20\) м/с, между первым и вторым обгонами она равна \(v_0+v_2=25\) м/с, после второго обгона \(v_0+v_3=30\) м/с.

Средняя скорость гонщика между первым и вторым обгонами \(v_{ср,12}=\dfrac{v_0+(v_0+v_2)}{2}=22{,}5\) м/с, между вторым и третьим \(v_{ср,23}=\dfrac{(v_0+v_2)+(v_0+v_3)}{2}=27{,}5\) м/с. По графику находим моменты обгонов: первый при \(t_1=150\) с, второй при \(t_2=250\) с (это согласуется с условием: 100 с между первым и вторым). Из точки второго обгона проводим прямую с наклоном \(27{,}5\) м/с, она пересекает график третьего обгона примерно через \(\Delta t\approx130\) с после второго.